北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题（Word版，附答案解析）

《勾股定理》同步练习题
一、选择题（共7小题）
1．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为、，那么的值是　　
A．1
B．2
C．12
D．13
2．有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边处有健身器材，由于居住在处的居民践踏了绿地，小明想在处树立一个标牌“少走米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“”填上适当的数字是　　
A．3米
B．4米
C．5米
D．6米
3．长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是　　
A．1，2，3
B．3，5，7
C．1，，3
D．1，
4．下列各组数中不是勾股数的是　　
A．3，4，5
B．4，5，6
C．5，12，13
D．6，8，10
5．一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，则另一直角边长为　　
A．13
B．12
C．4
D．5
6．如图，中，，，，分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于　　
A．42
B．64
C．72
D．80
7．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为　　
A．米
B．米
C．米
D．3米
二、填空题（共8小题）
8．若8，，17是一组勾股数，则　　．
9．三个正整数，，，如果满足，那么我们称这三个数，，叫做一组勾股数．如，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数　　．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　．
11．如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为　　．
12．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为
　　．
13．直角三角形的斜边长为13，一直角边长为12，另一直角边长是方程的根，则的值为　
　．
14．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为　　．
15．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积　　．
三、解答题（共7小题）
16．定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
17．如图，四边形中，，，，，，求的长．
18．如果，，为正整数，且满足，那么，、、叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数　
　；
（3）如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的定义，说明、、为勾股数．
19．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：．
证明：连接，过点作边上的高，则．
．
又
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中．
求证：
证明：连接　　
　　
又　　
　　
．
20．阅读理解：
我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5，12，13；9，40，41；但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3，4，5是三个连续正整数组成的勾股数．
解决问题：
（1）在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；
（2）在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．
21．中，，，，．证明：当，，为勾股数时，，，为正整数）也是勾股数．
22．在中，，，，分别是，，所对的三条边．
（1）如果，，求的长；
（2）如果，，求的长．
参考答案
一、选择题（共7小题）
1．
【解答】解：根据勾股定理可得，
四个直角三角形的面积是：，即：
则．
方法二、小正方形的边长就是，其面积是1，
故选：．
2．
【解答】解：因为是一块正方形的绿地，所以，由勾股定理得，米，
计算得由点顺着，到点的路程是米，而米，则少走米．
故选：．
3．
【解答】解：、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
、，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：．
4．
【解答】解：、，
以3、4、5为边能组成直角三角形，
即3、4、5是勾股数，故本选项错误；
、，
以4、5、6为边不能组成直角三角形，
即4、5、6不是勾股数，故本选项正确；
、，
以5、12、13为边能组成直角三角形，
即5、12、13是勾股数，故本选项错误；
、，
以6、8、10为边能组成直角三角形，
即6、8、10是勾股数，故本选项错误；
故选：．
5．
【解答】解：一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，
由勾股定理得另一直角边长．
故选：．
6．
【解答】解：可证，，，
则，
的左上方的顶点为，过作的垂线交于，
可证明，而图中全等于，
所以．
的面积的面积的面积
的面积
．
故选：．
7．
【解答】解：中，米，米；
由勾股定理，得：米；
树的高度为：米；
故选：．
二、填空题（共8小题）
8．
【解答】解：①为最长边，，不是正整数，不符合题意；
②17为最长边，，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：15．
9．
【解答】解：与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．
故答案为6，8，10（答案不唯一）．
10．
【解答】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
，
故答案为：．
11．
【解答】解：直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
斜边为，
三角形的面积为斜边上的高），
．
故答案为：．
12．
【解答】解：连接，
，，，
，
，，
，
为直角三角形，
．
故四边形的面积为．
故答案为：．
13．
【解答】解：直角三角形的斜边长为13，一直角边长为12，
另一条直角边长为，
将代入得，
，
解得．
故答案为：．
14．
【解答】解：大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
．
故答案为：12．
15．
【解答】解：连接，
在中，
，，，
，
，
在中，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积．
故答案为：36．
三、解答题（共7小题）
16．
【解答】解：（1）是．
理由：，，
，
、、为边的三角形是一个直角三角形．
故点、是线段的勾股分割点．
（2）设，则，
①当为最大线段时，依题意，
即，解得；
②当为最大线段时，依题意．
即，解得．
综上所述的长为或．
17．
【解答】解：延长并反向延长，作于，于，作于，
，，
，，
，
，，，
，，
．
18．
【解答】解：（1）、4、5是正整数，且，
、4、5是一组勾股数；
（2），且12，16，20都是正整数，
一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；
故答案为12，16，20
（3）表示大于1的整数，
由，，得到、、均为正整数；
又，而，
，
、、为勾股数．
19．
【解答】证明：连接，过点作边上的高，则，
，
又，
，
．
20．
【解答】解：（1）设中间的偶数为，则较大的偶数为，较小的偶数为，由勾股定理得，
，
解得，（舍去）
所以这三个连续偶数为6，8，10，
因此存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10；
（2）不存在．理由：假设在无数组勾股数中，还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．
设这三个正整数分别为、、，
由勾股定理得，
，
解得，（舍去）．
所以三个连续正整数是3，4，5，
所以除了3、4、5以外，不存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．
21．
【解答】解：中，，，，，
，
，
当，，为勾股数时，，，为正整数）也是勾股数．
22．
【解答】解：（1）在中，，，，
；
（2）在中，，，，
．