6.1.5向量的线性运算知识基础练2020-2021学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册第6章平面向量初步（Word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 6.1.5向量的线性运算知识基础练2020-2021学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册第6章平面向量初步（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 338.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 09:19:00 | ||
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文档简介
6.1.5 向量的线性运算
必备知识基础练
1.计算：(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
2．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；
(2)已知其中a，b为已知向量，求x，y.
3．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A.
＋
B．－
＋
C．－
－
D.
－
4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
5．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a,
＝b，给出下列命题：
①＝－a－b；②＝a＋b；
③＝－a＋b；④
＋＋＝0.
其中正确命题的序号为________．
6．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝，设＝a，＝b.
求证：＝(b－a)．
关键能力综合练
一、选择题
1．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于( )
A.
B.
C．2
D.
2．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
3．平面上有一个△ABC和一点O，设＝a,
＝b,
＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量等于( )
A.(a＋b＋c)
B.(－a＋b＋c)
C.(a－b＋c)
D.(a＋b－c)
4．如图，△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于( )
A．－a＋b
B.a－b
C.a＋b
D．－a＋b
5．以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于( )
A．a－b
B.a－b
C．a＋b
D.a＋b
二、填空题
7．已知向量a，b不共线，实数x，y满足向量等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝________，y＝________.
8．(易错题)在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝，b＝，用向量a，b表示
＝________.
9．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a；＝d，则d－a＝________，d＋a＝________.
三、解答题
10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设＝a,
＝b，试用a，b表示，
，
.
学科素养升级练
1．(多选题)如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中不成立的是( )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
2．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
3．(学科素养—逻辑推理)如图所示，在平行四边形ABCD
中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．
6．1.5 向量的线性运算
必备知识基础练
1．解析：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
2．解析：(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.
得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.
∴x＝2b－a.
(2)
由②得y＝x－b，代入①，
得3x＋4＝a，∴3x＋x－b＝a，
∴x＝a＋b.
∴y＝－b＝a＋b－b
＝a－b.
综上可得
3．解析：解法一：∵D是AB的中点，
∴＝，
∴＝＋＝－＋.
解法二：＝(
＋)＝[＋(＋)]＝＋＝－＋.
答案：B
4．解析：∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴与平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．
答案：B
5．解析：如图，＝＋＝－b＋
＝－b－a.
＝＋＝a＋b.
＝＋
＝＋(＋)
＝b＋(－b－a)＝b－a.
＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.
答案：①②③④
6．证明：∵＝＝，∴＝＝b，＝＝(＋)＝(－b－a)＝－b－a.
∴＝＋＝b－b－a＝b－a＝(b－a)．
关键能力综合练
1．解析：如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，
＋＝＝2.
答案：C
2．解析：因为＋＋＝，
所以＋＋＋＝0，
即－2＝，所以与共线．
答案：B
3．解析：＝－＝(＋)－＝(－a＋b＋c)．
答案：B
4．解析：＝＋＝＋
＝(－)－＝－＋
＝－a＋b，故选D.
答案：D
5．解析：找出一个非零实数λ使得a＝λb即可判断a∥b.A项中a＝－b；B项中a＝4b；D项中a＝－b，故A，B，D三项中a∥b，而C项中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.
答案：C
6．解析：连接CD，OD，如图所示．
∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×60°＝30°.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.
由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.
由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO，
∴四边形ACDO为平行四边形，
∴＝＋＝＋＝a＋b.
答案：D
7．解析：因为a与b不共线，则解得
答案：3 －4
8．解析：因为D为BC的三等分点，
当BD＝BC时，如图1，
＝，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.
当BD＝BC时，如图2，
＝，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
答案：a＋b或a＋b
易错分析：本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有＝或＝.解题时条件转化要全面准确．
9．解析：根据题意画出图形，如图所示，
d－a＝－＝＋＝＝c.
d＋a＝＋＝＋＝＝b.
答案：c b
10．解析：
由已知得＝＝b.
如图，取AB的中点E，连接DE，
则四边形DEBC为平行四边形．
所以＝＝＋＝a－b.
∵MN＝(AB＋DC)，MN∥AB，
∴＝(＋)＝＝b.
学科素养升级练
1．解析：因为＝＋，＝－3＝3，所以＝，所以＝＋＝＋(－)．
所以r＝q＋(r－p)．所以r＝－p＋q.A成立．故选B、C、D.
答案：BCD
2．解析：设＝k，0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k，
∵＝λ＋μ，且与不共线，
∴∴t＝λ－μ＝3k.
又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.
故t＝λ－μ的最大值为3.
答案：3
3．证明：设＝a，＝b，
∵＝＋＝＋
＝a＋(－)
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝a＋b，
∴＝，∴∥，
又MN与MC有公共点M，
故M，N，C三点共线．
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必备知识基础练
1.计算：(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
2．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；
(2)已知其中a，b为已知向量，求x，y.
3．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A.
＋
B．－
＋
C．－
－
D.
－
4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
5．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a,
＝b，给出下列命题：
①＝－a－b；②＝a＋b；
③＝－a＋b；④
＋＋＝0.
其中正确命题的序号为________．
6．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝，设＝a，＝b.
求证：＝(b－a)．
关键能力综合练
一、选择题
1．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于( )
A.
B.
C．2
D.
2．已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
3．平面上有一个△ABC和一点O，设＝a,
＝b,
＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量等于( )
A.(a＋b＋c)
B.(－a＋b＋c)
C.(a－b＋c)
D.(a＋b－c)
4．如图，△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于( )
A．－a＋b
B.a－b
C.a＋b
D．－a＋b
5．以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，＝a，＝b，则等于( )
A．a－b
B.a－b
C．a＋b
D.a＋b
二、填空题
7．已知向量a，b不共线，实数x，y满足向量等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝________，y＝________.
8．(易错题)在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝，b＝，用向量a，b表示
＝________.
9．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a；＝d，则d－a＝________，d＋a＝________.
三、解答题
10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设＝a,
＝b，试用a，b表示，
，
.
学科素养升级练
1．(多选题)如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中不成立的是( )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
2．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
3．(学科素养—逻辑推理)如图所示，在平行四边形ABCD
中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．
6．1.5 向量的线性运算
必备知识基础练
1．解析：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
2．解析：(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.
得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.
∴x＝2b－a.
(2)
由②得y＝x－b，代入①，
得3x＋4＝a，∴3x＋x－b＝a，
∴x＝a＋b.
∴y＝－b＝a＋b－b
＝a－b.
综上可得
3．解析：解法一：∵D是AB的中点，
∴＝，
∴＝＋＝－＋.
解法二：＝(
＋)＝[＋(＋)]＝＋＝－＋.
答案：B
4．解析：∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴与平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．
答案：B
5．解析：如图，＝＋＝－b＋
＝－b－a.
＝＋＝a＋b.
＝＋
＝＋(＋)
＝b＋(－b－a)＝b－a.
＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.
答案：①②③④
6．证明：∵＝＝，∴＝＝b，＝＝(＋)＝(－b－a)＝－b－a.
∴＝＋＝b－b－a＝b－a＝(b－a)．
关键能力综合练
1．解析：如图，作出平行四边形ABEC，因为M是BC的中点，所以M也是AE的中点，由题意知，
＋＝＝2.
答案：C
2．解析：因为＋＋＝，
所以＋＋＋＝0，
即－2＝，所以与共线．
答案：B
3．解析：＝－＝(＋)－＝(－a＋b＋c)．
答案：B
4．解析：＝＋＝＋
＝(－)－＝－＋
＝－a＋b，故选D.
答案：D
5．解析：找出一个非零实数λ使得a＝λb即可判断a∥b.A项中a＝－b；B项中a＝4b；D项中a＝－b，故A，B，D三项中a∥b，而C项中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.
答案：C
6．解析：连接CD，OD，如图所示．
∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×60°＝30°.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.
由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.
由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴∠CDA＝∠DAO，∴CD∥AO，
∴四边形ACDO为平行四边形，
∴＝＋＝＋＝a＋b.
答案：D
7．解析：因为a与b不共线，则解得
答案：3 －4
8．解析：因为D为BC的三等分点，
当BD＝BC时，如图1，
＝，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.
当BD＝BC时，如图2，
＝，
所以＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
答案：a＋b或a＋b
易错分析：本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有＝或＝.解题时条件转化要全面准确．
9．解析：根据题意画出图形，如图所示，
d－a＝－＝＋＝＝c.
d＋a＝＋＝＋＝＝b.
答案：c b
10．解析：
由已知得＝＝b.
如图，取AB的中点E，连接DE，
则四边形DEBC为平行四边形．
所以＝＝＋＝a－b.
∵MN＝(AB＋DC)，MN∥AB，
∴＝(＋)＝＝b.
学科素养升级练
1．解析：因为＝＋，＝－3＝3，所以＝，所以＝＋＝＋(－)．
所以r＝q＋(r－p)．所以r＝－p＋q.A成立．故选B、C、D.
答案：BCD
2．解析：设＝k，0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k，
∵＝λ＋μ，且与不共线，
∴∴t＝λ－μ＝3k.
又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.
故t＝λ－μ的最大值为3.
答案：3
3．证明：设＝a，＝b，
∵＝＋＝＋
＝a＋(－)
＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝a＋b，
∴＝，∴∥，
又MN与MC有公共点M，
故M，N，C三点共线．
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