6.3平面向量线性运算的应用知识基础练2020-2021学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册第6章平面向量初步（Word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 6.3平面向量线性运算的应用知识基础练2020-2021学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册第6章平面向量初步（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 288.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 09:19:21 | ||
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文档简介
6.3 平面向量线性运算的应用
必备知识基础练
1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A.
B.
C．(3,2)
D．(1,3)
2．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2
B.
C．3
D.
3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
4．如下图所示，△ABC的顶点A，B，C分别对应向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，其重心为G，对应的向量为g＝(x0，y0)．
求证：x0＝，y0＝.
5.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2
B．v1＋v2
C．|v1|－|v2|
D.
6．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
7．一艘船从A点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4
km/h，则水流速度的大小为________
km/h.
8．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
关键能力综合练
一、选择题
1．在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．梯形
C．矩形
D．菱形
2．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
3．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
5．O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝＋，则∠BAC等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6．(易错题)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
二、填空题
7．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
9．(探究题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
三、解答题
10．已知四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：
＝(＋)．
学科素养升级练
1．(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1
B．|a|＝1
C．a∥b
D．(4a＋b)⊥
2．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40
m/s，则鹰的飞行速率为________m/s.
3．(学科素养—数学建模)在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?
6．3 平面向量线性运算的应用
必备知识基础练
1．解析：设D(x，y)，则＝(4,3)，＝(x，y－2)，
由＝2得∴
∴顶点D的坐标为.
答案：A
2．解析：BC的中点为D，＝，
∴||＝.
答案：B
3．解析：因为|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，所以|－|＝|＋|，则·＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．故选B.
答案：B
4．证明：设AC的中点为D，且点D对应的向量为q＝(x4，y4)，则x4＝，y4＝.
由平面几何的知识，得＝2，
∴x0＝＝＝，
y0＝＝＝.
5．解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
答案：B
6．解析：∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，
∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3,2)－(4，－3)＝(1,2)．故选D.
答案：D
7．解析：
如右图所示，表示船速，表示水速，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船的实际航行速度．在Rt△ABC中，||＝||＝2，||＝4，∴||＝2.
答案：2
8．解析：
由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.
所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．
因为＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理，∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．
关键能力综合练
1．解析：由＝，可知AD∥BC，且||<||，故四边形ABCD是梯形．
答案：B
2．解析：作＝F1，＝F2，＝－G(图略)，
则＝＋，
当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
所以∠AOC＝60°，从而θ＝∠AOB＝120°.
答案：D
3．解析：由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．
故＝＝.
答案：C
4．解析：∵|v|＝＝，
||＝＝，
∴时间t＝＝3.
答案：B
5．解析：取BC的中点D，连接AD，则＋＝2.
由题意得3＝2，
∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，
∴△ABC为正三角形，
∴∠BAC＝60°，故选C.
答案：C
6．解析：因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC.故选B.
答案：B
7.
解析：由题意，得5＝＋2，
得2－2＝－－2，
得－2(＋)＝，如图所示，以PA，PB为邻边作?PAEB，
则C，P，E三点共线，
连接PE交AB于点O，
则＝2＝4.
所以＝＝＝.
答案：1:2
8．解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，
由向量加减法的几何意义可知，
＝＋，
＝－，
∵|＋|＝|－|，
∴||＝||，
又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
答案：2
9．解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ.则|F|cos
θ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cos
θ减小，∴|F|增大．
设船的浮力为F浮，则|F浮|＋|F|sin
θ＝|mg|，
∵|F|sin
θ增大，∴船的浮力减小．
答案：①③
10．证明：证法一：如图1，首先建立直角坐标系．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则有＝(x2－x1，y2－y1)，
＝(x3－x4，y3－y4)．∴(＋)
＝.
又∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴E，F，
∴＝，
∴＝(＋)．
证法二：如图2，＝＋＋，①
＝＋＋，②
向量相加得，2＝＋，
∴＝(＋)．
学科素养升级练
1．解析：
如图，由题意，＝－＝(2a＋b)－2a＝b，则|b|＝2，故A错误；|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故B正确；因为＝2a，＝b，故a，b不平行，故C错误；设B，C中点为D，则＋＝2，且⊥，而2＝2a＋(2a＋b)＝4a＋b，所以(4a＋b)⊥，故D正确．故选B、D.
答案：BD
2．解析：设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40
m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝＝(m/s)．
答案：
3．解析：
以B为原点，BC边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．由于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B(0,0)，A(3,
4)，C(6,0)．则＝(3，－4)，
由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点．
所以＝＝，于是M，所以＝，假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，
则设＝λ，且0<λ<1，即＝λ＝，所以＝＋＝(－6,0)＋＝.
由于PC⊥BM，所以λ×＋(4λ－6)×4＝0，
λ＝?(0,1)，所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.
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必备知识基础练
1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A.
B.
C．(3,2)
D．(1,3)
2．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2
B.
C．3
D.
3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
4．如下图所示，△ABC的顶点A，B，C分别对应向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，其重心为G，对应的向量为g＝(x0，y0)．
求证：x0＝，y0＝.
5.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2
B．v1＋v2
C．|v1|－|v2|
D.
6．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
7．一艘船从A点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4
km/h，则水流速度的大小为________
km/h.
8．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
关键能力综合练
一、选择题
1．在四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．梯形
C．矩形
D．菱形
2．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
3．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
5．O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若＝＋，则∠BAC等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6．(易错题)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
二、填空题
7．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
8．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
9．(探究题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
三、解答题
10．已知四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：
＝(＋)．
学科素养升级练
1．(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1
B．|a|＝1
C．a∥b
D．(4a＋b)⊥
2．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40
m/s，则鹰的飞行速率为________m/s.
3．(学科素养—数学建模)在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC边上靠近A点的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PC⊥BM?
6．3 平面向量线性运算的应用
必备知识基础练
1．解析：设D(x，y)，则＝(4,3)，＝(x，y－2)，
由＝2得∴
∴顶点D的坐标为.
答案：A
2．解析：BC的中点为D，＝，
∴||＝.
答案：B
3．解析：因为|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，所以|－|＝|＋|，则·＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．故选B.
答案：B
4．证明：设AC的中点为D，且点D对应的向量为q＝(x4，y4)，则x4＝，y4＝.
由平面几何的知识，得＝2，
∴x0＝＝＝，
y0＝＝＝.
5．解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
答案：B
6．解析：∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，
∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3,2)－(4，－3)＝(1,2)．故选D.
答案：D
7．解析：
如右图所示，表示船速，表示水速，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船的实际航行速度．在Rt△ABC中，||＝||＝2，||＝4，∴||＝2.
答案：2
8．解析：
由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.
所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．
因为＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理，∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．
关键能力综合练
1．解析：由＝，可知AD∥BC，且||<||，故四边形ABCD是梯形．
答案：B
2．解析：作＝F1，＝F2，＝－G(图略)，
则＝＋，
当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
所以∠AOC＝60°，从而θ＝∠AOB＝120°.
答案：D
3．解析：由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．
故＝＝.
答案：C
4．解析：∵|v|＝＝，
||＝＝，
∴时间t＝＝3.
答案：B
5．解析：取BC的中点D，连接AD，则＋＝2.
由题意得3＝2，
∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，
∴△ABC为正三角形，
∴∠BAC＝60°，故选C.
答案：C
6．解析：因为是向量方向上的单位向量，设与方向上的单位向量分别为e1和e2，又－＝，则原式可化为＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC.故选B.
答案：B
7.
解析：由题意，得5＝＋2，
得2－2＝－－2，
得－2(＋)＝，如图所示，以PA，PB为邻边作?PAEB，
则C，P，E三点共线，
连接PE交AB于点O，
则＝2＝4.
所以＝＝＝.
答案：1:2
8．解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，
由向量加减法的几何意义可知，
＝＋，
＝－，
∵|＋|＝|－|，
∴||＝||，
又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
答案：2
9．解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ.则|F|cos
θ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cos
θ减小，∴|F|增大．
设船的浮力为F浮，则|F浮|＋|F|sin
θ＝|mg|，
∵|F|sin
θ增大，∴船的浮力减小．
答案：①③
10．证明：证法一：如图1，首先建立直角坐标系．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则有＝(x2－x1，y2－y1)，
＝(x3－x4，y3－y4)．∴(＋)
＝.
又∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴E，F，
∴＝，
∴＝(＋)．
证法二：如图2，＝＋＋，①
＝＋＋，②
向量相加得，2＝＋，
∴＝(＋)．
学科素养升级练
1．解析：
如图，由题意，＝－＝(2a＋b)－2a＝b，则|b|＝2，故A错误；|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故B正确；因为＝2a，＝b，故a，b不平行，故C错误；设B，C中点为D，则＋＝2，且⊥，而2＝2a＋(2a＋b)＝4a＋b，所以(4a＋b)⊥，故D正确．故选B、D.
答案：BD
2．解析：设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40
m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v1|＝＝(m/s)．
答案：
3．解析：
以B为原点，BC边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．由于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B(0,0)，A(3,
4)，C(6,0)．则＝(3，－4)，
由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点．
所以＝＝，于是M，所以＝，假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，
则设＝λ，且0<λ<1，即＝λ＝，所以＝＋＝(－6,0)＋＝.
由于PC⊥BM，所以λ×＋(4λ－6)×4＝0，
λ＝?(0,1)，所以线段BM上不存在点P使得PC⊥BM.
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