6.1.2向量的加法 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 6.1.2向量的加法 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 540.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 09:24:36 | ||
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文档简介
6.1.2 向量的加法
知识点一 向量加法的三角形法则
1．已知向量a，b，c，那么下列结论中正确的是( )
A．a＋b＝c
B．b＋c＝a
C．a＋c＝b
D．|a|＋|b|＝|c|
2．若||＝8，||＝3，则||的取值范围是( )
A．(5,11)
B．[5,11]
C．(5,8)
D．[5,8]
3．当a，b满足下列哪种条件时，等式|a＋b|＝|a|－|b|成立？( )
A．a与b同向且|a|≥|b|
B．a与b反向且|a|≤|b|
C．a与b同向且|a|≤|b|
D．a与b反向且|a|≥|b|
4．如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
5．某人第1次的位移为向量a：“向北走2
km”，第2次的位移为向量b：“向东走2
km”，求a＋b表示的意义．
知识点二 向量加法的平行四边形法则
6．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A．
B．
C．
D．
7．在?ABCD中，若|＋|＝|＋|，则必有( )
A．?ABCD为菱形
B．?ABCD为矩形
C．?ABCD为正方形
D．以上皆错
8．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A．＋＝0
B．＋＝
C．＋＝
D．＋＝0
9．如图，在正六边形OABCDE中，若＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．
10．某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
知识点三 多个向量相加
11．向量＋＋＋＋＝( )
A．
B．
C．
D．
12．?ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O.
则(1)＋＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________.
13．化简下列各式：
(1)＋＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋.
14.
如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
15.
已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
易错点 对向量加法的几何意义理解不正确致误
如图，P是△ABC所在平面内一点，且满足＋＝，则( )
A．＝
B．＝
C．＋＝
D．＋＝
易错分析 对向量加法的几何意义理解不正确，从而不能正确得到图形的几何性质．
一、单项选择题
1．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
2．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B．
C．
D．
3．若C是线段AB的中点，则＋等于( )
A．
B．
C．0
D．以上均不正确
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0
B．3
C．
D．2
5．已知向量a，b均为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
6．已知P为△ABC所在平面内的一点，当＋＝时，点P位于△ABC的( )
A．AB边上
B．BC边上
C．内部
D．外部
7．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b反向
C．a＝－b
D．a，b无论什么关系均可
8．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1.若＋＝＋，且||＝||，则△ABC的面积为( )
A．
B．
C．2
D．1
二、多项选择题
9．下列命题不正确的是( )
A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点
C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥b
D．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0
10．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是( )
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D．|a＋b|<|a|＋|b|
11．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．＋＝
D．＋＝
12．在?ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是( )
A．a＋b＝c
B．a＋d＝b
C．b＋d＝a
D．|a＋b|＝|c|
三、填空题
13．小李从家里出发，先到小卖部买了一瓶矿泉水，再到小区门口，这样走的路程________(填“大于”“小于”“不大于”“不小于”或“等于”)他从家里直接到小区门口的距离．(假设这几条路都是直的)
14．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则＋＋＋＋＝________.
15．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
16．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝________.
四、解答题
17.
如图，已知向量a，b.
(1)用平行四边形法则作出向量a＋b；
(2)用三角形法则作出向量a＋b.
18．如图，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
19．雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为2
m/s，现有东风且风速为2
m/s，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
20．暴雨袭击了某小镇，在一次营救中，小汽艇在静水中的速度为12
km/h，河水的速度是6
km/h.如果小汽艇向着垂直于河岸的方向行驶，那么小汽艇在河水中的实际行驶速度是多少？方向怎样？如果此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直于河岸的方向到达对岸，船的行驶方向又应该怎样？
6.1.2 向量的加法
知识点一 向量加法的三角形法则
1．已知向量a，b，c，那么下列结论中正确的是( )
A．a＋b＝c
B．b＋c＝a
C．a＋c＝b
D．|a|＋|b|＝|c|
答案 B
解析 根据向量加法的三角形法则可得b＋c＝a.故选B．
2．若||＝8，||＝3，则||的取值范围是( )
A．(5,11)
B．[5,11]
C．(5,8)
D．[5,8]
答案 B
解析 ∵|||－|||≤|＋|≤||＋||，＝＋，∴5≤||≤11.故选B．
3．当a，b满足下列哪种条件时，等式|a＋b|＝|a|－|b|成立？( )
A．a与b同向且|a|≥|b|
B．a与b反向且|a|≤|b|
C．a与b同向且|a|≤|b|
D．a与b反向且|a|≥|b|
答案 D
解析 当a与b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|.
4．如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
解 (1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图①.
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图②.
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图③.
5．某人第1次的位移为向量a：“向北走2
km”，第2次的位移为向量b：“向东走2
km”，求a＋b表示的意义．
解 如图所示，适当选取比例尺，作＝a：“向北走2
km”，
＝b：“向东走2
km”，
则＝＋＝a＋b.
因为△OAB是直角三角形，
所以||＝＝2
km.
又因为∠AOB＝45°，
所以a＋b表示向东北走2
km.
知识点二 向量加法的平行四边形法则
6．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
7．在?ABCD中，若|＋|＝|＋|，则必有( )
A．?ABCD为菱形
B．?ABCD为矩形
C．?ABCD为正方形
D．以上皆错
答案 B
解析 如图，在?ABCD中，＝，由平行四边形法则知＋＝，＋＝＋＝.由|＋|＝|＋|，得||＝||，所以?ABCD是矩形．
8．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A．＋＝0
B．＋＝
C．＋＝
D．＋＝0
答案 ABD
解析 由||＝||，且与的方向相反，知＋＝＋＝＝0，故A正确；由向量加法的平行四边形法则知＋＝，故B正确；由向量加法的三角形法则知＋＝，故C错误；由||＝||，且与方向相反，知＋＝＋＝＝0，故D正确．
9．如图，在正六边形OABCDE中，若＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．
解 由题意知四边形ABPO，AOEP均为平行四边形，
由向量的平行四边形法则，知＝＋＝a＋b.
在?ABPO中，根据向量的平行四边形法则，
知＝＋＝a＋a＋b，
∴＝＋＝a＋a＋b＋b.
＝＋＝b＋a＋b.
10．某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
解 如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作?OACB，则此人的实际速度为＋＝.
由勾股定理知||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与河岸成60°的夹角且顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．
知识点三 多个向量相加
11．向量＋＋＋＋＝( )
A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 向量＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝.故选A．
12．?ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O.
则(1)＋＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________.
答案 (1) (2) (3)0
解析 (1)＋＋＝＋＝＋＋＝＋＝0＋＝.
(2)＋＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＝＋＝＝0.
13．化简下列各式：
(1)＋＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋.
解 (1)原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
(2)原式＝(＋)＋＝.
(3)原式＝＋＝＋＝.
14.
如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
解 (1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝0.
15.
已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
证明 连接EF，由题意知，＝＋，＝＋，＝＋.
由D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点可知，＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋＋＋)＋(＋)＝(＋＋＋＋)＋0＝＋＋＝＋＋＝＋＝＝0.
易错点 对向量加法的几何意义理解不正确致误
如图，P是△ABC所在平面内一点，且满足＋＝，则( )
A．＝
B．＝
C．＋＝
D．＋＝
易错分析 对向量加法的几何意义理解不正确，从而不能正确得到图形的几何性质．
答案 C
正解 由平面向量加法的几何意义，知四边形ABCP为平行四边形，故＝，＝，＋＝，即A，B，D错误，所以选C．
一、单项选择题
1．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 D
解析 根据向量加法的运算律可知与向量a＋b＋c相等的个数为5.
2．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B．
C．
D．
答案 D
解析 由于＝，故＋＋＝＋＋＝.
3．若C是线段AB的中点，则＋等于( )
A．
B．
C．0
D．以上均不正确
答案 C
解析 与的模相等而方向相反，因此＋＝＋＝＝0.
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0
B．3
C．
D．2
答案 D
解析 ∵＋＝，且|c|＝，∴|a＋b＋c|＝|c＋c|＝|c|＋|c|＝2.故选D．
5．已知向量a，b均为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
答案 B
解析 ∵a与b方向相反，|a|<|b|，∴a＋b与a的方向相反，故B不正确．
6．已知P为△ABC所在平面内的一点，当＋＝时，点P位于△ABC的( )
A．AB边上
B．BC边上
C．内部
D．外部
答案 D
解析 如图所示，若点P位于△ABC的内部，则＋＝与的方向相反，不符合题意；若点P位于△ABC的边上时也不符合．因此点P位于△ABC的外部．故选D．
7．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b反向
C．a＝－b
D．a，b无论什么关系均可
答案 A
解析 当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a的方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.故选A．
8．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1.若＋＝＋，且||＝||，则△ABC的面积为( )
A．
B．
C．2
D．1
答案 B
解析 ＋＝＋，即＝，∴O为BC边上的中点．∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且∠BAC＝，BC＝2.∵||＝||，∴||＝1，||＝，∴S△ABC＝×||×||＝××1＝，故选B．
二、多项选择题
9．下列命题不正确的是( )
A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点
C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥b
D．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0
答案 ABD
解析 当a＋b＝0时，A错误；若＋＋＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B错误；若a与b不共线，则a＋b与a不共线，故C正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|>|b|)，故D错误．
10．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是( )
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D．|a＋b|<|a|＋|b|
答案 AC
解析 由题意可得a＝0，故A，C正确，B错误；因为|a＋b|＝|0＋b|＝|b|＝|a|＋|b|，故D错误．
11．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．＋＝
D．＋＝
答案 ABC
解析 由向量加法的法则，知A，B正确；由向量加法的平行四边形法则，可知＋＝＝≠，故C正确，D错误．故选ABC．
12．在?ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是( )
A．a＋b＝c
B．a＋d＝b
C．b＋d＝a
D．|a＋b|＝|c|
答案 ABD
解析 由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．故选ABD．
三、填空题
13．小李从家里出发，先到小卖部买了一瓶矿泉水，再到小区门口，这样走的路程________(填“大于”“小于”“不大于”“不小于”或“等于”)他从家里直接到小区门口的距离．(假设这几条路都是直的)
答案 不小于
解析 由性质|a＋b|≤|a|＋|b|，小李从家里出发先到小卖部再到小区门口走的路程不小于他从家里直接到小区门口的距离．
14．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则＋＋＋＋＝________.
答案
解析 ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝.
15．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
答案 20 4
解析 当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20，当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.
当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，
即4<|a＋b|<20，
所以最大值为20，最小值为4.
16．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝________.
答案 2
解析 如图所示，设菱形对角线交点为O.
＋＝＋＝.
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又||＝2，∴||＝1.
在Rt△AOB中，||＝
＝，
∴||＝2||＝2.
四、解答题
17.
如图，已知向量a，b.
(1)用平行四边形法则作出向量a＋b；
(2)用三角形法则作出向量a＋b.
解 (1)如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.
(2)如图，在平面内任取一点O′，
作＝a，＝b，连接O′E，
则＝＋＝a＋b.
18．如图，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
解 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝.
∵∠AOB＝120°，||＝||，
∴∠BOD＝60°，||＝||.
∵∠BOC＝120°，||＝||，
∴＋＝＋＝＝0，
故＋＋＝0.
19．雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为2
m/s，现有东风且风速为2
m/s，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
解 如图，表示无风时雨滴的下落速度，表示东风的风速．
由向量加法的平行四边形法则，知有东风时雨滴的下落速度为＝＋.
又||＝2
m/s，
||＝||＝2
m/s，
所以||＝
＝4
m/s，
∠BCA＝60°.
故雨滴沿向下偏西，与地面成60°角的方向，以4
m/s的速度着地．
20．暴雨袭击了某小镇，在一次营救中，小汽艇在静水中的速度为12
km/h，河水的速度是6
km/h.如果小汽艇向着垂直于河岸的方向行驶，那么小汽艇在河水中的实际行驶速度是多少？方向怎样？如果此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直于河岸的方向到达对岸，船的行驶方向又应该怎样？
解 如图①所示，为小汽艇在静水中的速度，为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，知小汽艇的实际速度为＝＋.
在Rt△ADC中，||＝6，||＝||＝12，||＝6≈13.4，∠CAD≈63.43°，即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4
km/h，与水流方向的夹角约为63.43°.
如图②所示，欲使小汽艇沿垂直于河岸的方向到达对岸，设小汽艇实际速度为，则＝＋.
在Rt△ABC中，||＝12，||＝6，
从而∠BAC＝30°，∠BAE＝60°，
即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直于河岸的方向到达对岸．
知识点一 向量加法的三角形法则
1．已知向量a，b，c，那么下列结论中正确的是( )
A．a＋b＝c
B．b＋c＝a
C．a＋c＝b
D．|a|＋|b|＝|c|
2．若||＝8，||＝3，则||的取值范围是( )
A．(5,11)
B．[5,11]
C．(5,8)
D．[5,8]
3．当a，b满足下列哪种条件时，等式|a＋b|＝|a|－|b|成立？( )
A．a与b同向且|a|≥|b|
B．a与b反向且|a|≤|b|
C．a与b同向且|a|≤|b|
D．a与b反向且|a|≥|b|
4．如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
5．某人第1次的位移为向量a：“向北走2
km”，第2次的位移为向量b：“向东走2
km”，求a＋b表示的意义．
知识点二 向量加法的平行四边形法则
6．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A．
B．
C．
D．
7．在?ABCD中，若|＋|＝|＋|，则必有( )
A．?ABCD为菱形
B．?ABCD为矩形
C．?ABCD为正方形
D．以上皆错
8．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A．＋＝0
B．＋＝
C．＋＝
D．＋＝0
9．如图，在正六边形OABCDE中，若＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．
10．某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
知识点三 多个向量相加
11．向量＋＋＋＋＝( )
A．
B．
C．
D．
12．?ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O.
则(1)＋＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________.
13．化简下列各式：
(1)＋＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋.
14.
如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
15.
已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
易错点 对向量加法的几何意义理解不正确致误
如图，P是△ABC所在平面内一点，且满足＋＝，则( )
A．＝
B．＝
C．＋＝
D．＋＝
易错分析 对向量加法的几何意义理解不正确，从而不能正确得到图形的几何性质．
一、单项选择题
1．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
2．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B．
C．
D．
3．若C是线段AB的中点，则＋等于( )
A．
B．
C．0
D．以上均不正确
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0
B．3
C．
D．2
5．已知向量a，b均为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
6．已知P为△ABC所在平面内的一点，当＋＝时，点P位于△ABC的( )
A．AB边上
B．BC边上
C．内部
D．外部
7．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b反向
C．a＝－b
D．a，b无论什么关系均可
8．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1.若＋＝＋，且||＝||，则△ABC的面积为( )
A．
B．
C．2
D．1
二、多项选择题
9．下列命题不正确的是( )
A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点
C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥b
D．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0
10．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是( )
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D．|a＋b|<|a|＋|b|
11．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．＋＝
D．＋＝
12．在?ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是( )
A．a＋b＝c
B．a＋d＝b
C．b＋d＝a
D．|a＋b|＝|c|
三、填空题
13．小李从家里出发，先到小卖部买了一瓶矿泉水，再到小区门口，这样走的路程________(填“大于”“小于”“不大于”“不小于”或“等于”)他从家里直接到小区门口的距离．(假设这几条路都是直的)
14．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则＋＋＋＋＝________.
15．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
16．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝________.
四、解答题
17.
如图，已知向量a，b.
(1)用平行四边形法则作出向量a＋b；
(2)用三角形法则作出向量a＋b.
18．如图，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
19．雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为2
m/s，现有东风且风速为2
m/s，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
20．暴雨袭击了某小镇，在一次营救中，小汽艇在静水中的速度为12
km/h，河水的速度是6
km/h.如果小汽艇向着垂直于河岸的方向行驶，那么小汽艇在河水中的实际行驶速度是多少？方向怎样？如果此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直于河岸的方向到达对岸，船的行驶方向又应该怎样？
6.1.2 向量的加法
知识点一 向量加法的三角形法则
1．已知向量a，b，c，那么下列结论中正确的是( )
A．a＋b＝c
B．b＋c＝a
C．a＋c＝b
D．|a|＋|b|＝|c|
答案 B
解析 根据向量加法的三角形法则可得b＋c＝a.故选B．
2．若||＝8，||＝3，则||的取值范围是( )
A．(5,11)
B．[5,11]
C．(5,8)
D．[5,8]
答案 B
解析 ∵|||－|||≤|＋|≤||＋||，＝＋，∴5≤||≤11.故选B．
3．当a，b满足下列哪种条件时，等式|a＋b|＝|a|－|b|成立？( )
A．a与b同向且|a|≥|b|
B．a与b反向且|a|≤|b|
C．a与b同向且|a|≤|b|
D．a与b反向且|a|≥|b|
答案 D
解析 当a与b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|.
4．如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
解 (1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图①.
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图②.
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图③.
5．某人第1次的位移为向量a：“向北走2
km”，第2次的位移为向量b：“向东走2
km”，求a＋b表示的意义．
解 如图所示，适当选取比例尺，作＝a：“向北走2
km”，
＝b：“向东走2
km”，
则＝＋＝a＋b.
因为△OAB是直角三角形，
所以||＝＝2
km.
又因为∠AOB＝45°，
所以a＋b表示向东北走2
km.
知识点二 向量加法的平行四边形法则
6．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
7．在?ABCD中，若|＋|＝|＋|，则必有( )
A．?ABCD为菱形
B．?ABCD为矩形
C．?ABCD为正方形
D．以上皆错
答案 B
解析 如图，在?ABCD中，＝，由平行四边形法则知＋＝，＋＝＋＝.由|＋|＝|＋|，得||＝||，所以?ABCD是矩形．
8．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A．＋＝0
B．＋＝
C．＋＝
D．＋＝0
答案 ABD
解析 由||＝||，且与的方向相反，知＋＝＋＝＝0，故A正确；由向量加法的平行四边形法则知＋＝，故B正确；由向量加法的三角形法则知＋＝，故C错误；由||＝||，且与方向相反，知＋＝＋＝＝0，故D正确．
9．如图，在正六边形OABCDE中，若＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．
解 由题意知四边形ABPO，AOEP均为平行四边形，
由向量的平行四边形法则，知＝＋＝a＋b.
在?ABPO中，根据向量的平行四边形法则，
知＝＋＝a＋a＋b，
∴＝＋＝a＋a＋b＋b.
＝＋＝b＋a＋b.
10．某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
解 如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作?OACB，则此人的实际速度为＋＝.
由勾股定理知||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与河岸成60°的夹角且顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．
知识点三 多个向量相加
11．向量＋＋＋＋＝( )
A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 向量＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝.故选A．
12．?ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O.
则(1)＋＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________.
答案 (1) (2) (3)0
解析 (1)＋＋＝＋＝＋＋＝＋＝0＋＝.
(2)＋＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＝＋＝＝0.
13．化简下列各式：
(1)＋＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋＋.
解 (1)原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
(2)原式＝(＋)＋＝.
(3)原式＝＋＝＋＝.
14.
如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
解 (1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝0.
15.
已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.
证明 连接EF，由题意知，＝＋，＝＋，＝＋.
由D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点可知，＝，＝.
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋＋＋)＋(＋)＝(＋＋＋＋)＋0＝＋＋＝＋＋＝＋＝＝0.
易错点 对向量加法的几何意义理解不正确致误
如图，P是△ABC所在平面内一点，且满足＋＝，则( )
A．＝
B．＝
C．＋＝
D．＋＝
易错分析 对向量加法的几何意义理解不正确，从而不能正确得到图形的几何性质．
答案 C
正解 由平面向量加法的几何意义，知四边形ABCP为平行四边形，故＝，＝，＋＝，即A，B，D错误，所以选C．
一、单项选择题
1．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案 D
解析 根据向量加法的运算律可知与向量a＋b＋c相等的个数为5.
2．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B．
C．
D．
答案 D
解析 由于＝，故＋＋＝＋＋＝.
3．若C是线段AB的中点，则＋等于( )
A．
B．
C．0
D．以上均不正确
答案 C
解析 与的模相等而方向相反，因此＋＝＋＝＝0.
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
A．0
B．3
C．
D．2
答案 D
解析 ∵＋＝，且|c|＝，∴|a＋b＋c|＝|c＋c|＝|c|＋|c|＝2.故选D．
5．已知向量a，b均为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
答案 B
解析 ∵a与b方向相反，|a|<|b|，∴a＋b与a的方向相反，故B不正确．
6．已知P为△ABC所在平面内的一点，当＋＝时，点P位于△ABC的( )
A．AB边上
B．BC边上
C．内部
D．外部
答案 D
解析 如图所示，若点P位于△ABC的内部，则＋＝与的方向相反，不符合题意；若点P位于△ABC的边上时也不符合．因此点P位于△ABC的外部．故选D．
7．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b反向
C．a＝－b
D．a，b无论什么关系均可
答案 A
解析 当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a的方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.故选A．
8．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1.若＋＝＋，且||＝||，则△ABC的面积为( )
A．
B．
C．2
D．1
答案 B
解析 ＋＝＋，即＝，∴O为BC边上的中点．∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且∠BAC＝，BC＝2.∵||＝||，∴||＝1，||＝，∴S△ABC＝×||×||＝××1＝，故选B．
二、多项选择题
9．下列命题不正确的是( )
A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点
C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥b
D．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0
答案 ABD
解析 当a＋b＝0时，A错误；若＋＋＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B错误；若a与b不共线，则a＋b与a不共线，故C正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|>|b|)，故D错误．
10．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论中正确的是( )
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D．|a＋b|<|a|＋|b|
答案 AC
解析 由题意可得a＝0，故A，C正确，B错误；因为|a＋b|＝|0＋b|＝|b|＝|a|＋|b|，故D错误．
11．已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是( )
A．＋＝
B．＋＋＝0
C．＋＝
D．＋＝
答案 ABC
解析 由向量加法的法则，知A，B正确；由向量加法的平行四边形法则，可知＋＝＝≠，故C正确，D错误．故选ABC．
12．在?ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是( )
A．a＋b＝c
B．a＋d＝b
C．b＋d＝a
D．|a＋b|＝|c|
答案 ABD
解析 由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．故选ABD．
三、填空题
13．小李从家里出发，先到小卖部买了一瓶矿泉水，再到小区门口，这样走的路程________(填“大于”“小于”“不大于”“不小于”或“等于”)他从家里直接到小区门口的距离．(假设这几条路都是直的)
答案 不小于
解析 由性质|a＋b|≤|a|＋|b|，小李从家里出发先到小卖部再到小区门口走的路程不小于他从家里直接到小区门口的距离．
14．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则＋＋＋＋＝________.
答案
解析 ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝.
15．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
答案 20 4
解析 当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20，当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.
当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，
即4<|a＋b|<20，
所以最大值为20，最小值为4.
16．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝________.
答案 2
解析 如图所示，设菱形对角线交点为O.
＋＝＋＝.
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
又||＝2，∴||＝1.
在Rt△AOB中，||＝
＝，
∴||＝2||＝2.
四、解答题
17.
如图，已知向量a，b.
(1)用平行四边形法则作出向量a＋b；
(2)用三角形法则作出向量a＋b.
解 (1)如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.
(2)如图，在平面内任取一点O′，
作＝a，＝b，连接O′E，
则＝＋＝a＋b.
18．如图，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
解 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝.
∵∠AOB＝120°，||＝||，
∴∠BOD＝60°，||＝||.
∵∠BOC＝120°，||＝||，
∴＋＝＋＝＝0，
故＋＋＝0.
19．雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为2
m/s，现有东风且风速为2
m/s，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
解 如图，表示无风时雨滴的下落速度，表示东风的风速．
由向量加法的平行四边形法则，知有东风时雨滴的下落速度为＝＋.
又||＝2
m/s，
||＝||＝2
m/s，
所以||＝
＝4
m/s，
∠BCA＝60°.
故雨滴沿向下偏西，与地面成60°角的方向，以4
m/s的速度着地．
20．暴雨袭击了某小镇，在一次营救中，小汽艇在静水中的速度为12
km/h，河水的速度是6
km/h.如果小汽艇向着垂直于河岸的方向行驶，那么小汽艇在河水中的实际行驶速度是多少？方向怎样？如果此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直于河岸的方向到达对岸，船的行驶方向又应该怎样？
解 如图①所示，为小汽艇在静水中的速度，为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，知小汽艇的实际速度为＝＋.
在Rt△ADC中，||＝6，||＝||＝12，||＝6≈13.4，∠CAD≈63.43°，即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4
km/h，与水流方向的夹角约为63.43°.
如图②所示，欲使小汽艇沿垂直于河岸的方向到达对岸，设小汽艇实际速度为，则＝＋.
在Rt△ABC中，||＝12，||＝6，
从而∠BAC＝30°，∠BAE＝60°，
即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直于河岸的方向到达对岸．