3.2.2导数的运算法则 同步导学 （解析版）

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3.2.2　导数的运算法则
Q　
如何求得下列函数的导数呢？
1．y＝x5＋x3－x2＋3；
2．y＝ex－sinx＋lnx；
3．y＝cos2－sin2.
X　
导数的运算法则
和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
商的导数
[]′＝(g(x)≠0)
Y　
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f
′(1)＝2，则a的值为(　A　)
A．1　　
B．　　　
C．－1　　　
D．0
[解析]　∵f(x)＝ax2＋c，∴f
′(x)＝2ax，
又∵f
′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．已知f(x)＝exln
x，则f′(x)＝(　C　)
A．
B．ex＋
C．
D．＋ln
x
[解析]　f′(x)＝(ex)′ln
x＋ex(ln
x)′＝exln
x＋
＝.
3．函数y＝x4＋sin
x的导数为(　D　)
A．y′＝4x3
B．y′＝cos
x
C．y′＝4x3＋sin
x
D．y′＝4x3＋cos
x
[解析]　y′＝(x4＋sin
x)′＝(x4)′＋(sin
x)′
＝4x3＋cos
x.
4．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为__135°__.
[解析]　f′(x)＝x2－2x，∴曲线在x＝1处的切线的斜率k＝12－2×1＝－1，∴倾斜角为135°.
5．求下列函数的导数：
(1)y＝sin
x－2x2；
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(3)y＝.
[解析]　(1)y′＝(sin
x－2x2)′
＝(sin
x)′－(2x2)′
＝cos
x－4x.
(2)y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)
＝12x2－8x＋6x2＋9
＝18x2－8x＋9.
(3)y′＝′
＝
＝
H　
命题方向1　?导数的四则运算法则的应用
典例1　求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)2(x－1)；
(2)y＝x2sin
x；
(3)y＝＋＋；
(4)y＝xtan
x－.
[解析]　(1)解法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.
解法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，
y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.
(2)y′＝(x2sin
x)′＝(x2)′sin
x＋x2(sin
x)′
＝2xsin
x＋x2cos
x.
(3)y′＝′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2－4x－3－9x－4＝－－－.
(4)y′＝′＝′
＝
＝
＝＝tan
x＋－.
『规律方法』　1.符合导数运算法则形式特点的函数求导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则．
①[f(x)g(x)]′≠f
′(x)g′(x)；②′≠.
2．公式[f(x)g(x)]′＝f
′(x)g(x)＋f(x)g′(x)的推广为[f1(x)·f2(x)·f3(x)…fn(x)]′＝f1′(x)f2(x)f3(x)…fn(x)＋f1(x)f2′(x)f3(x)f4(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x)
3．较为复杂的求导运算，一般要先将函数化简，再求导．
〔跟踪练习1〕
求下列函数的导数．
(1)y＝x·tanx；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝.
[解析]　(1)y′＝(x·tanx)′＝′
＝
＝
＝.
(2)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；
解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；
(3)解法1：y′＝′
＝
＝＝；
解法2：∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′＝.
命题方向2　?利用导数求参数
典例2　(2019·云南昆明高二调研)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式．
[思路分析]　本题主要考查利用导数求解参数问题，观察y＝f′(x)的图象可知y＝f′(x)过点(1,0)、(2,0)，即f′(1)＝0，f′(2)＝0.
[解析]　∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，且f′(1)＝0、
f′(2)＝0、
f(1)＝5，
∴，解得.
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.
『规律方法』　1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．
〔跟踪练习2〕
偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
[解析]　∵f(x)的图象过点P(0,1)，
∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f
′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
命题方向3　?导数的综合应用
典例3　已知曲线y＝f(x)＝－1(a>0)在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．
[解析]　∵f(1)＝－1，∴切点坐标为(1，－1)．
由已知，得f′(x)＝(－1)′＝，
∴切线的斜率k＝f′(1)＝，
∴切线l的方程为y－(－1)＝(x－1)，
即2x－ay－a－1＝0.
令y＝0，得x＝；
令x＝0，得y＝－.
∴切线l与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝××
＝(a＋)＋≥×2＋＝1，
当且仅当a＝，即a＝1时取等号，∴Smin＝1.
故l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.
『规律方法』　求曲线的切线方程要注意分清点是否是切点．若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点．
〔跟踪练习3〕
函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图象在x＝a处的切线平行于直线AB.
[解析]　直线AB的斜率kAB＝－1，
f
′(x)＝3x2－2x－1，
令f
′(a)＝－1　(0即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝.
X　　综合应用问题　　
灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．
典例4　已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[思路分析]　(1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a、b的方程组，解方程组可求出a、b；
(2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k＝f′(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.
[解析]　(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13,
f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
『规律总结』　处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解．
〔跟踪练习4〕
(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln
x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为__1__.
[解析]　∵f
′(x)＝a－，∴f
′(1)＝a－1.
又∵f(1)＝a，
∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，
∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
Y　　准确应用公式　　
典例5　若f(x)＝，求f′(π)．
[错解]　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝，
∴f′(π)＝＝－.
[错解分析]　应用商的求导法则时，分子应是“分子的导数乘分母－分子乘分母的导数”，解题时错误的写成了“＋”．
[正解]　∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝，
∴f′(π)＝＝.
K　
1．f(x)＝ax4＋3x2＋2，若f′(1)＝10，则a的值等于(　D　)
A．±1　　　
B．0　　　
C．－1　　　
D．1
2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为(　A　)
A．1
B．2
C．e
D．
3．若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝__6__.
4．(2019·河北区一模)已知函数f(x)＝xex，f
′(x)为f(x)的导函数，则f
′(0)＝__1__.
[解析]　函数f(x)＝xex，
则f
′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，
∴f
′(0)＝(1＋0)e0＝1.
故答案为1.
5．设f(x)＝ax2－bsin
x，且f′(0)＝1，f′＝，求a，b的值．
[解析]　因为f′(x)＝2ax－bcos
x，
所以
解得
A级　基础巩固
一、选择题
1．曲线运动方程为s＝＋2t2，则t＝2时的速度为(　B　)
A．4　　
　
B．8　　
　
C．10　　　
D．12
[解析]　s′＝′＋(2t2)′＝＋4t，
∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝＋8＝8.
2．函数y＝x·ln
x的导数是(　C　)
A．y′＝x
B．y′＝
C．y′＝ln
x＋1
D．y′＝ln
x＋x
[解析]　y′＝x′·ln
x＋x·(ln
x)′＝ln
x＋x·＝ln
x＋1.
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f
′(－1)＝4，则a的值是(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　f
′(x)＝3ax2＋6x，
∵f
′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝.
4．(2019·邵阳三模)已知函数f(x)＝f
′(－2)ex－x2，则f
′(－2)＝(　D　)
A．
B．
C．
D．
[解析]　f
′(x)＝f
′(－2)ex－2x；
∴f
′(－2)＝f
′(－2)·e－2－2·(－2)；
解得f
′(－2)＝.
故选D.
5．(2019·揭阳一模)已知f(x)＝sinx－cosx，实数α满足f
′(α)＝3f(α)，则tan2α＝(　A　)
A．－
B．－
C．
D．
[解析]　f
′(x)＝cosx＋sinx；
∴f
′(α)＝cosα＋sinα；
又f
′(α)＝3f(α)；
∴cosα＋sinα＝3sinα－3cosα；
∴2cosα＝sinα；∴tanα＝2；
∴tan2α＝＝－.
故选A．
6．若函数f(x)＝f
′(1)x3－2x2＋3，则f
′(1)的值为(　D　)
A．0
B．－1
C．1
D．2
[解析]　∵f
′(x)＝3f
′(1)x2－4x，
∴f
′(1)＝3f
′(1)－4，∴f
′(1)＝2.
二、填空题
7．(2018·全国Ⅱ文，13)曲线y＝2ln
x在点(1,0)处的切线方程为__y＝2x－2__.
[解析]　　　
因为y′＝，y′＝2，
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
8．若曲线f(x)＝xsin
x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝__2__.
[解析]　∵f′(x)＝(xsin
x)′＝x′sin
x＋x·(sin
x)′
＝sin
x＋xcos
x
∴f′()＝sin＋cos＝1.
又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，
∴1×(－)＝－1，∴a＝2.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
[解析]　由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f
′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
可知－6－f(－1)＋7＝0，
即f(－1)＝1，f
′(－1)＝6.
∴，即，解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
B级　素养提升
一、选择题
1．不可能以直线y＝x＋b作为切线的曲线是(　C　)
A．y＝sin
x
B．y＝ln
x
C．y＝
D．y＝ex
[解析]　若y＝，则y′＝－<0，∴曲线y＝上任意点处的切线的斜率k<0，故其切线方程不可能为y＝x＋b.
2．若函数f(x)＝exsin
x，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为(　C　)
A．
B．0
C．钝角
D．锐角
[解析]　y′|x＝4＝(exsin
x＋excos
x)|x＝4
＝e4(sin
4＋cos
4)＝e4sin
(4＋)<0，
故倾斜角为钝角，选C．
3．曲线y＝在点(0，f(0))处的切线方程为(　A　)
A．x－2y＝0
B．2x－y＝0
C．x－4y＝0
D．4x－y＝0
[解析]　∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝0＝，∵f(0)＝0，
∴切线方程为：y＝x，即x－2y＝0.
4．(2019·滁州分校下学期检测)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　C　)
A．2
B．－2
C．3
D．－2或3
[解析]　　　
设切点坐标为(x0，y0)(x0>0)，f′(x)＝－，f′(x0)＝－＝，x－x0－6＝0，解得x0＝3，x0＝－2(舍)，选C．
5．已知f(x)＝ln
x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　D　)
A．－1
B．－3
C．－4
D．－2
[解析]　∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，
∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
于是解得m＝－2.故选D.
二、填空题
6．(2018·天津文，10)已知函数f(x)＝exln
x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__e__.
[解析]　　　
∵
f(x)＝exln
x，
∴
f′(x)＝exln
x＋，∴
f′(1)＝e.
7．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f
′(x)，若f
′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为__y＝－3x__.
[解析]　f
′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，
又f
′(－x)＝f
′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，对任意x∈R都成立，
所以a＝0，f
′(x)＝3x2－3，f
′(0)＝－3，
曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
[解析]　(1)∵f
′(x)＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f
′(2)＝13.
∴切线的方程为13x－y－32＝0.
(2)解法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f
′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过原点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2，
∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f
′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1，
解之得，x0＝－2，
∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，则f
′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1，
∴，或.
∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.
即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.
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