24.4弧长和扇形面积（第1课时） 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
24.4
弧长和扇形面积
---第1课时
人教版
九年级上
教学目标
1.掌握弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
情境导入
问题1
如图，在运动会的4×100米比赛中，为什么每个运动员他们的起跑线不在同一处？
问题2
怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
合作探究
思考1：半径为R的圆，周长是多少？
O
R
思考2：下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
探究一：弧长的计算公式
合作探究
(1)
圆心角是180°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的______.
(2)
圆心角是90°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的______.
(3)
圆心角是45°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
(4)
圆心角是n°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的_______.
合作探究
特别强调：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
★弧长公式：
例如、已知弧所对的圆周角为60°，半径是4，则弧长为
.
合作探究
大小不变时，对应的弧长与
有关，
越长，弧长越大.
圆心角
半径
半径
圆的
不变时，弧长
与
有关，
越大，弧长越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：弧长与圆心角、半径有关.
O
●
A
B
D
C
E
F
O
●
A
B
C
D
思考3：弧长哪些因素有关？
典例精析
例1
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L.
(结果取整数)
解：由弧长公式，可得弧AB的长:
因此所要求的展直长度L=2×700+1570=2970(mm).
答：管道的展直长度为2970
mm．
700mm
700mm
R=900mm
(
100
°
A
C
B
D
O
趁热打铁
1、有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R（精确到0.1m）.
解：根据题意得，
12=
解得，R≈8.5（m）．
合作探究
探究二：扇形面积的计算公式
扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
趁热打铁
断一断：下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
合作探究
思考4：半径为r的圆,面积是多少？
O
r
思考5：图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
合作探究
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
圆心角占
周角的比例
扇形面积占
圆面积的比例
扇形的
面积
=
＝
＝
＝
合作探究
★扇形面积公式:
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
特别强调：
①公式中n的意义：n表示1°圆心角的倍数，
它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
合作探究
大小不变时，对应的扇形面积与
有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的
不变时，扇形面积
与
有关，
越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
O
●
A
B
D
C
E
F
O
●
A
B
C
D
思考6：扇形的面积与哪些因素有关？
合作探究
思考7：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？
A
B
O
O
趁热打铁
2.已知半径为2
cm的扇形，其弧长为
cm，则这个扇形的面积
S扇形=
．
1.已知扇形的圆心角为150°，半径为3，则这个扇形的面积
S扇形=
.
典例精析
例3
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6
m，其中水面高0.3
m，求截面上有水部分的面积.（结果保留小数点后两位）
(1)
O
.
B
A
C
思考1：截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
解:阴影部分.
典例精析
O.
B
A
C
D
(2)
O.
B
A
C
D
(3)
思考2：水面高0.3
m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
水面高0.3
m是指线段DC的长.
作法：过点O作OD⊥AB于D，并延长OD交圆O于C.
思考3：要求图中阴影部分的面积，应该怎么办？
S阴影=S扇形OAB－
S△OAB
典例精析
∵
OC＝0.6
m，
DC＝0.3
m，
∴
OD＝OC-
DC＝0.3
m.
∴
OD＝DC.
又
AD
⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC＝AO＝OC.
∴
∠AOD＝60?，∠AOB=120?.
O.
B
A
C
D
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交
于点C，连接AC.
典例精析
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB
－
SΔOAB
在Rt△AOD中，OA=0.6
m，OD=0.3
m，
∴AD=
m.∴AB=2AD=
m.
O.
B
A
C
D
趁热打铁
1、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6
m，其中水面高0.9
m，求截面上有水部分的面积.
O
A
B
D
C
E
解：
S＝S扇形OAB
+
SΔOAB
合作探究
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
★弓形的面积公式:
综合演练
1.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
B
2.如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为6，∠ACB=45°，则扇形AOB的面积为（　　）
A．6π
B．9π
C．24π
D．36π
B
综合演练
3.如图，☉A、☉B、
☉C、
☉D两两不相交，且半径都是4
cm，则图中阴影部分的面积是（
）
A.8π
cm2
B.12π
cm2
C.24π
cm2
D.48π
cm2
A
B
C
D
D
4.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为_______．
2π
综合演练
·
O
A
解：设半径OA绕轴心O逆时针
方向旋转的度数为n°.
解得
n≈90°.
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
5、一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径R=10
cm，当重物上升15.7
cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14）？
综合演练
6、如图，圆心角为60°的扇形的半径为10
cm.求这个扇形的面积和周长.（分别精确到0.01
cm2和0.01
cm）
O
R
60°
解：∵n=60，r=10
cm，
扇形的周长为：
∴扇形的面积为：
综合演练
7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求弧BM的长．
综合演练
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∴AB＝CD，
∵M为AD中点，∴AM＝DM，
∴AB＋AM＝CD＋DM，即BM＝CM，
∴BM＝CM　
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
提能训练
8.
如图，一个边长为10
cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.
A
B
A'
B'
C
解：由图可知，顶点A经过的路程长等于
的长，
∠ACA'
=180°－∠A'CB'=120°.
∵等边三角形ABC的边长为10
cm，
∴
所在圆的半径为10
cm.
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
∴
课堂总结
说一说：
1、弧长公式、扇形面积公式以及二者之间的联系是什么？
2、弓形的面积公式如何计算？
本节课你有哪些收获？
作业布置
练习：
P113页：1、3
习题24.4
P115页：1、2
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