6.2.3平面向量的坐标及其运算知识基础练2020-2021学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册第6章平面向量初步（Word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 6.2.3平面向量的坐标及其运算知识基础练2020-2021学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册第6章平面向量初步（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 204.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 09:17:56 | ||
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文档简介
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
必备知识基础练
1.在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①＝2i＋3j；②＝3i＋4j；③＝－5i＋j；④＝5i－j.
2．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.
3.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
4．设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则等于( )
A．(1＋m,7＋n)
B．(－1－m，－7－n)
C．(1－m,7－n)
D．(－1＋m
，－7＋n)
5.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则＝________，|na＋mb|＝________.
6．在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的三边长．
7.已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8)
B．(8,4)
C．(－4，－8)
D．(－4,8)
8．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
关键能力综合练
一、选择题
1．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为( )
A．6
B．－6
C.
D．－
2．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是( )
A．－
B.
C．－
D.
3．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且＝－2，则点M的坐标为( )
A．(3,8)
B．(1,3)
C．(3,1)
D．(－3，－1)
4．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为( )
A．(－2,11)
B.
C.
D．(－2,12)
5．(易错题)设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( )
A．b＝(k，k)
B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1)
D．e＝(k2－1，k2－1)
6．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2)
B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2)
D．a＝(－4，－8)
二、填空题
7．如图，正方形ABCD中，O为中心，且＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：
＝________，＝________，＝________，＝________.
8．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
9．(探究题)已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝________.
三、解答题
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
学科素养升级练
1．(多选题)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k不能取的值是( )
A．k＝－2
B．k＝
C．k＝1
D．k＝－1
2．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(0,2)
3．(学科素养—数学建模)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BFFC＝2?1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
必备知识基础练
1．解析：i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确．
答案：①③④
2．解析：将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
答案：(－4,0) (0,6) (－2，－5)
3．解析：a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
答案：A
4．解析：＝＋＋＝－－－＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)
＝(－1－m，－7－n)．
答案：B
5．解析：ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)．
∴解得∴＝－.
na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)，
∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝＝＝.
答案：－
6．解析：(1)①若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得＝0，＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．
②若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，－7)．
综上C点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
(2)当C点坐标为(－3，－5)时，
AB＝＝，
AC＝＝6，
BC＝＝.
当C点坐标为(2，－7)时，AB＝，
AC＝＝，
BC＝＝4.
7．解析：∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或(－4,8)．故选D.
答案：D
8．解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，
∴2－5＝－(y－2)．∴y＝10.
答案：10
9．解析：(1)u＝a＋2b＝(1,2)＋(2x,12)＝(1＋2x,14)，
v＝2a－b＝(2,4)－(x,6)＝(2－x，－2)．
由u∥v，故－2(1＋2x)＝14(2－x)，得x＝3.
(2)由a∥v可知，－2＝2(2－x)，
得x＝3.若a，v不共线，则x≠3.
关键能力综合练
1．解析：∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.
答案：A
2．解析：a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故解得
则λ＋x＝－.
答案：C
3．解析：设M(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(2－x,3－y)，由＝－2，得解得故点M的坐标为(3,1)．
答案：C
4．解析：因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，
所以＝2，则－＝2(－)，
所以＝2－＝2(0,5)－(2，－1)，
即＝(－2,11)．
答案：A
5．解析：易知当k＝0时，b＝c＝0与a平行；
若a∥d，则－(k2＋1)＝k2＋1，即k2＋1＝0.
显然k不存在．故a不平行于d，
当k＝±1时，e＝0与a平行．
答案：C
6．解析：＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，
∴(－4，－8)满足条件．
答案：D
7．解析：如题图所示，＝(1,1)＝i＋j，
∴＝i，＝j.
∴＝－＝－i，＝＝j，＝－＝－j.
∴＝＋＝－i＋j；＝＋＝－i－j；＝－＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.
同理，＝－＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，
＝＋＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.
答案：－i＋j －i－j －2i －2i－2j
8．解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
答案：或
9．解析：取O(0,0)，
由＝λ＋(1－λ)得，
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，
∴解得
答案：2
10．解析：(1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴∴
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴点M的坐标为.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
学科素养升级练
1．解析：由题意可知，A，B，C三点不共线．若A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.所以选ABD.
答案：ABD
2．解析：∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴解得
∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
答案：D
3．解析：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)．
由E为AB的中点，则E(3,0)，
由BF:FC＝2:1，∴F(6,4)．
设P(x，y)，则＝(x，y)．
∵与共线，
∴4x＝6y即y＝x.①
∵＝(x－3，y)，＝(3,6)，
与共线，
∴3y＝6(x－3)，即y＝2(x－3)．②
由①②得x＝，y＝3，即P.
由S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△ABF－S△CPF，
＝6×6－×6×4－×2×＝.
∴四边形APCD的面积为.
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必备知识基础练
1.在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①＝2i＋3j；②＝3i＋4j；③＝－5i＋j；④＝5i－j.
2．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.
3.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
4．设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则等于( )
A．(1＋m,7＋n)
B．(－1－m，－7－n)
C．(1－m,7－n)
D．(－1＋m
，－7＋n)
5.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则＝________，|na＋mb|＝________.
6．在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的三边长．
7.已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4,8)
B．(8,4)
C．(－4，－8)
D．(－4,8)
8．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
关键能力综合练
一、选择题
1．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为( )
A．6
B．－6
C.
D．－
2．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是( )
A．－
B.
C．－
D.
3．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且＝－2，则点M的坐标为( )
A．(3,8)
B．(1,3)
C．(3,1)
D．(－3，－1)
4．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为( )
A．(－2,11)
B.
C.
D．(－2,12)
5．(易错题)设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是( )
A．b＝(k，k)
B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1)
D．e＝(k2－1，k2－1)
6．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2)
B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2)
D．a＝(－4，－8)
二、填空题
7．如图，正方形ABCD中，O为中心，且＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：
＝________，＝________，＝________，＝________.
8．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
9．(探究题)已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝________.
三、解答题
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
学科素养升级练
1．(多选题)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k不能取的值是( )
A．k＝－2
B．k＝
C．k＝1
D．k＝－1
2．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(0,2)
3．(学科素养—数学建模)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BFFC＝2?1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
必备知识基础练
1．解析：i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确．
答案：①③④
2．解析：将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
答案：(－4,0) (0,6) (－2，－5)
3．解析：a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
答案：A
4．解析：＝＋＋＝－－－＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)
＝(－1－m，－7－n)．
答案：B
5．解析：ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)．
∴解得∴＝－.
na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)，
∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝＝＝.
答案：－
6．解析：(1)①若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得＝0，＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．
②若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，－7)．
综上C点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
(2)当C点坐标为(－3，－5)时，
AB＝＝，
AC＝＝6，
BC＝＝.
当C点坐标为(2，－7)时，AB＝，
AC＝＝，
BC＝＝4.
7．解析：∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或(－4,8)．故选D.
答案：D
8．解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，
∴2－5＝－(y－2)．∴y＝10.
答案：10
9．解析：(1)u＝a＋2b＝(1,2)＋(2x,12)＝(1＋2x,14)，
v＝2a－b＝(2,4)－(x,6)＝(2－x，－2)．
由u∥v，故－2(1＋2x)＝14(2－x)，得x＝3.
(2)由a∥v可知，－2＝2(2－x)，
得x＝3.若a，v不共线，则x≠3.
关键能力综合练
1．解析：∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.
答案：A
2．解析：a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故解得
则λ＋x＝－.
答案：C
3．解析：设M(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(2－x,3－y)，由＝－2，得解得故点M的坐标为(3,1)．
答案：C
4．解析：因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，
所以＝2，则－＝2(－)，
所以＝2－＝2(0,5)－(2，－1)，
即＝(－2,11)．
答案：A
5．解析：易知当k＝0时，b＝c＝0与a平行；
若a∥d，则－(k2＋1)＝k2＋1，即k2＋1＝0.
显然k不存在．故a不平行于d，
当k＝±1时，e＝0与a平行．
答案：C
6．解析：＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，
∴(－4，－8)满足条件．
答案：D
7．解析：如题图所示，＝(1,1)＝i＋j，
∴＝i，＝j.
∴＝－＝－i，＝＝j，＝－＝－j.
∴＝＋＝－i＋j；＝＋＝－i－j；＝－＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.
同理，＝－＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，
＝＋＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.
答案：－i＋j －i－j －2i －2i－2j
8．解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
答案：或
9．解析：取O(0,0)，
由＝λ＋(1－λ)得，
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，
∴解得
答案：2
10．解析：(1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴∴
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴点M的坐标为.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
学科素养升级练
1．解析：由题意可知，A，B，C三点不共线．若A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.所以选ABD.
答案：ABD
2．解析：∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴解得
∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
答案：D
3．解析：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)．
由E为AB的中点，则E(3,0)，
由BF:FC＝2:1，∴F(6,4)．
设P(x，y)，则＝(x，y)．
∵与共线，
∴4x＝6y即y＝x.①
∵＝(x－3，y)，＝(3,6)，
与共线，
∴3y＝6(x－3)，即y＝2(x－3)．②
由①②得x＝，y＝3，即P.
由S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△ABF－S△CPF，
＝6×6－×6×4－×2×＝.
∴四边形APCD的面积为.
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