4.1.1实数指数幂及其运算同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册第4章指数函数、对数函数与幂函数（Word版，含解析）

第四章　指数函数、对数函数与幂函数
4.1　指数与指数函数
4．1.1　实数指数幂及其运算
知识点一　整数指数幂的运算
1．设m，n是整数，a，b是实数(ab≠0)，则下列各式中正确的有(　　)
①a·a·a＝a3；②a0＝1；③a－1＝；④a4·a－3＝a；⑤(am)n＝amn；⑥(ab)n＝an·bn.
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
2．如果2÷2＝3，那么a8b4等于(　　)
A．6
B．9
C．12
D．81
3．(－1)0＋(0.125)2020×82021的结果是(　　)
A.＋8
B．－2
C．2
D．9
4．当x＝，y＝8时，求式子的值．
知识点二　根式与分数指数幂的互化
5．将表示成根式的形式是(　　)
A.
B．
C.
D．
6．用分数指数幂形式表示：
＝________.
7.
(a>0，b>0)用分数指数幂可表示为________．
知识点三　分数指数幂的运算
8．化简的结果是(　　)
A.
B．
C．3
D．5
9．化简()4·()4的结果是(　　)
A．a16
B．a8
C．a4
D．a2
10．(多选)下列化简正确的是(　　)
11．计算与化简：
12．已知＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)
.
知识点四　实数指数幂的运算
13．()·()的值是(　　)
A．3
B．3
C．9
D．81
14．若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝________，10x＋y＝________.
15．计算(或化简)下列各式：
16．解下列方程：
(1)2x2＋1＝x；(2)81×32x＝x＋2.
17．计算：·.
18．已知＋＝－a－b，求
＋
的值．
易错点一　化简忽略条件而致误
计算：
＋
.
易错点二　用错指数幂的运算法则
化简
(a>0)．
一、单项选择题
1.＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　)
A．a≥2
B．2≤a<4或a>4
C．a≠2
D．a≠4
2．计算(n∈N
)的结果为(　　)
A.
B．22n＋5
C．
D．2n－7
3．化简
(a，b＞0)的结果是(　　)
A.
B．ab
C．
D．a2b
4．计算得(　　)
A．－b2
B．b2
C．－
D．
5．若2x＝7,2y＝6，则4x－y等于(　　)
A.
B．
C．
D．
6．已知a<0，n∈N，且－(a3)n·a2n＋3>0，则n是(　　)
A．奇数
B．偶数
C．自然数
D．正整数
7．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)
A.
B．10
C．20
D．100
8．已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　)
A．2
B．0
C．－2
D．±2
二、多项选择题
9．若xy≠0，则使
＝－2xy成立的条件可能是(　　)
A．x<0，y>0
B．x>0，y<0
C．x≥0，y≥0
D．x<0，y<0
10．下列各式中正确的是(　　)
A．()3＝a
B．()4＝a
C.＝a
D．＝a
11．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．
B．＝
(y<0)
C．＝
(x>0)
D．＝(x≠0)
12．下列各式中正确的是(　　)
A．(－)4＝a－b
B．()4＝a＋b
C.－＝a－b
D．＝|a＋b|
三、填空题
13．计算：－0＋－0.5＋
＝________.
14．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
15．已知x＝3－a，y－1＝21－b，z＝4b×27－a，则z＝________(用含有x，y的代数式表示)．
16．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是________．
四、解答题
17．化简
18．已知a＝2，b＝5，求·的值．
19．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a20．已知ax3＝by3＝cz3，且＋＋＝1，求证：(ax2＋.
第四章　指数函数、对数函数与幂函数
4.1　指数与指数函数
4．1.1　实数指数幂及其运算
知识点一　整数指数幂的运算
1．设m，n是整数，a，b是实数(ab≠0)，则下列各式中正确的有(　　)
①a·a·a＝a3；②a0＝1；③a－1＝；④a4·a－3＝a；⑤(am)n＝amn；⑥(ab)n＝an·bn.
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
答案　A
解析　由整数指数幂的性质，可知这6个式子都正确．故选A.
2．如果2÷2＝3，那么a8b4等于(　　)
A．6
B．9
C．12
D．81
答案　B
解析　∵2÷2＝3，∴×＝3，∴a4b2＝3，∴a8b4＝(a4b2)2＝9.故选B.
3．(－1)0＋(0.125)2020×82021的结果是(　　)
A.＋8
B．－2
C．2
D．9
答案　D
解析　(－1)0＋(0.125)2020×82021＝1＋(0.125×8)2020×8＝1＋12020×8＝1＋8＝9.
4．当x＝，y＝8时，求式子的值．
解　当x＝，y＝8时，＝－2x－2－(－5)·y1－(－2)＝－2x3y3＝－2(xy)3＝－23＝－2×8＝－16.
知识点二　根式与分数指数幂的互化
5．将表示成根式的形式是(　　)
A.
B．
C.
D．
答案　C
解析　根据根式、分数指数幂的意义和转化法则可知，选项A的分数指数形式为；选项B和选项D只是局部变成了根式形式；选项C正确．
6．用分数指数幂形式表示：
＝________.
答案　
解析　＝
7.
(a>0，b>0)用分数指数幂可表示为________．
答案　
解析　解法一：(由内向外化)
解法二：(由外向内化)
知识点三　分数指数幂的运算
8．化简的结果是(　　)
A.
B．
C．3
D．5
答案　B
解析　
9．化简()4·()4的结果是(　　)
A．a16
B．a8
C．a4
D．a2
答案　C
解析　原式＝·＝a2·a2＝a4.
10．(多选)下列化简正确的是(　　)
答案　ABC
解析　对于A，＝a0＝1，正确；对于B，＝a－4b6，正确；对于C，·＝x0y＝y，正确；对于D，＝－c－2，错误．故选ABC.
11．计算与化简：
解　(1)原式＝2×－4×－＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(3)原式＝
12．已知＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)
.
解　(1)将＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，
即a＋a－1＝7.
(2)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，
所以a2＋a－2＝47.
(3)由于，所以有＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
知识点四　实数指数幂的运算
13．()·()的值是(　　)
A．3
B．3
C．9
D．81
答案　B
解析　()·()＝[()2]
＝3.
14．若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝________，10x＋y＝________.
答案　　12
解析　10x－y＝＝，10x＋y＝10x·10y＝12.
15．计算(或化简)下列各式：
解　(1)
＝34×a2＝81a2.
(2)
＝b0＝1.
(3)
＝x4y－9.
(4)
16．解下列方程：
(1)2x2＋1＝x；(2)81×32x＝x＋2.
解　(1)方程可化为2x2＋1＝2－2x，∴x2＋1＝－2x，
即(x＋1)2＝0，解得x＝－1.
(2)∵81×32x＝x＋2，
∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
∴2x＋4＝－2(x＋2)，解得x＝－2.
17．计算：·.
解　原式＝×2
＝×2
＝×2
＝×2
＝×2
＝×2
＝×2
＝2－.
18．已知＋＝－a－b，求
＋
的值．
解　因为＋＝－a－b.
所以＝－a，＝－b，
所以a≤0，b≤0，
所以a＋b≤0，
所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.
易错点一　化简忽略条件而致误
计算：
＋
.
易错分析　注意
≠1－，而是
＝|1－|＝－1.其出错原因是＝a(a∈R)成立的条件是n为正奇数，如果n为正偶数，那么＝|a|.
正解　＋
＝(1＋)＋|1－|＝1＋＋－1＝2.
易错点二　用错指数幂的运算法则
化简
(a>0)．
易错分析　本题在进行化简时，容易出现根指数与被开方数的指数直接相乘，导致错误．
正解　原式＝
一、单项选择题
1.＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　)
A．a≥2
B．2≤a<4或a>4
C．a≠2
D．a≠4
答案　B
解析　要使原式有意义，需满足：，解得2≤a<4或a>4.
2．计算(n∈N
)的结果为(　　)
A.
B．22n＋5
C．
D．2n－7
答案　D
解析　原式＝＝＝2n－7.
3．化简
(a，b＞0)的结果是(　　)
A.
B．ab
C．
D．a2b
答案　C
解析　原式＝＝＝.
4．计算得(　　)
A．－b2
B．b2
C．－
D．
答案　A
解析　原式＝＝－b2.
5．若2x＝7,2y＝6，则4x－y等于(　　)
A.
B．
C．
D．
答案　D
解析　2x＝7,2y＝6，则4x－y＝22x－2y＝＝.
6．已知a<0，n∈N，且－(a3)n·a2n＋3>0，则n是(　　)
A．奇数
B．偶数
C．自然数
D．正整数
答案　B
解析　∵2n＋3为奇数，a<0，∴a2n＋3<0.∵负数×负数＝正数，∴－(a3)n<0，∴n为偶数．故选B.
7．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)
A.
B．10
C．20
D．100
答案　A
解析　∵2a＝m,5b＝m，∴2＝，5＝.∵2×5＝，又＋＝2，∴m2＝10，∴m＝或m＝－(舍去)．
8．已知ab＝－5，则a＋b的值是(　　)
A．2
B．0
C．－2
D．±2
答案　B
解析　∵ab＝－5，∴a，b异号，①当a>0，b<0时，a
＋b＝
－
＝－＝0，②当a<0，b>0时，a＋b＝－＋
＝－＋＝0，∴B正确，故选B.
二、多项选择题
9．若xy≠0，则使
＝－2xy成立的条件可能是(　　)
A．x<0，y>0
B．x>0，y<0
C．x≥0，y≥0
D．x<0，y<0
答案　AB
解析　∵＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0，∵xy≠0，∴xy<0.故选AB.
10．下列各式中正确的是(　　)
A．()3＝a
B．()4＝a
C.＝a
D．＝a
答案　ABC
解析　()3＝a，()4＝a，＝a，＝|a|，故选ABC.
11．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．
B．＝
(y<0)
C．＝
(x>0)
D．＝(x≠0)
答案　CD
解析　对于A，－＝－，故A错误；对于B，当y<0时，>0，<0，故B错误；对于C，＝＝
(x>0)，故C正确；对于D，＝，故D正确．故选CD.
12．下列各式中正确的是(　　)
A．(－)4＝a－b
B．()4＝a＋b
C.－＝a－b
D．＝|a＋b|
答案　BD
解析　对于A，可令a＝16，b＝81，则＝2，＝3，式子左边为(2－3)4＝1，右边为16－81＝－65，左边≠右边，不成立；对于B，由n次方根的定义，可知()n＝a，则()4＝a＋b恒成立，故B正确；对于C，可令a＝－2，b＝－3，则＝2，＝3，式子左边为2－3＝－1，右边为(－2)－(－3)＝1，左边≠右边，不成立；对于D，由n次方根的性质可知，当n为偶数时，＝|a|，当n为奇数时，＝a，则＝|a＋b|，故D正确．故选BD.
三、填空题
13．计算：－0＋－0.5＋
＝________.
答案　π＋
解析　原式＝＋1－1＋2×0.5＋π－＝π＋.
14．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
答案　　
解析　利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝.
15．已知x＝3－a，y－1＝21－b，z＝4b×27－a，则z＝________(用含有x，y的代数式表示)．
答案　4x3y2
解析　因为y－1＝21－b，所以y＝2b－1＝×2b,2b＝2y.因为x＝3－a，所以z＝4b×27－a＝(2b)2×(3－a)3＝(2y)2×x3＝4x3y2.
16．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是________．
答案　4
解析　由[t]＝1，得1≤t<2.
由[t2]＝2，得2≤t2<3.
由[t4]＝4，得4≤t4<5，所以2≤t2<.
由[t3]＝3，得3≤t3<4，所以6≤t5<4.
由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<4矛盾，
故正整数n的最大值是4.
四、解答题
17．化简
解　原式＝
18．已知a＝2，b＝5，求·的值．
解　a6b－6－6a3b－1＋9b4＝(a3b－3－3b2)2，
由a＝2，b＝5，得a3b－3<3b2.
∴原式＝·
＝－＝－
＝－b2.
∵b＝5，故原式＝－50.
19．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a解　因为a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，
所以a＋b＝12，ab＝9，所以(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
＝122－4×9＝108，因为a所以＝
＝＝－.
20．已知ax3＝by3＝cz3，且＋＋＝1，求证：(ax2＋.
证明　令ax3＝by3＝cz3＝t，
则ax2＝，by2＝，cz2＝，
因为＋＋＝1，所以＋＋＝t，
即ax2＋by2＋cz2＝t.
所以