6.1.5向量的线性运算 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析）
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| 名称 | 6.1.5向量的线性运算 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 549.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 09:24:57 | ||
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文档简介
6.1.5 向量的线性运算
知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算
1．化简：
(1)2＝________；
(2)2(a＋b)＋3(a＋b)＝________；
(3)(a＋b)＋(a＋b)＝________________.
2．若向量a＝3i＋2j，b＝5i＋4j，则＋3＋(2b＋a)＝________.
知识点二 向量的线性运算
3．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
4．(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n
5．化简下列各式：
(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)；
(2).
知识点三 向量的线性运算的应用
6．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A.＋
B．－＋
C．－－
D.－
7．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
8．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部
B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上
D．BC边所在的直线上
9．设D为△ABC所在平面内一点，若＝4，则下列关系中正确的是( )
A.＝－＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－
10．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．平行且方向相反
B．平行且方向相同
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
11．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．处心
B．内心
C．重心
D．垂心
12．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝________.
13．若实数λ满足＝λ＋(1－λ)，其中D是△ABC边BC延长线(不含C)上一点，则λ的取值范围为________．
14．设x，y是未知向量．
(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
(2)解方程组
15．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝，设＝a，＝b.
求证：＝(b－a)．
16．如图所示，在平行四边形ABCD
中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．
17．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA.
易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝，b＝，用向量a，b表示
＝________.
易错分析 本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有＝或＝.解题时条件转化要全面准确．
一、单项选择题
1．化简：3(2a＋b)＋2(4a＋2b)＝( )
A．7a＋4b
B．14a＋4b
C．7a＋14b
D．14a＋7b
2．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A.
B.
C.
D.
3．平面上有一个△ABC和一点O，设＝a，＝b，＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量等于( )
A.(a＋b＋c)
B.(－a＋b＋c)
C.(a－b＋c)
D.(a＋b－c)
4．以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.
5．已知△ABC中，向量＝λ(＋)(λ∈R)，则点P的轨迹通过△ABC的( )
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
6．已知AB是⊙O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．a＋b
D．a－b
7．在△OAB中，＝a，＝b，＝p，若p＝t，t∈R，则点P在( )
A．∠AOB平分线所在直线上
B．线段AB垂直平分线上
C．AB边所在直线上
D．AB边的中线上
8．设点O在△ABC的内部，且2＋3＋4＝0，若△ABC的面积是27，则△AOC的面积为( )
A．8
B．9
C．
D．7
二、多项选择题
9．已知a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知在梯形ABCD中，＝a，＝b
10．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列等式正确的是( )
A.＝－a－b
B.＝a＋b
C.＝－a＋b
D.＋＋＝0
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝＋，则△MBC的面积是△ABC面积的
12．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则下列说法正确的是( )
A．若λ＋μ＝1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ＋μ＝1，且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ＋μ>1，则点P在△OBC外
D．若λ＋μ<1，则点P在△OBC内
三、填空题
13．化简：－＝________.
14．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________.
15．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＝________，μ＝________.
16．设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
四、解答题
17．已知两个非零向量e1，e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
18.
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
19．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
20．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
6.1.5 向量的线性运算
知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算
1．化简：
(1)2＝________；
(2)2(a＋b)＋3(a＋b)＝________；
(3)(a＋b)＋(a＋b)＝________________.
答案 (1)a＋6b (2)5a＋5b (3)(a＋b)
解析 (1)原式＝2×a＋2×3b＝a＋6b.
(2)原式＝2a＋2b＋3a＋3b＝5a＋5b.
(3)原式＝λ(a＋b)＋μ(a＋b)＋λ(a＋b)＋μ(a＋b)＝·(a＋b)＋(a＋b)＝λ＋μ(a＋b)＝·(a＋b)．
2．若向量a＝3i＋2j，b＝5i＋4j，则＋3＋(2b＋a)＝________.
答案 38i＋j
解析 原式＝a＋b＋3a＋2b＋2b＋a
＝a＋(1＋2＋2)b
＝a＋5b
＝(3i＋2j)＋5(5i＋4j)
＝13i＋j＋25i＋20j
＝(13＋25)i＋j
＝38i＋j.
知识点二 向量的线性运算
3．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
答案 D
解析 原式＝4a－4b－3a－3b－b＝(4－3)a－(4＋3＋1)b＝a－8b.
4．(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n
答案 ABD
解析 易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C错误；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确．
5．化简下列各式：
(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)；
(2).
解 (1)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＋2c－6b＝(2－3)a＋(3＋2－6)b＋(－1－1＋2)c＝－a－b.
(2)原式＝＝＝＝a－b.
知识点三 向量的线性运算的应用
6．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A.＋
B．－＋
C．－－
D.－
答案 B
解析 解法一：∵D是AB的中点，∴＝，
∴＝＋＝－＋.
解法二：＝(＋)＝[＋(＋)]＝＋＝－＋.
7．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
答案 B
解析 ∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴与平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．
8．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部
B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上
D．BC边所在的直线上
答案 B
解析 ∵＝λ＋，∴－＝λ.∴＝λ.∴P，A，C三点共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．
9．设D为△ABC所在平面内一点，若＝4，则下列关系中正确的是( )
A.＝－＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－
答案 C
解析 因为＝4，所以－＝＝4－4，所以＝－＋.故选C.
10．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．平行且方向相反
B．平行且方向相同
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
答案 A
解析 由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，则＋＋＝－.故选A.
11．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．处心
B．内心
C．重心
D．垂心
答案 B
解析 为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．∵＝＋λ，∴点P在上移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
12．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝________.
答案 2
解析 如图所示，易知|＋2＋3|＝|＋＋2(＋)|＝|2＋4|＝2|＋2|＝2.
13．若实数λ满足＝λ＋(1－λ)，其中D是△ABC边BC延长线(不含C)上一点，则λ的取值范围为________．
答案 (－∞，0)
解析 ∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝＋λ(－)，即＝＋λ.
∵＝＋，
∴＝λ，
∵D是△ABC边BC延长线(不含C)上一点，
即λ<0，∴λ∈(－∞，0)．
14．设x，y是未知向量．
(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
(2)解方程组
解 (1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，
即8x＝－5a＋3b，
∴x＝－a＋b.
(2)
－2×①＋②，得y＝－2a＋b，
∴y＝－a＋b.
代入②，得x＝－a＋b.
∴
15．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝，设＝a，＝b.
求证：＝(b－a)．
证明 ∵＝＝，∴＝＝b，＝＝(＋)＝(－b－a)＝－b－a.
∴＝＋＝b－b－a＝b－a＝(b－a)．
16．如图所示，在平行四边形ABCD
中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．
证明 设＝a，＝b，
∵＝＋＝＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝a＋b，
∴＝，∴∥，
又MN与MC有公共点M，
故M，N，C三点共线．
17．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA.
证明 如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝BA，只要证E，E′重合即可．
设＝a，＝b，
则＝a，＝b＋a.
∵＝－b，＝a－，3＝，
∴3(－b)＝a－，
∴＝(a＋3b)＝，
即＝，
∴O，E′，D三点共线，
∴E与E′重合．
∴BE＝BA.
易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝，b＝，用向量a，b表示
＝________.
易错分析 本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有＝或＝.解题时条件转化要全面准确．
答案 a＋b或a＋b
正解 因为D为BC的三等分点，
当BD＝BC时，如图1，
＝，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.
当BD＝BC时，如图2，
＝，
所以＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
一、单项选择题
1．化简：3(2a＋b)＋2(4a＋2b)＝( )
A．7a＋4b
B．14a＋4b
C．7a＋14b
D．14a＋7b
答案 D
解析 原式＝6a＋3b＋8a＋4b＝14a＋7b.故选D.
2．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 3e2－2e1＝－＝－＝＝.
3．平面上有一个△ABC和一点O，设＝a，＝b，＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量等于( )
A.(a＋b＋c)
B.(－a＋b＋c)
C.(a－b＋c)
D.(a＋b－c)
答案 B
解析 ＝－＝(＋)－＝(－a＋b＋c)．
4．以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.
答案 C
解析 找出一个非零实数λ使得a＝λb即可判断a∥b.A项中a＝－b；B项中a＝4b；D项中a＝－b，故A，B，D三项中a∥b，而C项中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.
5．已知△ABC中，向量＝λ(＋)(λ∈R)，则点P的轨迹通过△ABC的( )
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
答案 D
解析 设D为BC的中点，则＋＝2，∴＝2λ，即P点在中线AD上，可知P点轨迹必过△ABC的重心．
6．已知AB是⊙O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．a＋b
D．a－b
答案 A
解析 ∵AB是⊙O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，∴CD∥AB且CD＝AB，∴＝＝a，∴＝＋＝b＋a.故选A.
7．在△OAB中，＝a，＝b，＝p，若p＝t，t∈R，则点P在( )
A．∠AOB平分线所在直线上
B．线段AB垂直平分线上
C．AB边所在直线上
D．AB边的中线上
答案 A
解析 如图，＝，＝，＝＋，||＝||＝1，故四边形ODFE为菱形，OF是∠AOB的平分线．因为＝t，所以点P在线段∠AOB平分线所在直线上．
8．设点O在△ABC的内部，且2＋3＋4＝0，若△ABC的面积是27，则△AOC的面积为( )
A．8
B．9
C．
D．7
答案 B
解析 延长OC到D，使得OD＝2OC(图略)．因为2＋3＋4＝0，所以＋＋2＝0.以OA，OD为边作平行四边形OAED，对角线交点为F，OE交AC于H.因为＝2，所以＝－.因为OC∶AE＝1∶2，所以OH∶HE＝1∶2，所以3＝－，所以＝－，所以＝，所以△AOC的面积是△ABC面积的，所以△AOC的面积为9.
二、多项选择题
9．已知a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知在梯形ABCD中，＝a，＝b
答案 AB
解析 由2a－3b＝－2(a＋2b)得b＝－4a，故A正确；由λa－μb＝0，得λa＝μb，故B正确；若x＝y＝0，xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C错误；在梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D错误．
10．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列等式正确的是( )
A.＝－a－b
B.＝a＋b
C.＝－a＋b
D.＋＋＝0
答案 ABCD
解析 如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，故A正确．
＝＋＝a＋b，故B正确.＝＋＝＋(＋)＝b＋(－b－a)＝b－a，故C正确.＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故D正确．
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝＋，则△MBC的面积是△ABC面积的
答案 ACD
解析 若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；
若＝＋，可得2＝＋，设＝2，则由下图可得M为△ABC中BC边上的中线AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选ACD.
12．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则下列说法正确的是( )
A．若λ＋μ＝1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ＋μ＝1，且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ＋μ>1，则点P在△OBC外
D．若λ＋μ<1，则点P在△OBC内
答案 BC
解析 对于A，若λ＋μ＝1且λ>0，＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)，即－＝λ(－)，即＝λ，又因为λ>0，所以点P在线段BC或其反向延长线上，故A错误；对于B，若λ＋μ＝1且λ<0，由A选项可知，＝λ，点P在线段BC的延长线上，故B正确；对于C，若λ＋μ>1，＝λ＋(1－λ)·＋(λ＋μ－1)，移项后可得＝λ＋(λ＋μ－1)，当λ＋μ>1时，λ＋μ－1>0，根据向量加法的平行四边形法则，可以得出点P一定在△OBC外，故C正确；对于D，因λ＋μ<1，不妨取λ＝0和μ＝－1，则＝－，所以此时点P在△OBC外，故D错误．故选BC.
三、填空题
13．化简：－＝________.
答案 0
解析 原式＝－＝－＝a＋b－a－b＝0.
14．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________.
答案
解析 ∵＋＝0，∴点P是线段AC的中点，
∵2＋＋＝，∴2＝－－＝－－－＝2，
∴点Q是线段AB的中点，
∵||＝λ||，∴λ＝.
15．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＝________，μ＝________.
答案
解析 设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b.
又＝a＋b，∴＝(＋)，即λ＝μ＝.
16．设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
答案 1∶3
解析 如图，由平行四边形法则，
知＋＝，其中E为AC的中点．
所以＋＝2＝－3.
所以＝－，||＝||.
设点A到BD的距离为h，则
S△AOB＝||·h，S△AOC＝2S△AOE＝||·h.
所以＝＝＝×＝.
四、解答题
17．已知两个非零向量e1，e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
证明 ∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6.
∴∥.
又AD和AB有公共点A，∴A，B，D三点共线．
18.
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
解 由已知得＝＝b.
如图，取AB的中点E，连接DE，
则四边形DEBC为平行四边形．
所以＝＝＋＝a－b.
因为MN＝(AB＋DC)，MN∥AB，
所以＝(＋)＝＝b.
19．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解 (1)＝＋＝a＋＝a＋－＝b＋a，
＝＝b＋a，＝＝b，
＝－＝b＋a－a＝b－a.
(2)证明：＝－＝－＝b－a，
＝b－a，∴＝，故∥，
又BF与BE有公共点B，∴B，E，F三点共线．
20．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解 (1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，
则－＝λ－λ，
∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
又AM与AB有公共点A，故A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，
则与同向．
又λ≠0，且λ≠1，所以||>||>0，故λ>1.
知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算
1．化简：
(1)2＝________；
(2)2(a＋b)＋3(a＋b)＝________；
(3)(a＋b)＋(a＋b)＝________________.
2．若向量a＝3i＋2j，b＝5i＋4j，则＋3＋(2b＋a)＝________.
知识点二 向量的线性运算
3．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
4．(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n
5．化简下列各式：
(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)；
(2).
知识点三 向量的线性运算的应用
6．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A.＋
B．－＋
C．－－
D.－
7．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
8．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部
B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上
D．BC边所在的直线上
9．设D为△ABC所在平面内一点，若＝4，则下列关系中正确的是( )
A.＝－＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－
10．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．平行且方向相反
B．平行且方向相同
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
11．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．处心
B．内心
C．重心
D．垂心
12．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝________.
13．若实数λ满足＝λ＋(1－λ)，其中D是△ABC边BC延长线(不含C)上一点，则λ的取值范围为________．
14．设x，y是未知向量．
(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
(2)解方程组
15．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝，设＝a，＝b.
求证：＝(b－a)．
16．如图所示，在平行四边形ABCD
中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．
17．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA.
易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝，b＝，用向量a，b表示
＝________.
易错分析 本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有＝或＝.解题时条件转化要全面准确．
一、单项选择题
1．化简：3(2a＋b)＋2(4a＋2b)＝( )
A．7a＋4b
B．14a＋4b
C．7a＋14b
D．14a＋7b
2．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A.
B.
C.
D.
3．平面上有一个△ABC和一点O，设＝a，＝b，＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量等于( )
A.(a＋b＋c)
B.(－a＋b＋c)
C.(a－b＋c)
D.(a＋b－c)
4．以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.
5．已知△ABC中，向量＝λ(＋)(λ∈R)，则点P的轨迹通过△ABC的( )
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
6．已知AB是⊙O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．a＋b
D．a－b
7．在△OAB中，＝a，＝b，＝p，若p＝t，t∈R，则点P在( )
A．∠AOB平分线所在直线上
B．线段AB垂直平分线上
C．AB边所在直线上
D．AB边的中线上
8．设点O在△ABC的内部，且2＋3＋4＝0，若△ABC的面积是27，则△AOC的面积为( )
A．8
B．9
C．
D．7
二、多项选择题
9．已知a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知在梯形ABCD中，＝a，＝b
10．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列等式正确的是( )
A.＝－a－b
B.＝a＋b
C.＝－a＋b
D.＋＋＝0
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝＋，则△MBC的面积是△ABC面积的
12．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则下列说法正确的是( )
A．若λ＋μ＝1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ＋μ＝1，且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ＋μ>1，则点P在△OBC外
D．若λ＋μ<1，则点P在△OBC内
三、填空题
13．化简：－＝________.
14．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________.
15．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＝________，μ＝________.
16．设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
四、解答题
17．已知两个非零向量e1，e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
18.
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
19．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
20．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
6.1.5 向量的线性运算
知识点一 向量的加法与数乘向量的混合运算
1．化简：
(1)2＝________；
(2)2(a＋b)＋3(a＋b)＝________；
(3)(a＋b)＋(a＋b)＝________________.
答案 (1)a＋6b (2)5a＋5b (3)(a＋b)
解析 (1)原式＝2×a＋2×3b＝a＋6b.
(2)原式＝2a＋2b＋3a＋3b＝5a＋5b.
(3)原式＝λ(a＋b)＋μ(a＋b)＋λ(a＋b)＋μ(a＋b)＝·(a＋b)＋(a＋b)＝λ＋μ(a＋b)＝·(a＋b)．
2．若向量a＝3i＋2j，b＝5i＋4j，则＋3＋(2b＋a)＝________.
答案 38i＋j
解析 原式＝a＋b＋3a＋2b＋2b＋a
＝a＋(1＋2＋2)b
＝a＋5b
＝(3i＋2j)＋5(5i＋4j)
＝13i＋j＋25i＋20j
＝(13＋25)i＋j
＝38i＋j.
知识点二 向量的线性运算
3．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
答案 D
解析 原式＝4a－4b－3a－3b－b＝(4－3)a－(4＋3＋1)b＝a－8b.
4．(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n
答案 ABD
解析 易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C错误；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确．
5．化简下列各式：
(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)；
(2).
解 (1)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＋2c－6b＝(2－3)a＋(3＋2－6)b＋(－1－1＋2)c＝－a－b.
(2)原式＝＝＝＝a－b.
知识点三 向量的线性运算的应用
6．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝( )
A.＋
B．－＋
C．－－
D.－
答案 B
解析 解法一：∵D是AB的中点，∴＝，
∴＝＋＝－＋.
解法二：＝(＋)＝[＋(＋)]＝＋＝－＋.
7．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
答案 B
解析 ∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴与平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．
8．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部
B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上
D．BC边所在的直线上
答案 B
解析 ∵＝λ＋，∴－＝λ.∴＝λ.∴P，A，C三点共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．
9．设D为△ABC所在平面内一点，若＝4，则下列关系中正确的是( )
A.＝－＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－
答案 C
解析 因为＝4，所以－＝＝4－4，所以＝－＋.故选C.
10．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．平行且方向相反
B．平行且方向相同
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
答案 A
解析 由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，则＋＋＝－.故选A.
11．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．处心
B．内心
C．重心
D．垂心
答案 B
解析 为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同．∵＝＋λ，∴点P在上移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
12．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝________.
答案 2
解析 如图所示，易知|＋2＋3|＝|＋＋2(＋)|＝|2＋4|＝2|＋2|＝2.
13．若实数λ满足＝λ＋(1－λ)，其中D是△ABC边BC延长线(不含C)上一点，则λ的取值范围为________．
答案 (－∞，0)
解析 ∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝＋λ(－)，即＝＋λ.
∵＝＋，
∴＝λ，
∵D是△ABC边BC延长线(不含C)上一点，
即λ<0，∴λ∈(－∞，0)．
14．设x，y是未知向量．
(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
(2)解方程组
解 (1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，
即8x＝－5a＋3b，
∴x＝－a＋b.
(2)
－2×①＋②，得y＝－2a＋b，
∴y＝－a＋b.
代入②，得x＝－a＋b.
∴
15．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝，设＝a，＝b.
求证：＝(b－a)．
证明 ∵＝＝，∴＝＝b，＝＝(＋)＝(－b－a)＝－b－a.
∴＝＋＝b－b－a＝b－a＝(b－a)．
16．如图所示，在平行四边形ABCD
中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．
证明 设＝a，＝b，
∵＝＋＝＋＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝a＋b，
∴＝，∴∥，
又MN与MC有公共点M，
故M，N，C三点共线．
17．如图，平行四边形OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA.
证明 如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′＝BA，只要证E，E′重合即可．
设＝a，＝b，
则＝a，＝b＋a.
∵＝－b，＝a－，3＝，
∴3(－b)＝a－，
∴＝(a＋3b)＝，
即＝，
∴O，E′，D三点共线，
∴E与E′重合．
∴BE＝BA.
易错点 用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝，b＝，用向量a，b表示
＝________.
易错分析 本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有＝或＝.解题时条件转化要全面准确．
答案 a＋b或a＋b
正解 因为D为BC的三等分点，
当BD＝BC时，如图1，
＝，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.
当BD＝BC时，如图2，
＝，
所以＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
一、单项选择题
1．化简：3(2a＋b)＋2(4a＋2b)＝( )
A．7a＋4b
B．14a＋4b
C．7a＋14b
D．14a＋7b
答案 D
解析 原式＝6a＋3b＋8a＋4b＝14a＋7b.故选D.
2．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 3e2－2e1＝－＝－＝＝.
3．平面上有一个△ABC和一点O，设＝a，＝b，＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量等于( )
A.(a＋b＋c)
B.(－a＋b＋c)
C.(a－b＋c)
D.(a＋b－c)
答案 B
解析 ＝－＝(＋)－＝(－a＋b＋c)．
4．以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.
答案 C
解析 找出一个非零实数λ使得a＝λb即可判断a∥b.A项中a＝－b；B项中a＝4b；D项中a＝－b，故A，B，D三项中a∥b，而C项中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.
5．已知△ABC中，向量＝λ(＋)(λ∈R)，则点P的轨迹通过△ABC的( )
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
答案 D
解析 设D为BC的中点，则＋＝2，∴＝2λ，即P点在中线AD上，可知P点轨迹必过△ABC的重心．
6．已知AB是⊙O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．a＋b
D．a－b
答案 A
解析 ∵AB是⊙O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，∴CD∥AB且CD＝AB，∴＝＝a，∴＝＋＝b＋a.故选A.
7．在△OAB中，＝a，＝b，＝p，若p＝t，t∈R，则点P在( )
A．∠AOB平分线所在直线上
B．线段AB垂直平分线上
C．AB边所在直线上
D．AB边的中线上
答案 A
解析 如图，＝，＝，＝＋，||＝||＝1，故四边形ODFE为菱形，OF是∠AOB的平分线．因为＝t，所以点P在线段∠AOB平分线所在直线上．
8．设点O在△ABC的内部，且2＋3＋4＝0，若△ABC的面积是27，则△AOC的面积为( )
A．8
B．9
C．
D．7
答案 B
解析 延长OC到D，使得OD＝2OC(图略)．因为2＋3＋4＝0，所以＋＋2＝0.以OA，OD为边作平行四边形OAED，对角线交点为F，OE交AC于H.因为＝2，所以＝－.因为OC∶AE＝1∶2，所以OH∶HE＝1∶2，所以3＝－，所以＝－，所以＝，所以△AOC的面积是△ABC面积的，所以△AOC的面积为9.
二、多项选择题
9．已知a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知在梯形ABCD中，＝a，＝b
答案 AB
解析 由2a－3b＝－2(a＋2b)得b＝－4a，故A正确；由λa－μb＝0，得λa＝μb，故B正确；若x＝y＝0，xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C错误；在梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D错误．
10．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列等式正确的是( )
A.＝－a－b
B.＝a＋b
C.＝－a＋b
D.＋＋＝0
答案 ABCD
解析 如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，故A正确．
＝＋＝a＋b，故B正确.＝＋＝＋(＋)＝b＋(－b－a)＝b－a，故C正确.＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故D正确．
11．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若＝＋，则点M是边BC的中点
B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C．若＝－－，则点M是△ABC的重心
D．若＝＋，则△MBC的面积是△ABC面积的
答案 ACD
解析 若＝＋，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；
若＝＋，可得2＝＋，设＝2，则由下图可得M为△ABC中BC边上的中线AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选ACD.
12．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则下列说法正确的是( )
A．若λ＋μ＝1且λ>0，则点P在线段BC的延长线上
B．若λ＋μ＝1，且λ<0，则点P在线段BC的延长线上
C．若λ＋μ>1，则点P在△OBC外
D．若λ＋μ<1，则点P在△OBC内
答案 BC
解析 对于A，若λ＋μ＝1且λ>0，＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)，即－＝λ(－)，即＝λ，又因为λ>0，所以点P在线段BC或其反向延长线上，故A错误；对于B，若λ＋μ＝1且λ<0，由A选项可知，＝λ，点P在线段BC的延长线上，故B正确；对于C，若λ＋μ>1，＝λ＋(1－λ)·＋(λ＋μ－1)，移项后可得＝λ＋(λ＋μ－1)，当λ＋μ>1时，λ＋μ－1>0，根据向量加法的平行四边形法则，可以得出点P一定在△OBC外，故C正确；对于D，因λ＋μ<1，不妨取λ＝0和μ＝－1，则＝－，所以此时点P在△OBC外，故D错误．故选BC.
三、填空题
13．化简：－＝________.
答案 0
解析 原式＝－＝－＝a＋b－a－b＝0.
14．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________.
答案
解析 ∵＋＝0，∴点P是线段AC的中点，
∵2＋＋＝，∴2＝－－＝－－－＝2，
∴点Q是线段AB的中点，
∵||＝λ||，∴λ＝.
15．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＝________，μ＝________.
答案
解析 设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a＋b.
又＝a＋b，∴＝(＋)，即λ＝μ＝.
16．设O是△ABC内部一点，且＋＝－3，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
答案 1∶3
解析 如图，由平行四边形法则，
知＋＝，其中E为AC的中点．
所以＋＝2＝－3.
所以＝－，||＝||.
设点A到BD的距离为h，则
S△AOB＝||·h，S△AOC＝2S△AOE＝||·h.
所以＝＝＝×＝.
四、解答题
17．已知两个非零向量e1，e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
证明 ∵＝＋＋＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6.
∴∥.
又AD和AB有公共点A，∴A，B，D三点共线．
18.
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.
解 由已知得＝＝b.
如图，取AB的中点E，连接DE，
则四边形DEBC为平行四边形．
所以＝＝＋＝a－b.
因为MN＝(AB＋DC)，MN∥AB，
所以＝(＋)＝＝b.
19．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解 (1)＝＋＝a＋＝a＋－＝b＋a，
＝＝b＋a，＝＝b，
＝－＝b＋a－a＝b－a.
(2)证明：＝－＝－＝b－a，
＝b－a，∴＝，故∥，
又BF与BE有公共点B，∴B，E，F三点共线．
20．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解 (1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，
∴＝λ＋－λ，
则－＝λ－λ，
∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
又AM与AB有公共点A，故A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，
则与同向．
又λ≠0，且λ≠1，所以||>||>0，故λ>1.