6.1.1向量的概念 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析）
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| 名称 | 6.1.1向量的概念 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 476.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 09:24:19 | ||
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文档简介
第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
知识点一 向量的概念
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．判断下列说法是否正确：
(1)温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量；
(2)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；
(3)电流是既有大小又有方向的量，因此是向量．
知识点二 向量的表示
3．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出多少个向量？请分别列出．
4．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量，，，.
知识点三 向量的模及两个特殊的向量
5．下列结论中正确的是( )
A．对任一向量a，|－a|>0总是成立的
B．模为0的向量的方向是不确定的
C．向量就是有向线段
D．任意两个单位向量的方向相同
6．下列命题：
①零向量是没有方向的；
②0与0是相同的；
③零向量的方向是任意的；
④单位向量的方向是任意的；
其中正确的是________(只填序号)．
7．如图所示，一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30
n
mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向30
n
mile处有一艘渔船抛锚需救助，试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移．
知识点四 向量的相等与平行
8．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量称为相等向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
9．下列关于向量的说法正确的个数是
( )
①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线．
A．3
B．2
C．1
D．0
10．(多选)下列结论中正确的是( )
A．若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|
B．单位向量相等
C．向量与向量的模相等
D．若|a|＝0，则a＝0
11．如图，设点O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中正确结论的序号为________．
12．下列四个命题：
①模为0的向量与任意向量平行；②单位向量与任一向量平行；③两个方向相反的向量必是共线向量；④两个非零向量平行，则这两个向量相等．
其中为真命题的是________．
13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出：
(1)向量的起点、终点和长度；
(2)与向量共线的向量；
(3)与向量相等的向量．
14．如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝.求证：CN綊MA．
15．四边形ABCD中，＝，且||＝||，tanD＝，判断四边形ABCD的形状．
易错点 对相等向量的概念把握不准致误
在?ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S}，且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
易错分析 求解本题时，若不能准确把握“方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量”，就会误认为T中元素的个数为20.
一、单项选择题
1．在⊙O中，以O点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是( )
A．方向
B．大小
C．大小和方向
D．以上均不对
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A．
B．
C．1
D．2
3．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
4．如图，已知D，E，F是正三角形ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与(除外)共线的向量个数为( )
A．2
B．4
C．5
D．7
5．下列各命题中，正确命题的个数为( )
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若＝，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若0∥a，0∥b，则a∥b.
A．4
B．3
C．2
D．1
6．下列结论中，正确的是( )
A．2020
cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500
m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
7．如图，A1，A2，A3，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2，A3，…，A8及点O中的任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量的个数为( )
A．8
B．12
C．16
D．24
8．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为( )
A．
B．
C．2
D．
二、多项选择题
9．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中正确的是( )
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
10．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中，正确的是( )
A．C?A
B．A∩B＝{a}
C．C?B
D．A∩B?{a}
11．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．>
D．∥
12．对于向量a与b，下列说法不正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a与b是共线向量
B．若|a|<|b|，则aC．若存在向量c，使得a∥c且c∥b，则a∥b
D．若a＝b，则|a|＝|b|
三、填空题
13．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
14．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量的个数是________．
15．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝，则||的最大值为________，最小值为________．
16．圆O的周长是2π，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点，∠BAC＝，CD⊥AB于点D，这时||＝________.
四、解答题
17．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，求向量的模．
18．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与的模相等的向量．
19．如图所示，四边形ABCD中＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
20．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1
m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1
m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1
m，按此方法继续操作下去．
(1)按适当的比例作图说明当α＝45时，至少需操作几次时赛车的位移为0；
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个即可．
第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
知识点一 向量的概念
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案 D
解析 一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．故选D．
2．判断下列说法是否正确：
(1)温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量；
(2)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；
(3)电流是既有大小又有方向的量，因此是向量．
解 (1)虽然温度有零上、零下之分，但不是方向，故温度不是向量，故(1)不正确．
(2)作用力与反作用力是作用于同一点，且大小相等、方向相反的两个力，而力是向量，故(2)正确．
(3)电流虽然是既有大小又有方向的量，但大小与方向不是几何意义上的大小与方向，故(3)不正确．
知识点二 向量的表示
3．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出多少个向量？请分别列出．
解 由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是，，，，，，，，，，，.
4．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量，，，.
解 如图所示．
知识点三 向量的模及两个特殊的向量
5．下列结论中正确的是( )
A．对任一向量a，|－a|>0总是成立的
B．模为0的向量的方向是不确定的
C．向量就是有向线段
D．任意两个单位向量的方向相同
答案 B
解析 若向量a为零向量，则|－0|＝0，故A错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，B正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而向量是带方向的量，不是有向线段，C错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，D错误．
6．下列命题：
①零向量是没有方向的；
②0与0是相同的；
③零向量的方向是任意的；
④单位向量的方向是任意的；
其中正确的是________(只填序号)．
答案 ③
解析 由零向量的定义，知零向量的方向是任意的，①错误，③正确；0表示向量，0是数量，两者表示不同的意义，故②错误；由单位向量的定义，知单位向量的方向虽然没有确定，但对具体的某个单位向量来说，它是唯一的，故④错误．
7．如图所示，一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30
n
mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向30
n
mile处有一艘渔船抛锚需救助，试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移．
解 (1)由||＝30
n
mile，||＝30
n
mile，知巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程为
(30＋30)
n
mile.
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是，由题图，知||＝
＝60
n
mile.
由tan∠BAC＝＝，知∠BAC＝60°.
故位移大小为60
n
mile，方向为北偏东60°.
知识点四 向量的相等与平行
8．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量称为相等向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
答案 C
解析 向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错误；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误．
9．下列关于向量的说法正确的个数是
( )
①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线．
A．3
B．2
C．1
D．0
答案 C
解析 始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．故选C．
10．(多选)下列结论中正确的是( )
A．若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|
B．单位向量相等
C．向量与向量的模相等
D．若|a|＝0，则a＝0
答案 ACD
解析 a＝b等价a与b的方向相同且模相等，故A正确；单位向量的模相等，但方向不一定相同，故B错误；||＝||＝AB，故C正确；如果一个向量的模等于0，则这个向量是零向量，故D正确．故选ACD．
11．如图，设点O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中正确结论的序号为________．
答案 ①②③
解析 因为正方形的对角线互相平分，所以＝，①正确；因为与的方向相同，所以∥，②正确；因为与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．
12．下列四个命题：
①模为0的向量与任意向量平行；②单位向量与任一向量平行；③两个方向相反的向量必是共线向量；④两个非零向量平行，则这两个向量相等．
其中为真命题的是________．
答案 ①③
解析 模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，与任意向量平行，故①正确；单位向量的方向不确定，故②不正确；两个方向相反的向量必是共线向量，③正确；两个非零向量平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等．故④不正确．
13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出：
(1)向量的起点、终点和长度；
(2)与向量共线的向量；
(3)与向量相等的向量．
解 (1)向量的起点为O，终点为A，长度为2.
(2)与共线的向量有，，，，，，，，.
(3)与相等的向量有，，.
14．如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝.求证：CN綊MA．
证明 由＝可知AB＝DC且AB∥DC，
所以四边形ABCD为平行四边形，从而＝.
又M，N分别是BC，AD的中点，
于是＝，
所以AN＝MC且AN∥MC，
所以四边形AMCN是平行四边形，
从而CN＝MA且CN∥MA，
即CN綊MA．
15．四边形ABCD中，＝，且||＝||，tanD＝，判断四边形ABCD的形状．
解 ∵在四边形ABCD中，＝，
∴AB綊DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵tanD＝，
∴∠B＝∠D＝60°.
又||＝||，
∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC，故四边形ABCD是菱形．
易错点 对相等向量的概念把握不准致误
在?ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S}，且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
易错分析 求解本题时，若不能准确把握“方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量”，就会误认为T中元素的个数为20.
正解 S＝{A，B，C，D，O}，S中任意两点连成的有向线段有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
由平行四边形的性质可知(如图)，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，又集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．
一、单项选择题
1．在⊙O中，以O点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是( )
A．方向
B．大小
C．大小和方向
D．以上均不对
答案 B
解析 由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的．
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A．
B．
C．1
D．2
答案 C
解析 因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.如图．
3．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
答案 D
解析 正n边形的边长相等，故这n个向量的模相等．故选D．
4．如图，已知D，E，F是正三角形ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与(除外)共线的向量个数为( )
A．2
B．4
C．5
D．7
答案 D
解析 与共线的向量有，，，，，，.故选D．
5．下列各命题中，正确命题的个数为( )
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若＝，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若0∥a，0∥b，则a∥b.
A．4
B．3
C．2
D．1
答案 D
解析 ①|a|＝|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量同向，故此命题不正确；②由＝可得||＝||且∥，由于∥，A，B，C，D可能在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④0与任意向量平行，命题不正确．故选D．
6．下列结论中，正确的是( )
A．2020
cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500
m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
答案 B
解析 一个单位长度取2020
cm时，2020
cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；B显然正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故C错误；根据位移的定义可知向量表示这个人从A点到B点的位移，故D错误．
7．如图，A1，A2，A3，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2，A3，…，A8及点O中的任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量的个数为( )
A．8
B．12
C．16
D．24
答案 C
解析 因为A1，A2，A3，…，A8是⊙O上的八个等分点，所以八边形A1A2A3…A8是正八边形．因为正八边形的边及对角线长均与⊙O的半径不相等，所以模等于半径的向量只可能是与(i＝1,2，…，8)两类，一类是(i＝1,2，…，8)，有8个；另一类是(i＝1,2，…，8)也有8个．两类合计16个，即模等于半径的向量有16个．
8．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为( )
A．
B．
C．2
D．
答案 A
解析 如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
所以||＝||.
因为△ADE∽△BDC，
所以＝＝，故||＝.
二、多项选择题
9．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中正确的是( )
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
答案 ABC
解析 根据题意，依次分析选项可知A，B，C均成立，对于D，a与b为反向的共线向量，则a和b不相等，D错误．故选ABC．
10．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中，正确的是( )
A．C?A
B．A∩B＝{a}
C．C?B
D．A∩B?{a}
答案 ACD
解析 因为A∩B中含有与a方向相反的向量，所以B错误．故选ACD．
11．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．>
D．∥
答案 BD
解析 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，所以||＝||；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以∥，故选BD．
12．对于向量a与b，下列说法不正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a与b是共线向量
B．若|a|<|b|，则aC．若存在向量c，使得a∥c且c∥b，则a∥b
D．若a＝b，则|a|＝|b|
答案 ABC
解析 两个向量的模相等，它们的方向可以是任意的，故A错误；向量不能比较大小，B错误；当c为零向量时，C错误．D正确．故选ABC．
三、填空题
13．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
答案 3π
解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
14．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量的个数是________．
答案 8
解析 找出与AC平行的直线，确定长度为2的线段，共有，，，，，，，，故共有8个．
15．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝，则||的最大值为________，最小值为________．
答案
解析 画出所有的向量如图所示．由所画的图知，当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
∴||的最大值为，最小值为.
16．圆O的周长是2π，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点，∠BAC＝，CD⊥AB于点D，这时||＝________.
答案
解析 求||即为求线段CD的长，如图，
因为圆O的周长是2π，所以直径AB＝2.又因为C是圆周上的一点，所以△ACB是直角三角形，且∠ACB＝.
由∠BAC＝，
得BC＝AB＝×2＝1.
所以CD＝BC·sin＝1×＝，
即||＝.
四、解答题
17．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，求向量的模．
解 在?ABCD和?ABDE中，易知＝，＝，
∴＝，∴E，D，C三点共线．
∴||＝||＋||＝2||＝6.
18．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与的模相等的向量．
解 (1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与的模相等的向量有：
，，，，，，.
19．如图所示，四边形ABCD中＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
证明 由＝可知，
AB∥CD且||＝||，
故四边形ABCD为平行四边形，
∴∥且||＝||.
又由＝同理可得，四边形CNAM是平行四边形，∴∥且||＝||.
∵||＝||－||＝||－||，
||＝||－||，
∴||＝||，又∥，
∴与方向相同，
即∥，
故＝.
20．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1
m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1
m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1
m，按此方法继续操作下去．
(1)按适当的比例作图说明当α＝45时，至少需操作几次时赛车的位移为0；
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个即可．
解 (1)如右图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝＝45.
(2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180－α)度的正多边形，故n(180－α)＝(n－2)180，得α＝，又n是不小于3的整数，所以当n＝10，即α＝36时需操作10次可回到出发点；当n＝12，即α＝30时需操作12次可回到出发点．
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
知识点一 向量的概念
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．判断下列说法是否正确：
(1)温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量；
(2)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；
(3)电流是既有大小又有方向的量，因此是向量．
知识点二 向量的表示
3．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出多少个向量？请分别列出．
4．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量，，，.
知识点三 向量的模及两个特殊的向量
5．下列结论中正确的是( )
A．对任一向量a，|－a|>0总是成立的
B．模为0的向量的方向是不确定的
C．向量就是有向线段
D．任意两个单位向量的方向相同
6．下列命题：
①零向量是没有方向的；
②0与0是相同的；
③零向量的方向是任意的；
④单位向量的方向是任意的；
其中正确的是________(只填序号)．
7．如图所示，一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30
n
mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向30
n
mile处有一艘渔船抛锚需救助，试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移．
知识点四 向量的相等与平行
8．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量称为相等向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
9．下列关于向量的说法正确的个数是
( )
①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线．
A．3
B．2
C．1
D．0
10．(多选)下列结论中正确的是( )
A．若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|
B．单位向量相等
C．向量与向量的模相等
D．若|a|＝0，则a＝0
11．如图，设点O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中正确结论的序号为________．
12．下列四个命题：
①模为0的向量与任意向量平行；②单位向量与任一向量平行；③两个方向相反的向量必是共线向量；④两个非零向量平行，则这两个向量相等．
其中为真命题的是________．
13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出：
(1)向量的起点、终点和长度；
(2)与向量共线的向量；
(3)与向量相等的向量．
14．如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝.求证：CN綊MA．
15．四边形ABCD中，＝，且||＝||，tanD＝，判断四边形ABCD的形状．
易错点 对相等向量的概念把握不准致误
在?ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S}，且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
易错分析 求解本题时，若不能准确把握“方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量”，就会误认为T中元素的个数为20.
一、单项选择题
1．在⊙O中，以O点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是( )
A．方向
B．大小
C．大小和方向
D．以上均不对
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A．
B．
C．1
D．2
3．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
4．如图，已知D，E，F是正三角形ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与(除外)共线的向量个数为( )
A．2
B．4
C．5
D．7
5．下列各命题中，正确命题的个数为( )
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若＝，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若0∥a，0∥b，则a∥b.
A．4
B．3
C．2
D．1
6．下列结论中，正确的是( )
A．2020
cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500
m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
7．如图，A1，A2，A3，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2，A3，…，A8及点O中的任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量的个数为( )
A．8
B．12
C．16
D．24
8．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为( )
A．
B．
C．2
D．
二、多项选择题
9．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中正确的是( )
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
10．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中，正确的是( )
A．C?A
B．A∩B＝{a}
C．C?B
D．A∩B?{a}
11．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．>
D．∥
12．对于向量a与b，下列说法不正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a与b是共线向量
B．若|a|<|b|，则a
D．若a＝b，则|a|＝|b|
三、填空题
13．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
14．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量的个数是________．
15．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝，则||的最大值为________，最小值为________．
16．圆O的周长是2π，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点，∠BAC＝，CD⊥AB于点D，这时||＝________.
四、解答题
17．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，求向量的模．
18．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与的模相等的向量．
19．如图所示，四边形ABCD中＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
20．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1
m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1
m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1
m，按此方法继续操作下去．
(1)按适当的比例作图说明当α＝45时，至少需操作几次时赛车的位移为0；
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个即可．
第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
知识点一 向量的概念
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案 D
解析 一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．故选D．
2．判断下列说法是否正确：
(1)温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量；
(2)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；
(3)电流是既有大小又有方向的量，因此是向量．
解 (1)虽然温度有零上、零下之分，但不是方向，故温度不是向量，故(1)不正确．
(2)作用力与反作用力是作用于同一点，且大小相等、方向相反的两个力，而力是向量，故(2)正确．
(3)电流虽然是既有大小又有方向的量，但大小与方向不是几何意义上的大小与方向，故(3)不正确．
知识点二 向量的表示
3．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出多少个向量？请分别列出．
解 由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是，，，，，，，，，，，.
4．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量，，，.
解 如图所示．
知识点三 向量的模及两个特殊的向量
5．下列结论中正确的是( )
A．对任一向量a，|－a|>0总是成立的
B．模为0的向量的方向是不确定的
C．向量就是有向线段
D．任意两个单位向量的方向相同
答案 B
解析 若向量a为零向量，则|－0|＝0，故A错误；模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，B正确；有向线段是向量的几何表示，是个图形，而向量是带方向的量，不是有向线段，C错误；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，D错误．
6．下列命题：
①零向量是没有方向的；
②0与0是相同的；
③零向量的方向是任意的；
④单位向量的方向是任意的；
其中正确的是________(只填序号)．
答案 ③
解析 由零向量的定义，知零向量的方向是任意的，①错误，③正确；0表示向量，0是数量，两者表示不同的意义，故②错误；由单位向量的定义，知单位向量的方向虽然没有确定，但对具体的某个单位向量来说，它是唯一的，故④错误．
7．如图所示，一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30
n
mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向30
n
mile处有一艘渔船抛锚需救助，试求：
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移．
解 (1)由||＝30
n
mile，||＝30
n
mile，知巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程为
(30＋30)
n
mile.
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是，由题图，知||＝
＝60
n
mile.
由tan∠BAC＝＝，知∠BAC＝60°.
故位移大小为60
n
mile，方向为北偏东60°.
知识点四 向量的相等与平行
8．下列说法正确的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量称为相等向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
答案 C
解析 向量∥包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错误；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误．
9．下列关于向量的说法正确的个数是
( )
①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线．
A．3
B．2
C．1
D．0
答案 C
解析 始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．故选C．
10．(多选)下列结论中正确的是( )
A．若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|
B．单位向量相等
C．向量与向量的模相等
D．若|a|＝0，则a＝0
答案 ACD
解析 a＝b等价a与b的方向相同且模相等，故A正确；单位向量的模相等，但方向不一定相同，故B错误；||＝||＝AB，故C正确；如果一个向量的模等于0，则这个向量是零向量，故D正确．故选ACD．
11．如图，设点O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中正确结论的序号为________．
答案 ①②③
解析 因为正方形的对角线互相平分，所以＝，①正确；因为与的方向相同，所以∥，②正确；因为与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．
12．下列四个命题：
①模为0的向量与任意向量平行；②单位向量与任一向量平行；③两个方向相反的向量必是共线向量；④两个非零向量平行，则这两个向量相等．
其中为真命题的是________．
答案 ①③
解析 模为0的向量为零向量，零向量的方向是不确定的，与任意向量平行，故①正确；单位向量的方向不确定，故②不正确；两个方向相反的向量必是共线向量，③正确；两个非零向量平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等．故④不正确．
13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出：
(1)向量的起点、终点和长度；
(2)与向量共线的向量；
(3)与向量相等的向量．
解 (1)向量的起点为O，终点为A，长度为2.
(2)与共线的向量有，，，，，，，，.
(3)与相等的向量有，，.
14．如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝.求证：CN綊MA．
证明 由＝可知AB＝DC且AB∥DC，
所以四边形ABCD为平行四边形，从而＝.
又M，N分别是BC，AD的中点，
于是＝，
所以AN＝MC且AN∥MC，
所以四边形AMCN是平行四边形，
从而CN＝MA且CN∥MA，
即CN綊MA．
15．四边形ABCD中，＝，且||＝||，tanD＝，判断四边形ABCD的形状．
解 ∵在四边形ABCD中，＝，
∴AB綊DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵tanD＝，
∴∠B＝∠D＝60°.
又||＝||，
∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC，故四边形ABCD是菱形．
易错点 对相等向量的概念把握不准致误
在?ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S}，且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
易错分析 求解本题时，若不能准确把握“方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量”，就会误认为T中元素的个数为20.
正解 S＝{A，B，C，D，O}，S中任意两点连成的有向线段有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
由平行四边形的性质可知(如图)，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，又集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个．
一、单项选择题
1．在⊙O中，以O点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是( )
A．方向
B．大小
C．大小和方向
D．以上均不对
答案 B
解析 由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的．
2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为( )
A．
B．
C．1
D．2
答案 C
解析 因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.如图．
3．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
答案 D
解析 正n边形的边长相等，故这n个向量的模相等．故选D．
4．如图，已知D，E，F是正三角形ABC三边的中点，由A，B，C，D，E，F六点中的两点构成的向量中与(除外)共线的向量个数为( )
A．2
B．4
C．5
D．7
答案 D
解析 与共线的向量有，，，，，，.故选D．
5．下列各命题中，正确命题的个数为( )
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若＝，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若0∥a，0∥b，则a∥b.
A．4
B．3
C．2
D．1
答案 D
解析 ①|a|＝|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量同向，故此命题不正确；②由＝可得||＝||且∥，由于∥，A，B，C，D可能在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④0与任意向量平行，命题不正确．故选D．
6．下列结论中，正确的是( )
A．2020
cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500
m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
答案 B
解析 一个单位长度取2020
cm时，2020
cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；B显然正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故C错误；根据位移的定义可知向量表示这个人从A点到B点的位移，故D错误．
7．如图，A1，A2，A3，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2，A3，…，A8及点O中的任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量的个数为( )
A．8
B．12
C．16
D．24
答案 C
解析 因为A1，A2，A3，…，A8是⊙O上的八个等分点，所以八边形A1A2A3…A8是正八边形．因为正八边形的边及对角线长均与⊙O的半径不相等，所以模等于半径的向量只可能是与(i＝1,2，…，8)两类，一类是(i＝1,2，…，8)，有8个；另一类是(i＝1,2，…，8)也有8个．两类合计16个，即模等于半径的向量有16个．
8．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为( )
A．
B．
C．2
D．
答案 A
解析 如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
所以||＝||.
因为△ADE∽△BDC，
所以＝＝，故||＝.
二、多项选择题
9．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中正确的是( )
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
答案 ABC
解析 根据题意，依次分析选项可知A，B，C均成立，对于D，a与b为反向的共线向量，则a和b不相等，D错误．故选ABC．
10．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中，正确的是( )
A．C?A
B．A∩B＝{a}
C．C?B
D．A∩B?{a}
答案 ACD
解析 因为A∩B中含有与a方向相反的向量，所以B错误．故选ACD．
11．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．>
D．∥
答案 BD
解析 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，所以||＝||；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以∥，故选BD．
12．对于向量a与b，下列说法不正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a与b是共线向量
B．若|a|<|b|，则a
D．若a＝b，则|a|＝|b|
答案 ABC
解析 两个向量的模相等，它们的方向可以是任意的，故A错误；向量不能比较大小，B错误；当c为零向量时，C错误．D正确．故选ABC．
三、填空题
13．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
答案 3π
解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
14．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量的个数是________．
答案 8
解析 找出与AC平行的直线，确定长度为2的线段，共有，，，，，，，，故共有8个．
15．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝，则||的最大值为________，最小值为________．
答案
解析 画出所有的向量如图所示．由所画的图知，当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
∴||的最大值为，最小值为.
16．圆O的周长是2π，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点，∠BAC＝，CD⊥AB于点D，这时||＝________.
答案
解析 求||即为求线段CD的长，如图，
因为圆O的周长是2π，所以直径AB＝2.又因为C是圆周上的一点，所以△ACB是直角三角形，且∠ACB＝.
由∠BAC＝，
得BC＝AB＝×2＝1.
所以CD＝BC·sin＝1×＝，
即||＝.
四、解答题
17．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，求向量的模．
解 在?ABCD和?ABDE中，易知＝，＝，
∴＝，∴E，D，C三点共线．
∴||＝||＋||＝2||＝6.
18．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别找出与，相等的向量；
(2)找出与共线的向量；
(3)找出与的模相等的向量．
解 (1)＝，＝.
(2)与共线的向量有：，，.
(3)与的模相等的向量有：
，，，，，，.
19．如图所示，四边形ABCD中＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
证明 由＝可知，
AB∥CD且||＝||，
故四边形ABCD为平行四边形，
∴∥且||＝||.
又由＝同理可得，四边形CNAM是平行四边形，∴∥且||＝||.
∵||＝||－||＝||－||，
||＝||－||，
∴||＝||，又∥，
∴与方向相同，
即∥，
故＝.
20．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1
m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1
m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1
m，按此方法继续操作下去．
(1)按适当的比例作图说明当α＝45时，至少需操作几次时赛车的位移为0；
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个即可．
解 (1)如右图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝＝45.
(2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180－α)度的正多边形，故n(180－α)＝(n－2)180，得α＝，又n是不小于3的整数，所以当n＝10，即α＝36时需操作10次可回到出发点；当n＝12，即α＝30时需操作12次可回到出发点．