第7章三角函数单元 综合测试-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册（word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 第7章三角函数单元 综合测试-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册（word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 12:49:13 | ||
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文档简介
人教B版（2019）第七章三角函数单元综合测试题
一、单选题
1．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是
A．
B．
C．
D．
2．若为第二象限角，下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（
）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．若，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
5．已知函数，，且，则的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，，那么的值为（
）
A．2
B．
C．
D．
8．函数，的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，点、、是圆上的点，且，，则劣弧的长为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，则下列结论正确的个数是（
）
①的最小值为；
②点是的图象的一个对称中心；
③的最小正周期为；
④在上单调递增.
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知，则________．
14．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式______.
15．设函数的最大值为，最小值为，则_________.
16．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是_________．
①的最小正周期为
②在区间上单调递减
③不是函数图象的对称轴
④在上的最小值为
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，角，β
的顶点与坐标原点重合，始边为
的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为
（1）求的值；
（2）求
的值．
18．已知函数．
（1）求的最小值及此时自变量的取值集合；
（2）求函数在上的单调递增区间．
19．已知角是第三象限角，且.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.
20．已知函数
（Ⅰ）用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；
（Ⅱ）写出函数图象的对称中心坐标及对称轴的方程.
21．已知函数(，，)的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，当实数取最大值时，求函数在上的最大值.
22．已知函数只能满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为
（1）请写出满足的这两个条件序号，并说明理由；
（2）求出的解析式；
（3）求方程在区间上所有解的和．
参考答案
1．D
【分析】
根据三角函数的基本定义，求得结果.
【详解】
由题意可知：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查三角函数的定义，属于基础题.
2．D
【分析】
根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项.
【详解】
因为为第二象限角,
所以,,
A,B,C对,D不一定正确.
故选:D
【点睛】
本题考查了三角函数在第二象限的符号,属于基础题.
3．B
【分析】
用诱导公式把两个函数的名称化为相同，再凑配成图形变换的形式．
【详解】
由，
，
则，解得，
则只需将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数图象平移变换，解题时要注意两函数名称必须化为相同，才便于求解．
4．A
【分析】
根据余弦函数、正切函数的正负性的性质进行求解即可.
【详解】
因为，所以角的终边可能位于第一或第四象限，也可能与横轴的正半轴重合；
又因为，所以角的终边可能位于第一或第三象限.
因为同时成立，所以角的终边只能位于第一象限.
于是角是第一象限角.
故选：A
【点睛】
本题考查了余弦函数和正切函数的正负性的性质，属于基础题.
5．C
【分析】
由已知求得，即可得，
【详解】
由，
得
，
即，
则
．
故选：C
【点睛】
本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．A
【分析】
由题可得，观察函数图象得出的最大值和最小值即可判断.
【详解】
的定义域为，值域为，
则，则观察函数图象可得，
的最大值为，的最小值为，
，故不可能是.
故选：A.
7．D
【分析】
利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
解得，所以，
即，
又，所以，
所以.
故选：D
8．B
【分析】
由诱导公式化简函数后，结合余弦函数性质求解．
【详解】
由已知，又，∴．
故选：B
9．A
【分析】
根据的图象过，两点，求得周期，进而求得，然后将点的坐标代入求得，再
将的图象向左平移个单位得到函数，利用余弦函数的单调性求解.
【详解】
由图象知，，
∴，则，
∴，
将点的坐标代入得，，即，
又，∴，
则，
将的图象向左平移个单位得到函数，
∴在上的最小值为，
故选：A
10．A
【分析】
求出以及圆的半径，利用扇形的弧长公式可求得劣弧的长.
【详解】
连接、，如下图所示：
由圆的几何性质可得，又，所以，为等边三角形，
所以圆的半径为，因此，劣弧的长为.
故选：A.
11．C
【分析】
将等式两边平方可求得的值，利用切化弦可求得的值.
【详解】
由，可得，得，
因此，.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：应用公式时注意方程思想的应用，对于、、这三个式子，利用可以知一求二．
12．C
【分析】
求出可判断①的正误；利用正弦型函数的对称性可判断②的正误；求出的最小正周期可判断③的正误；利用正弦型函数的单调性可判断④的正误.
【详解】
对于①，，，①正确；
对于②，，
所以，点不是的图象的一个对称中心，②错误；
对于③，函数的最小正周期为，③正确；
对于④，当时，，所以，函数在上单调递增.
④正确.
因此，正确命题的序号为①③④.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：对于正弦型函数基本性质的判断问题，一般将函数解析式化为或，将视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质来求解.
13．
【分析】
根据诱导公式化简式子，再代入，求值.
【详解】
原式.
故答案为：
14．
【分析】
由五点法求得周期，由振幅可求A，再由最低点可求得φ．
【详解】
由振幅得：
由图象可得：，
∴2，
∴y＝sin（2x+φ），
当时，y＝，
∴，
∴解析式为：
【点睛】
本题关键点是利用五点法确定周期与φ.
15．2
【分析】
可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简，根据左右平移值域不变求解.
【详解】
，
令，则定义域为R，且，
故是奇函数，故其最大值与最小值的和为零，
所以函数的最大值与最小值的和为2，
故在函数中，.
16．①③④
【分析】
由函数图像的变换可得，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案.
【详解】
．
的最小正周期为，选项A正确；
当
时，
时，故在上有增有减，选项B错误；，故不是图象的一条对称轴，选项C正确；
当时，，且当，即时，取最小值，D正确．
故答案为：①③④.
【点睛】
本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
17．（1）；（2）
【分析】
（1）利用三角函数的定义求出和,即可求出的值.
（2）分别求出、、、,再根据三角函数诱导公式、和差公式,即可求
的值．
【详解】
解：（1）因为在平面直角坐标系中,角,β
的顶点与坐标原点重合,
终边分别与单位圆交于两点,两点的纵坐标分别为.
所以,,,,
所以.
（2）由题知,,,,
所以
,
所以
【点睛】
本题考查三角函数的定义,诱导公式与和差公式,属于基础题.
18．（1），；（2）单调递增区间为，．
【分析】
（1）根据正弦函数的性质解答即可；（2）令，，
即可解得在上的单调递增区间.
【详解】
（1），此时，，
即．
（2）显然是增函数，故令，，
得在上的单调递增区间为，．
19．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用三角函数诱导公式化简即可.
（2）首先根据得到，从而得到，即可得到的值.
（3）首先计算，从而得到的值.
【详解】
（1）
.
（2）∵，∴，
∵是第三象限角，
∴，
∴.
（3）∵，
∴，
∴.
20．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）：，，对称轴方程为：，.
【分析】
（Ⅰ）先列表求出五点，即可画出图象；
（Ⅱ）直接观察图象即可得出.
【详解】
解：（Ⅰ）
0
x
y
1
3
1
1
图象如下：
（II）观察图象可得出，
对称中心的坐标为：，，
对称轴方程为：，.
21．(1)
；(2)
【分析】
(1)根据函数的部分图象可得及周期，再根据周期公式可求出，由五点法作图的第三个点可求出的值，从而可得函数的解析式；
(2)根据平移变换和伸缩变换的规律，可求出的解析式，再根据函数在上单调递增，可求出的最大值，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出函数在上的最大值.
【详解】
(1)由已知可得，，所以，
所以，根据五点法作图可得，所以，
所以
(2)
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
因为函数在上单调递增，所以，所以，的最大值为，
由，可得，所以当时，取得最大值.
故函数在上的最大值为.
【点睛】
方法点睛：确定的解析式的步骤：
(1)求，，确定函数的最大值和最小值，则，；
(2)求，确定函数的周期，则；
(3)求，常用方法有以下2种方法：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
22．（1）满足①③，理由见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据条件②得出函数的最大值以及该函数图象的相邻对称轴之间的距离，进而可得出结论；
（2）根据条件①求得的值，根据条件②可求得的值，由此可确定函数的解析式；
（3）由，可得，再由可得出，可解得该方程在区间上的所有解，由此可得出结果.
【详解】
（1）若满足条件②，则函数的最大值为，①不满足，
函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，②不满足.
因此，函数满足条件的序号为①③；
（2）由（1）可知，，函数的最小正周期为，，
所以，；
（3）由，可得.
，则，
所以，或或或，
解得或或或，
因此，方程在区间上所有解的和为.
【点睛】
方法点睛：通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
试卷第1页，总3页
一、单选题
1．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是
A．
B．
C．
D．
2．若为第二象限角，下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（
）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．若，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
5．已知函数，，且，则的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，，那么的值为（
）
A．2
B．
C．
D．
8．函数，的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，点、、是圆上的点，且，，则劣弧的长为（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，则下列结论正确的个数是（
）
①的最小值为；
②点是的图象的一个对称中心；
③的最小正周期为；
④在上单调递增.
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知，则________．
14．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式______.
15．设函数的最大值为，最小值为，则_________.
16．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是_________．
①的最小正周期为
②在区间上单调递减
③不是函数图象的对称轴
④在上的最小值为
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，角，β
的顶点与坐标原点重合，始边为
的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为
（1）求的值；
（2）求
的值．
18．已知函数．
（1）求的最小值及此时自变量的取值集合；
（2）求函数在上的单调递增区间．
19．已知角是第三象限角，且.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.
20．已知函数
（Ⅰ）用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；
（Ⅱ）写出函数图象的对称中心坐标及对称轴的方程.
21．已知函数(，，)的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，当实数取最大值时，求函数在上的最大值.
22．已知函数只能满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为
（1）请写出满足的这两个条件序号，并说明理由；
（2）求出的解析式；
（3）求方程在区间上所有解的和．
参考答案
1．D
【分析】
根据三角函数的基本定义，求得结果.
【详解】
由题意可知：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查三角函数的定义，属于基础题.
2．D
【分析】
根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项.
【详解】
因为为第二象限角,
所以,,
A,B,C对,D不一定正确.
故选:D
【点睛】
本题考查了三角函数在第二象限的符号,属于基础题.
3．B
【分析】
用诱导公式把两个函数的名称化为相同，再凑配成图形变换的形式．
【详解】
由，
，
则，解得，
则只需将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数图象平移变换，解题时要注意两函数名称必须化为相同，才便于求解．
4．A
【分析】
根据余弦函数、正切函数的正负性的性质进行求解即可.
【详解】
因为，所以角的终边可能位于第一或第四象限，也可能与横轴的正半轴重合；
又因为，所以角的终边可能位于第一或第三象限.
因为同时成立，所以角的终边只能位于第一象限.
于是角是第一象限角.
故选：A
【点睛】
本题考查了余弦函数和正切函数的正负性的性质，属于基础题.
5．C
【分析】
由已知求得，即可得，
【详解】
由，
得
，
即，
则
．
故选：C
【点睛】
本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．A
【分析】
由题可得，观察函数图象得出的最大值和最小值即可判断.
【详解】
的定义域为，值域为，
则，则观察函数图象可得，
的最大值为，的最小值为，
，故不可能是.
故选：A.
7．D
【分析】
利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
解得，所以，
即，
又，所以，
所以.
故选：D
8．B
【分析】
由诱导公式化简函数后，结合余弦函数性质求解．
【详解】
由已知，又，∴．
故选：B
9．A
【分析】
根据的图象过，两点，求得周期，进而求得，然后将点的坐标代入求得，再
将的图象向左平移个单位得到函数，利用余弦函数的单调性求解.
【详解】
由图象知，，
∴，则，
∴，
将点的坐标代入得，，即，
又，∴，
则，
将的图象向左平移个单位得到函数，
∴在上的最小值为，
故选：A
10．A
【分析】
求出以及圆的半径，利用扇形的弧长公式可求得劣弧的长.
【详解】
连接、，如下图所示：
由圆的几何性质可得，又，所以，为等边三角形，
所以圆的半径为，因此，劣弧的长为.
故选：A.
11．C
【分析】
将等式两边平方可求得的值，利用切化弦可求得的值.
【详解】
由，可得，得，
因此，.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：应用公式时注意方程思想的应用，对于、、这三个式子，利用可以知一求二．
12．C
【分析】
求出可判断①的正误；利用正弦型函数的对称性可判断②的正误；求出的最小正周期可判断③的正误；利用正弦型函数的单调性可判断④的正误.
【详解】
对于①，，，①正确；
对于②，，
所以，点不是的图象的一个对称中心，②错误；
对于③，函数的最小正周期为，③正确；
对于④，当时，，所以，函数在上单调递增.
④正确.
因此，正确命题的序号为①③④.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：对于正弦型函数基本性质的判断问题，一般将函数解析式化为或，将视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质来求解.
13．
【分析】
根据诱导公式化简式子，再代入，求值.
【详解】
原式.
故答案为：
14．
【分析】
由五点法求得周期，由振幅可求A，再由最低点可求得φ．
【详解】
由振幅得：
由图象可得：，
∴2，
∴y＝sin（2x+φ），
当时，y＝，
∴，
∴解析式为：
【点睛】
本题关键点是利用五点法确定周期与φ.
15．2
【分析】
可考虑向左平移2个单位对函数解析式进行化简，根据左右平移值域不变求解.
【详解】
，
令，则定义域为R，且，
故是奇函数，故其最大值与最小值的和为零，
所以函数的最大值与最小值的和为2，
故在函数中，.
16．①③④
【分析】
由函数图像的变换可得，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案.
【详解】
．
的最小正周期为，选项A正确；
当
时，
时，故在上有增有减，选项B错误；，故不是图象的一条对称轴，选项C正确；
当时，，且当，即时，取最小值，D正确．
故答案为：①③④.
【点睛】
本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
17．（1）；（2）
【分析】
（1）利用三角函数的定义求出和,即可求出的值.
（2）分别求出、、、,再根据三角函数诱导公式、和差公式,即可求
的值．
【详解】
解：（1）因为在平面直角坐标系中,角,β
的顶点与坐标原点重合,
终边分别与单位圆交于两点,两点的纵坐标分别为.
所以,,,,
所以.
（2）由题知,,,,
所以
,
所以
【点睛】
本题考查三角函数的定义,诱导公式与和差公式,属于基础题.
18．（1），；（2）单调递增区间为，．
【分析】
（1）根据正弦函数的性质解答即可；（2）令，，
即可解得在上的单调递增区间.
【详解】
（1），此时，，
即．
（2）显然是增函数，故令，，
得在上的单调递增区间为，．
19．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用三角函数诱导公式化简即可.
（2）首先根据得到，从而得到，即可得到的值.
（3）首先计算，从而得到的值.
【详解】
（1）
.
（2）∵，∴，
∵是第三象限角，
∴，
∴.
（3）∵，
∴，
∴.
20．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）：，，对称轴方程为：，.
【分析】
（Ⅰ）先列表求出五点，即可画出图象；
（Ⅱ）直接观察图象即可得出.
【详解】
解：（Ⅰ）
0
x
y
1
3
1
1
图象如下：
（II）观察图象可得出，
对称中心的坐标为：，，
对称轴方程为：，.
21．(1)
；(2)
【分析】
(1)根据函数的部分图象可得及周期，再根据周期公式可求出，由五点法作图的第三个点可求出的值，从而可得函数的解析式；
(2)根据平移变换和伸缩变换的规律，可求出的解析式，再根据函数在上单调递增，可求出的最大值，再根据正弦函数的图象与性质，即可求出函数在上的最大值.
【详解】
(1)由已知可得，，所以，
所以，根据五点法作图可得，所以，
所以
(2)
将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
因为函数在上单调递增，所以，所以，的最大值为，
由，可得，所以当时，取得最大值.
故函数在上的最大值为.
【点睛】
方法点睛：确定的解析式的步骤：
(1)求，，确定函数的最大值和最小值，则，；
(2)求，确定函数的周期，则；
(3)求，常用方法有以下2种方法：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；
②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
22．（1）满足①③，理由见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据条件②得出函数的最大值以及该函数图象的相邻对称轴之间的距离，进而可得出结论；
（2）根据条件①求得的值，根据条件②可求得的值，由此可确定函数的解析式；
（3）由，可得，再由可得出，可解得该方程在区间上的所有解，由此可得出结果.
【详解】
（1）若满足条件②，则函数的最大值为，①不满足，
函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，②不满足.
因此，函数满足条件的序号为①③；
（2）由（1）可知，，函数的最小正周期为，，
所以，；
（3）由，可得.
，则，
所以，或或或，
解得或或或，
因此，方程在区间上所有解的和为.
【点睛】
方法点睛：通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
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