6.1.3向量的减法 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 6.1.3向量的减法 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 568.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 09:25:40 | ||
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文档简介
6.1.3 向量的减法
知识点一 向量的减法运算
1．化简下列各式：
①－－；②－＋－；
③－＋；④＋＋－.
其中结果为0的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2.－－＝________，＋－＝________.
3．已知||＝6，||＝9，则|－|的取值范围是________．
知识点二 用已知向量表示其他向量
4．若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，用a，b表示向量为( )
A．a＋b
B．－a－b
C．－a＋b
D．a－b
5.
如图，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
6．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，.
7．向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
知识点三 向量减法几何意义的应用
8．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0
B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a－b＋c－d＝0
9．在边长为1的等边三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1
B．2
C.
D.
10．(多选)如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )
A.＋＝
B.－＝0
C.－＝
D.＋＝
11．在四边形ABCD中，若＝－，且|－|＝|＋|，则四边形ABCD的形状为________．
12．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
13．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量并分别求模：
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
14．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|.
15．如图，在?ABCD中，＝a，＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
易错点 不能运用向量加减法的几何意义作图致误
已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________.
易错分析 不能利用向量加减法的几何意义作图，并且不能根据线段长度之间的关系得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因．
一、单项选择题
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
2．化简－＋＋的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则－＋等于( )
A.
B.
C.
D.
4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b
B．b－a
C．c－b
D．b－c
5．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．等腰梯形
6．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．2
B．4
C．16
D．8
8．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋.若点E为AC的中点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9．下列四个式子中一定能化简为的是( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C．(＋)－
D．(－)＋
10．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，下列等式中正确的是( )
A．a＋b＝c
B．a－b＝d
C．b－a＝d
D．c－a＝b
11．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有( )
A.－＋
B.－
C.－
D.＋
12．如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
三、填空题
13．(1)(＋)＋(－－)＝________；
(2)－－＝________.
14．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为________．
15．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α与β所成角的大小为________．
16．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2
km/h，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3
h，该船的实际航程为________km.
四、解答题
17．如图所示，O是?ABCD的对角线，AC，BD的交点，若＝a，＝b，＝c.
证明：b＋c－a＝.
18．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
19．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－.
20．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
6.1.3 向量的减法
知识点一 向量的减法运算
1．化简下列各式：
①－－；②－＋－；
③－＋；④＋＋－.
其中结果为0的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 D
解析 ①－－＝＋＋＝＋＝0.
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0.
③－＋＝＋＝0.
④＋＋－＝＋＝0.
以上各式化简后结果均为0，故选D.
2.－－＝________，＋－＝________.
答案
解析 －－＝－＝＋＝；＋－＝－＝.
3．已知||＝6，||＝9，则|－|的取值范围是________．
答案 [3,15]
解析 ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝6，||＝9，∴3≤|－|≤15，∴|－|的取值范围是[3,15]．
知识点二 用已知向量表示其他向量
4．若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，用a，b表示向量为( )
A．a＋b
B．－a－b
C．－a＋b
D．a－b
答案 B
解析 由平行四边形对角线互相平分的性质知＝－，即＝－a，＝－＝－a－b.
5.
如图，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
答案 A
解析 由于a－b＝－＝，＋＝，所以＝a－b＋c.
6．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，.
解 ∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，
∴＝＋＝b－a＋c，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b.
7．向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解 由图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1)＝＋＋＝d＋e＋a；
(2)＝－＝－－＝－b－c；
(3)＝＋＋＝e＋a＋b；
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
知识点三 向量减法几何意义的应用
8．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0
B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a－b＋c－d＝0
答案 D
解析 易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中，＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，所以a－b＋c－d＝0.故选D.
9．在边长为1的等边三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1
B．2
C.
D.
答案 D
解析 如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝，所以|－|＝.
10．(多选)如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )
A.＋＝
B.－＝0
C.－＝
D.＋＝
答案 AC
解析 ＋＝，故A正确；＋＝0，故B错误；－＝＋＝，故C正确；＋＝＝，故D错误．故选AC.
11．在四边形ABCD中，若＝－，且|－|＝|＋|，则四边形ABCD的形状为________．
答案 矩形
解析 因为＝－，所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．因为|＋|＝|－|，所以||＝||，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形．
12．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
答案 30°
解析 设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝.
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
13．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量并分别求模：
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
解 (1)如图，由已知得，a＋b＝＋＝，
又＝c，
∴延长AC到E，使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.
(1)题图
(2)题图
(2)如图，作＝，
则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
14．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|.
解 如图，b＋c＝，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－＝－＝，
则|a－b－c|＝||
＝＝8.
15．如图，在?ABCD中，＝a，＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解 (1)＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
若a＋b与a－b所在直线互相垂直，则AC⊥BD.
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，即当a，b满足|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．
(2)不可能．因为?ABCD的两对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．
易错点 不能运用向量加减法的几何意义作图致误
已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________.
易错分析 不能利用向量加减法的几何意义作图，并且不能根据线段长度之间的关系得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因．
答案
正解 如图，设＝a，＝b，＝a＋b，
则＝－＝a－b，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴BA＝OA＝OB.
∴△OAB为正三角形，设其边长为1，
则|a－b|＝||＝1，
|a＋b|＝2×＝.
∴＝＝.
一、单项选择题
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
答案 D
解析 ＝－＝－a－b.故选D.
2．化简－＋＋的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 原式＝－＝＋＝.故选B.
3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则－＋等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 －＋＝＋＋＝＋0＝.
4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b
B．b－a
C．c－b
D．b－c
答案 D
解析 ＝＝＝－＝b－c.
5．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．等腰梯形
答案 A
解析 ∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝，∴BA∥CD，BA＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
6．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
答案 C
解析 以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝.由m，n的长度相等，可知两对角线相等，因此平行四边形是矩形．故选C.
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．2
B．4
C．16
D．8
答案 A
解析 因为|＋|＝|－|，又点A在直线BC外，以AB，AC为邻边作?ABDC，则对角线AD，BC相等．故?ABDC为矩形，所以||＝||＝2.
8．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋.若点E为AC的中点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵向量，，，满足等式＋＝＋，∴－＝－，即＝，则四边形ABCD为平行四边形．∵E为AC的中点，∴E为对角线AC与BD的交点，∴S△EAB＝S△ECB＝S△ADE＝S△DCE，则＝.
二、多项选择题
9．下列四个式子中一定能化简为的是( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C．(＋)－
D．(－)＋
答案 ABD
解析 对于A，(＋)＋＝＋＋＝＋＝；对于B，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝；对于C，(＋)－＝＋＋＝＋＝；对于D，(－)＋＝＋＝，故选ABD.
10．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，下列等式中正确的是( )
A．a＋b＝c
B．a－b＝d
C．b－a＝d
D．c－a＝b
答案 ACD
解析 在平行四边形ABCD中，∵＝a，＝b，＝c，＝d，∴a－b＝＝－d，故B不正确，ACD均正确．故选ACD.
11．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有( )
A.－＋
B.－
C.－
D.＋
答案 AB
解析 －＋＝＋＝.A中，－＋＝＋＋＝＋＝，故A正确；B中，－＝＋＝，B正确；C中，－＝，C错误；D中，＋＝，D错误．
12．如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
答案 AD
解析 因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以＝，＝，＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝0，故A成立；－＋＝＋－＝＋＝≠0，故B不成立；＋－＝＋＝＋＝≠0，故C不成立；－－＝－＝0，故D成立．
三、填空题
13．(1)(＋)＋(－－)＝________；
(2)－－＝________.
答案 (1) (2)
解析 (1)原式＝(＋)＋＋＝＋0＝.
(2)原式＝－＝.
14．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为________．
答案 13
解析 a，b，a－b构成了一个直角三角形，
则|a－b|＝＝＝13.
15．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α与β所成角的大小为________．
答案 90°
解析 由|α＋β|＝|α－β|可画出的几何图形如图所示，|α－β|＝||，|α＋β|＝||，所以四边形OACB为矩形．故向量α与β所成角的大小为90°.
16．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2
km/h，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3
h，该船的实际航程为________km.
答案 6
解析 如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，则表示船的实际速度．因为||＝2，||＝4，∠AOB＝120°，则∠CBO＝60°.又因为∠AOC＝∠BCO＝90°，所以||＝2，所以船的实际航行速度为2
km/h，则实际航程为2×3＝6
km.
四、解答题
17．如图所示，O是?ABCD的对角线，AC，BD的交点，若＝a，＝b，＝c.
证明：b＋c－a＝.
证明 证法一：因为b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
证法二：＝＋＝＋＋＝c＋＋＝b＋c－＝b＋c－a.
证法三：因为c－a＝－＝－＝＝＋＝－＝－b，所以b＋c－a＝.
18．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
解 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同样，由向量的减法知＝－＝a－b.
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
19．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－.
解 ＝－＝c－a，
＝－＝d－a，
－＝＝－＝d－b，
＋＝－＋－＝b－a＋f－c，
－＝＝－＝f－d.
20．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
解 设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.
∵(＋1)2＋(－1)2＝42，
∴||2＋||2＝||2，∴OA⊥OB.
∴平行四边形OACB是矩形．
∵矩形的对角线相等，
∴||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
知识点一 向量的减法运算
1．化简下列各式：
①－－；②－＋－；
③－＋；④＋＋－.
其中结果为0的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2.－－＝________，＋－＝________.
3．已知||＝6，||＝9，则|－|的取值范围是________．
知识点二 用已知向量表示其他向量
4．若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，用a，b表示向量为( )
A．a＋b
B．－a－b
C．－a＋b
D．a－b
5.
如图，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
6．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，.
7．向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
知识点三 向量减法几何意义的应用
8．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0
B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a－b＋c－d＝0
9．在边长为1的等边三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1
B．2
C.
D.
10．(多选)如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )
A.＋＝
B.－＝0
C.－＝
D.＋＝
11．在四边形ABCD中，若＝－，且|－|＝|＋|，则四边形ABCD的形状为________．
12．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
13．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量并分别求模：
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
14．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|.
15．如图，在?ABCD中，＝a，＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
易错点 不能运用向量加减法的几何意义作图致误
已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________.
易错分析 不能利用向量加减法的几何意义作图，并且不能根据线段长度之间的关系得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因．
一、单项选择题
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
2．化简－＋＋的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则－＋等于( )
A.
B.
C.
D.
4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b
B．b－a
C．c－b
D．b－c
5．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．等腰梯形
6．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．2
B．4
C．16
D．8
8．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋.若点E为AC的中点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9．下列四个式子中一定能化简为的是( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C．(＋)－
D．(－)＋
10．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，下列等式中正确的是( )
A．a＋b＝c
B．a－b＝d
C．b－a＝d
D．c－a＝b
11．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有( )
A.－＋
B.－
C.－
D.＋
12．如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
三、填空题
13．(1)(＋)＋(－－)＝________；
(2)－－＝________.
14．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为________．
15．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α与β所成角的大小为________．
16．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2
km/h，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3
h，该船的实际航程为________km.
四、解答题
17．如图所示，O是?ABCD的对角线，AC，BD的交点，若＝a，＝b，＝c.
证明：b＋c－a＝.
18．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
19．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－.
20．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
6.1.3 向量的减法
知识点一 向量的减法运算
1．化简下列各式：
①－－；②－＋－；
③－＋；④＋＋－.
其中结果为0的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 D
解析 ①－－＝＋＋＝＋＝0.
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0.
③－＋＝＋＝0.
④＋＋－＝＋＝0.
以上各式化简后结果均为0，故选D.
2.－－＝________，＋－＝________.
答案
解析 －－＝－＝＋＝；＋－＝－＝.
3．已知||＝6，||＝9，则|－|的取值范围是________．
答案 [3,15]
解析 ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝6，||＝9，∴3≤|－|≤15，∴|－|的取值范围是[3,15]．
知识点二 用已知向量表示其他向量
4．若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，用a，b表示向量为( )
A．a＋b
B．－a－b
C．－a＋b
D．a－b
答案 B
解析 由平行四边形对角线互相平分的性质知＝－，即＝－a，＝－＝－a－b.
5.
如图，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
答案 A
解析 由于a－b＝－＝，＋＝，所以＝a－b＋c.
6．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，.
解 ∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，
∴＝＋＝b－a＋c，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b.
7．向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解 由图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1)＝＋＋＝d＋e＋a；
(2)＝－＝－－＝－b－c；
(3)＝＋＋＝e＋a＋b；
(4)＝－＝－(＋)＝－c－d.
知识点三 向量减法几何意义的应用
8．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0
B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a－b＋c－d＝0
答案 D
解析 易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中，＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，所以a－b＋c－d＝0.故选D.
9．在边长为1的等边三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1
B．2
C.
D.
答案 D
解析 如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，则－＝＋＝＋＝.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝，所以|－|＝.
10．(多选)如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )
A.＋＝
B.－＝0
C.－＝
D.＋＝
答案 AC
解析 ＋＝，故A正确；＋＝0，故B错误；－＝＋＝，故C正确；＋＝＝，故D错误．故选AC.
11．在四边形ABCD中，若＝－，且|－|＝|＋|，则四边形ABCD的形状为________．
答案 矩形
解析 因为＝－，所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．因为|＋|＝|－|，所以||＝||，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形．
12．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
答案 30°
解析 设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝.
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
13．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量并分别求模：
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
解 (1)如图，由已知得，a＋b＝＋＝，
又＝c，
∴延长AC到E，使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.
(1)题图
(2)题图
(2)如图，作＝，
则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
14．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b，＝c，求|a－b－c|.
解 如图，b＋c＝，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－＝－＝，
则|a－b－c|＝||
＝＝8.
15．如图，在?ABCD中，＝a，＝b.
(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解 (1)＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
若a＋b与a－b所在直线互相垂直，则AC⊥BD.
又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，即当a，b满足|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．
(2)不可能．因为?ABCD的两对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．
易错点 不能运用向量加减法的几何意义作图致误
已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________.
易错分析 不能利用向量加减法的几何意义作图，并且不能根据线段长度之间的关系得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因．
答案
正解 如图，设＝a，＝b，＝a＋b，
则＝－＝a－b，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴BA＝OA＝OB.
∴△OAB为正三角形，设其边长为1，
则|a－b|＝||＝1，
|a＋b|＝2×＝.
∴＝＝.
一、单项选择题
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
答案 D
解析 ＝－＝－a－b.故选D.
2．化简－＋＋的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 原式＝－＝＋＝.故选B.
3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则－＋等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 －＋＝＋＋＝＋0＝.
4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b
B．b－a
C．c－b
D．b－c
答案 D
解析 ＝＝＝－＝b－c.
5．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．等腰梯形
答案 A
解析 ∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝，∴BA∥CD，BA＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
6．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
答案 C
解析 以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝.由m，n的长度相等，可知两对角线相等，因此平行四边形是矩形．故选C.
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．2
B．4
C．16
D．8
答案 A
解析 因为|＋|＝|－|，又点A在直线BC外，以AB，AC为邻边作?ABDC，则对角线AD，BC相等．故?ABDC为矩形，所以||＝||＝2.
8．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋.若点E为AC的中点，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵向量，，，满足等式＋＝＋，∴－＝－，即＝，则四边形ABCD为平行四边形．∵E为AC的中点，∴E为对角线AC与BD的交点，∴S△EAB＝S△ECB＝S△ADE＝S△DCE，则＝.
二、多项选择题
9．下列四个式子中一定能化简为的是( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C．(＋)－
D．(－)＋
答案 ABD
解析 对于A，(＋)＋＝＋＋＝＋＝；对于B，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝；对于C，(＋)－＝＋＋＝＋＝；对于D，(－)＋＝＋＝，故选ABD.
10．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，下列等式中正确的是( )
A．a＋b＝c
B．a－b＝d
C．b－a＝d
D．c－a＝b
答案 ACD
解析 在平行四边形ABCD中，∵＝a，＝b，＝c，＝d，∴a－b＝＝－d，故B不正确，ACD均正确．故选ACD.
11．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有( )
A.－＋
B.－
C.－
D.＋
答案 AB
解析 －＋＝＋＝.A中，－＋＝＋＋＝＋＝，故A正确；B中，－＝＋＝，B正确；C中，－＝，C错误；D中，＋＝，D错误．
12．如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
答案 AD
解析 因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以＝，＝，＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝0，故A成立；－＋＝＋－＝＋＝≠0，故B不成立；＋－＝＋＝＋＝≠0，故C不成立；－－＝－＝0，故D成立．
三、填空题
13．(1)(＋)＋(－－)＝________；
(2)－－＝________.
答案 (1) (2)
解析 (1)原式＝(＋)＋＋＝＋0＝.
(2)原式＝－＝.
14．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为________．
答案 13
解析 a，b，a－b构成了一个直角三角形，
则|a－b|＝＝＝13.
15．若非零向量α，β满足|α＋β|＝|α－β|，则α与β所成角的大小为________．
答案 90°
解析 由|α＋β|＝|α－β|可画出的几何图形如图所示，|α－β|＝||，|α＋β|＝||，所以四边形OACB为矩形．故向量α与β所成角的大小为90°.
16．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2
km/h，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3
h，该船的实际航程为________km.
答案 6
解析 如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，则表示船的实际速度．因为||＝2，||＝4，∠AOB＝120°，则∠CBO＝60°.又因为∠AOC＝∠BCO＝90°，所以||＝2，所以船的实际航行速度为2
km/h，则实际航程为2×3＝6
km.
四、解答题
17．如图所示，O是?ABCD的对角线，AC，BD的交点，若＝a，＝b，＝c.
证明：b＋c－a＝.
证明 证法一：因为b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
证法二：＝＋＝＋＋＝c＋＋＝b＋c－＝b＋c－a.
证法三：因为c－a＝－＝－＝＝＋＝－＝－b，所以b＋c－a＝.
18．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
解 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，同样，由向量的减法知＝－＝a－b.
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
19．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－.
解 ＝－＝c－a，
＝－＝d－a，
－＝＝－＝d－b，
＋＝－＋－＝b－a＋f－c，
－＝＝－＝f－d.
20．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
解 设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.
∵(＋1)2＋(－1)2＝42，
∴||2＋||2＝||2，∴OA⊥OB.
∴平行四边形OACB是矩形．
∵矩形的对角线相等，
∴||＝||＝4，即|a＋b|＝4.