6.2.1向量基本定理 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 6.2.1向量基本定理 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 614.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 09:26:12 | ||
图片预览
文档简介
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6．2.1 向量基本定理
知识点一 共线向量基本定理
1．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1＋2e2的关系是( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．不确定
2．已知e1，e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为( )
A．8
B．－8
C．3
D．－3
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
知识点二 共线向量基本定理的应用
4．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·，实数λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，M，B四点一定共线
5．已知a，b是不共线的两个向量，＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－3b，若P，Q，S三点共线，则k的值是( )
A．－1
B．－3
C．－
D．－
6．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝λ(＋)，＝(1－2μ)·(λ，μ∈R)，则μ＝________，λ＋μ＝________.
7．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.
8．已知a，b不共线，＝ma，＝nb，＝αa＋βb.其中m，n，α，β∈R，mn≠0，若M，N，P三点共线，求证：＋＝1.
9．已知梯形ABCD，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点．用向量法证明：EF∥AB，EF＝(AB＋DC)．
知识点三 平面向量基本定理
10．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1}
B．{2e1＋e2，e1＋e2}
C．{2e2－3e1,6e1－4e2}
D．{e1＋e2，e1－e2}
11．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.b＋c
B.c－b
C.b－c
D.b＋c
12．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.
(1)用基底{，}表示＝________；
(2)用基底{，}表示＝________.
13．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一组基底；
(2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
14．在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.
知识点四 平面向量基本定理的应用
15.
如图所示，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝( )
A．
B．
C．1
D．2
16．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.
17.
如图，在△ABC中，AD＝2DB，AE＝EC，BE与CD相交于点P，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
18．如图，已知三点O，A，B不共线，且＝2，＝3，设＝a，＝b.
(1)设AD与BC交于点E，试用基底{a，b}表示向量；
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．
易错点 忽略两个向量作为基底的条件
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为( )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2或λ＝0
易错分析 若认为{e1，e2}是一组基底，则会得到如下解析：
设a＝kb(k∈R)，则e1＋λe2＝2ke1，所以(1－2k)e1＋λe2＝0，
所以1－2k＝0，且λ＝0，选A.
事实上，{e1，e2}并不一定是平面内的一组基底，不要漏掉e1，e2共线的情况．
一、单项选择题
1．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为( )
A．3
B．－3
C．0
D．2
3．{e1，e2}为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2
B．－3
C．－2
D．3
4．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为( )
A．－
B．1
C．
D．－1
5．在△ABC中，点D在BC边上，且＝4，＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A．1
B．
C．
D．
6．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．3＋
7．在△ABC中，设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A．
B．
C．
D．1
8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
二、多项选择题
9．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中正确的是( )
A．λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0
10．下面向量a，b共线的为( )
A．a＝2e1，b＝－2e2
B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2(e1，e2不共线)
11．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y的取值可以是( )
A．x＝1，y＝1
B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝
D．x＝－1，y＝3
12．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，△ABC内有一点O，满足：＝λ＋μ，且λ>0，μ>0,4λ＋3μ＝2，则CO的可能取值为( )
A．1
B．
C．
D．2
三、填空题
13．?ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，则＝________.
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
15．设{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的条件是________．
16.
如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________．
四、解答题
17．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用基底{a，b}表示，，.
18．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
19．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
20．如图，设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于点P，Q，若＝m，＝n，求证：＋＝3.
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6．2.1 向量基本定理
知识点一 共线向量基本定理
1．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1＋2e2的关系是( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．不确定
答案 B
解析 ∵a＋b＝3e1＋e2，∴c＝6e1＋2e2＝2(a＋b)．
∴c与a＋b共线．
2．已知e1，e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为( )
A．8
B．－8
C．3
D．－3
答案 B
解析 ∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，即3e1－4e2＝6me1＋mke2，∴即
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
答案 D
解析 ∵c∥d，∴设c＝λd，则ka＋b＝λa－λb，∴
∴k＝－1，λ＝－1，∴c＝－d，∴k＝－1且c与d反向．
知识点二 共线向量基本定理的应用
4．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·，实数λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，M，B四点一定共线
答案 B
解析 由题意得－＝λ(－)，即＝λ.又λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．故选B.
5．已知a，b是不共线的两个向量，＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－3b，若P，Q，S三点共线，则k的值是( )
A．－1
B．－3
C．－
D．－
答案 C
解析 易得＝＋＝3a－2b.因为P，Q，S三点共线，所以存在实数x，使得＝x，即3a－2b＝x(2a＋kb)，则解得k＝－.
6．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝λ(＋)，＝(1－2μ)·(λ，μ∈R)，则μ＝________，λ＋μ＝________.
答案
解析 ∵＝λ(＋)，∴点P在边BC的中线所在的直线上．∵＝(1－2μ)，∴点P在边BC所在的直线上，∴点P是边BC的中点，∴λ＝，1－2μ＝，∴μ＝，∴λ＋μ＝.
7．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.
答案 或－2
解析 ∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，
∴k2e1＋e2＝m(2e1＋3e2)，∴
即3k2＋5k－2＝0，∴k＝或－2.
8．已知a，b不共线，＝ma，＝nb，＝αa＋βb.其中m，n，α，β∈R，mn≠0，若M，N，P三点共线，求证：＋＝1.
证明 由于M，N，P三点共线，所以存在λ∈R，使＝λ，即－＝λ(－)，所以αa＋βb－ma＝λ(nb－αa－βb)，所以(α－m)a＋βb＝－λαa＋(λn－λβ)b.所以即即，
∴＋＝＋＝1.
9．已知梯形ABCD，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点．用向量法证明：EF∥AB，EF＝(AB＋DC)．
证明 如图，延长EF到点M，使FM＝EF，连接CM，BM，EC，EB，得平行四边形ECMB，
由平行四边形法则得
＝＝(＋)．
由于AB∥DC，所以，共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使＝λ.
由三角形法则得＝＋，＝＋且＋＝0，
∴＝(＋)＝(＋＋＋)
＝(＋)＝，
∴∥.由于E，D不共点，
∴EF∥DC∥AB，
又||＝|(＋)|＝(||＋||)，
∴EF＝(AB＋DC)，所以结论得证．
知识点三 平面向量基本定理
10．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1}
B．{2e1＋e2，e1＋e2}
C．{2e2－3e1,6e1－4e2}
D．{e1＋e2，e1－e2}
答案 D
解析 对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e1＋e2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．
11．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.b＋c
B.c－b
C.b－c
D.b＋c
答案 A
解析 由题意可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c.故选A.
12．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.
(1)用基底{，}表示＝________；
(2)用基底{，}表示＝________.
答案 (1)＋ (2)＋
解析 (1)∵＝＋，＝＝，
＝－，
∴＝＋(－)＝＋－
＝＋.
(2)＝＋＝＋.
13．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一组基底；
(2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
解 (1)证明：设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?
∴c＝2a＋b.
14．在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.
解 ∵M为BC的中点，
∴＝＝(－)＝(b－a)，
＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
∵DN∥BM，AN与AM共线，
∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝λ(b－a)．
＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.
∵＝＋
＝a＋λ(b－a)＝a＋b，
∴根据平面向量基本定理，得
∴λ＝μ＝，∴＝(b－a)＝－a＋b.
知识点四 平面向量基本定理的应用
15.
如图所示，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝( )
A．
B．
C．1
D．2
答案 C
解析 由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)＝＋＝＋.∵＝x＋y，∴x＋y＝＋.∵与不共线，∴由平面向量基本定理得∴3x－2y＝3×－2×＝1.故选C.
16．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.
答案
解析 如图，∵a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，
∴存在实数λ使t(a＋b)－b＝λ，即(t－λ)a＝b.
又a，b不共线，
∴t－λ＝0且－λ－t＝0，解得t＝.
17.
如图，在△ABC中，AD＝2DB，AE＝EC，BE与CD相交于点P，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
答案
解析 ∵D，P，C三点共线，故设＝λ，
同理可设＝μ，
由题可知＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝＋λ
＝(1－λ)＋λ，
又＝＋＝＋μ＝＋μ(－)
＝＋μ＝μ＋(1－μ)，
所以可得解得
故＝＋，所以x＝，y＝.
18．如图，已知三点O，A，B不共线，且＝2，＝3，设＝a，＝b.
(1)设AD与BC交于点E，试用基底{a，b}表示向量；
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．
解 (1)∵B，E，C三点共线，
∴存在实数x，
使＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b.①
同理，∵A，E，D三点共线，
∴存在实数y，使＝ya＋3(1－y)b.②
由①②，得
解得x＝，y＝.∴＝a＋b.
(2)证明：∵＝，＝＝，＝(＋)＝，
∴＝－＝＝，＝－＝，∴＝6，∴L，M，N三点共线．
易错点 忽略两个向量作为基底的条件
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为( )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2或λ＝0
易错分析 若认为{e1，e2}是一组基底，则会得到如下解析：
设a＝kb(k∈R)，则e1＋λe2＝2ke1，所以(1－2k)e1＋λe2＝0，
所以1－2k＝0，且λ＝0，选A.
事实上，{e1，e2}并不一定是平面内的一组基底，不要漏掉e1，e2共线的情况．
答案 D
正解 当e1∥e2时，a∥e1，又b＝2e1，所以b∥e1，又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，故a与b共线．故选D.
一、单项选择题
1．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
答案 B
解析 ∵CD平分∠ACB，∴＝＝.∴＝2＝＝(－)＝(a－b)．∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为( )
A．3
B．－3
C．0
D．2
答案 A
解析 ∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x－y＝3.
3．{e1，e2}为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2
B．－3
C．－2
D．3
答案 A
解析 根据题意得＝e1－ke2，＝－＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，∵A，B，D三点共线，∴＝λ，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以
∴k＝2.
4．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为( )
A．－
B．1
C．
D．－1
答案 B
解析 由于c与d同向，所以可设c＝kd(k>0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以
整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.
又k>0，所以λ>0，故λ＝1.
5．在△ABC中，点D在BC边上，且＝4，＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A．1
B．
C．
D．
答案 C
解析 ∵＋＝，＝4，∴＝，
即＝－，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝.
6．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．3＋
答案 C
解析 设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，根据点M是△ABC的重心，＋＋＝(＋＋)＝(＋＋＋＋＋)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与共线．
7．在△ABC中，设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A．
B．
C．
D．1
答案 A
解析 解法一：设＝t(0≤t≤1)，则＝＝(＋)＝＋＝＋t＝＋(－)＝＋，所以λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝.
解法二：(特殖值法)设M为BC的中点，所以＝＝×(＋)＝＋，所以λ＝μ＝，故λ＋μ＝.
8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
答案 C
解析 ?ABCD中，△DEF∽△BEA，故＝＝，再由AB＝CD可得＝.故＝，∵＝a，＝b，∴＝－＝－＝a－b，∴＝a－b，∵＝－＝－＝b＋a，∴＝＋＝a＋b.
二、多项选择题
9．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中正确的是( )
A．λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0
答案 AD
解析 由平面向量基本定理可知，A，D正确．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B不正确．对于C，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个，故C不正确．故选AD.
10．下面向量a，b共线的为( )
A．a＝2e1，b＝－2e2
B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2(e1，e2不共线)
答案 BC
解析 对于A，e1与e2不一定共线，故a与b不一定共线；对于B，a＝－b，∴a，b共线；对于C，a＝4b，∴a，b共线；对于D，若a，b共线，则存在一实数λ，使得b＝λa，即2e1－2e2＝λ(e1＋e2)，得(2－λ)e1＝(λ＋2)e2，当λ＝2时，得e2＝0，e1，e2共线，矛盾，当λ≠2时，e1＝e2，则e1，e2共线，矛盾．故a与b不共线．故选BC.
11．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y的取值可以是( )
A．x＝1，y＝1
B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝
D．x＝－1，y＝3
答案 ACD
解析 由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，
∴消去λ，得x＋y＝2.结合选项，可知A，C，D符合．故选ACD.
12．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，△ABC内有一点O，满足：＝λ＋μ，且λ>0，μ>0,4λ＋3μ＝2，则CO的可能取值为( )
A．1
B．
C．
D．2
答案 BC
解析 设＝，＝，则CM＝CN＝2，＝λ＋μ＝2λ·＋μ·＝2λ＋μ，由4λ＋3μ＝2?2λ＋μ＝1，故O，M，N共线，等腰直角△CMN中，CO的最小值为点C到MN的距离，则CO的最小取值为.CO的最大值小于CM的长，即最大取值小于2，结合选项，可知CO的可能取值为，.故选BC.
三、填空题
13．?ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，则＝________.
答案 a－b
解析 ＝＝
＝－＝－
＝a－b.
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
答案 2
解析 因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，所以＋＝，又O为AC的中点，所以＝2，所以＋＝2.因为＋＝λ，所以λ＝2.
15．设{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的条件是________．
答案 λ＝－2
解析 向量a，b共线，即存在x∈R使b＝xa，
即－e1＋2e2＝x(e1＋λe2)，
整理得(x＋1)e1＋(λx－2)e2＝0.
∵e1，e2不共线，
∴?
16.
如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________．
答案 (－∞，0)
解析 设＝λ，由题意得＝a＋b(a>0，00)．由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．又由＝x＋y，知0四、解答题
17．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用基底{a，b}表示，，.
解 ＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝a＋(b－a)＝a＋b.
18．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解 ＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ(0≤λ≤1)，
则m－＝λ－λ，
即(λ－m)＝，
∵，不共线，∴∴m＝λ＝.
19．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 如图所示．以OC为对角线，作平行四边形OECF，且OA，OB在这个四边形的两邻边上．
∵∠COF＝∠EOF－∠EOC＝120°－30°＝90°.
在Rt△COF中，||＝2，∠OCF＝30°，
∴CF＝＝4.∴OF＝2.又||＝||＝1.
∴＝4，＝2.
∴＝＋＝4＋2.
由平面向量基本定理可得λ＝4，μ＝2.
∴λ＋μ＝6.
20．如图，设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于点P，Q，若＝m，＝n，求证：＋＝3.
证明 设＝a，＝b.
则＝m＝ma，＝n＝nb.
如图，连接AG并延长交BC于点D，
则AD为边BC上的中线，
∴＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，
＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b.
又与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
∴a＋b＝－λa＋λb，
∴消去λ得m＋n＝3mn.
又由题意，知m≠0，n≠0，
∴＋＝3.
6．2.1 向量基本定理
知识点一 共线向量基本定理
1．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1＋2e2的关系是( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．不确定
2．已知e1，e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为( )
A．8
B．－8
C．3
D．－3
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
知识点二 共线向量基本定理的应用
4．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·，实数λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，M，B四点一定共线
5．已知a，b是不共线的两个向量，＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－3b，若P，Q，S三点共线，则k的值是( )
A．－1
B．－3
C．－
D．－
6．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝λ(＋)，＝(1－2μ)·(λ，μ∈R)，则μ＝________，λ＋μ＝________.
7．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.
8．已知a，b不共线，＝ma，＝nb，＝αa＋βb.其中m，n，α，β∈R，mn≠0，若M，N，P三点共线，求证：＋＝1.
9．已知梯形ABCD，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点．用向量法证明：EF∥AB，EF＝(AB＋DC)．
知识点三 平面向量基本定理
10．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1}
B．{2e1＋e2，e1＋e2}
C．{2e2－3e1,6e1－4e2}
D．{e1＋e2，e1－e2}
11．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.b＋c
B.c－b
C.b－c
D.b＋c
12．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.
(1)用基底{，}表示＝________；
(2)用基底{，}表示＝________.
13．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一组基底；
(2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
14．在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.
知识点四 平面向量基本定理的应用
15.
如图所示，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝( )
A．
B．
C．1
D．2
16．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.
17.
如图，在△ABC中，AD＝2DB，AE＝EC，BE与CD相交于点P，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
18．如图，已知三点O，A，B不共线，且＝2，＝3，设＝a，＝b.
(1)设AD与BC交于点E，试用基底{a，b}表示向量；
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．
易错点 忽略两个向量作为基底的条件
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为( )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2或λ＝0
易错分析 若认为{e1，e2}是一组基底，则会得到如下解析：
设a＝kb(k∈R)，则e1＋λe2＝2ke1，所以(1－2k)e1＋λe2＝0，
所以1－2k＝0，且λ＝0，选A.
事实上，{e1，e2}并不一定是平面内的一组基底，不要漏掉e1，e2共线的情况．
一、单项选择题
1．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为( )
A．3
B．－3
C．0
D．2
3．{e1，e2}为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2
B．－3
C．－2
D．3
4．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为( )
A．－
B．1
C．
D．－1
5．在△ABC中，点D在BC边上，且＝4，＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A．1
B．
C．
D．
6．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．3＋
7．在△ABC中，设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A．
B．
C．
D．1
8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
二、多项选择题
9．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中正确的是( )
A．λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0
10．下面向量a，b共线的为( )
A．a＝2e1，b＝－2e2
B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2(e1，e2不共线)
11．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y的取值可以是( )
A．x＝1，y＝1
B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝
D．x＝－1，y＝3
12．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，△ABC内有一点O，满足：＝λ＋μ，且λ>0，μ>0,4λ＋3μ＝2，则CO的可能取值为( )
A．1
B．
C．
D．2
三、填空题
13．?ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，则＝________.
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
15．设{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的条件是________．
16.
如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________．
四、解答题
17．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用基底{a，b}表示，，.
18．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
19．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
20．如图，设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于点P，Q，若＝m，＝n，求证：＋＝3.
6.2 向量基本定理与向量的坐标
6．2.1 向量基本定理
知识点一 共线向量基本定理
1．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1＋2e2的关系是( )
A．不共线
B．共线
C．相等
D．不确定
答案 B
解析 ∵a＋b＝3e1＋e2，∴c＝6e1＋2e2＝2(a＋b)．
∴c与a＋b共线．
2．已知e1，e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为( )
A．8
B．－8
C．3
D．－3
答案 B
解析 ∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，即3e1－4e2＝6me1＋mke2，∴即
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
答案 D
解析 ∵c∥d，∴设c＝λd，则ka＋b＝λa－λb，∴
∴k＝－1，λ＝－1，∴c＝－d，∴k＝－1且c与d反向．
知识点二 共线向量基本定理的应用
4．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)·，实数λ∈(1,2)，则( )
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，M，B四点一定共线
答案 B
解析 由题意得－＝λ(－)，即＝λ.又λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．故选B.
5．已知a，b是不共线的两个向量，＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－3b，若P，Q，S三点共线，则k的值是( )
A．－1
B．－3
C．－
D．－
答案 C
解析 易得＝＋＝3a－2b.因为P，Q，S三点共线，所以存在实数x，使得＝x，即3a－2b＝x(2a＋kb)，则解得k＝－.
6．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝λ(＋)，＝(1－2μ)·(λ，μ∈R)，则μ＝________，λ＋μ＝________.
答案
解析 ∵＝λ(＋)，∴点P在边BC的中线所在的直线上．∵＝(1－2μ)，∴点P在边BC所在的直线上，∴点P是边BC的中点，∴λ＝，1－2μ＝，∴μ＝，∴λ＋μ＝.
7．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.
答案 或－2
解析 ∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，
∴k2e1＋e2＝m(2e1＋3e2)，∴
即3k2＋5k－2＝0，∴k＝或－2.
8．已知a，b不共线，＝ma，＝nb，＝αa＋βb.其中m，n，α，β∈R，mn≠0，若M，N，P三点共线，求证：＋＝1.
证明 由于M，N，P三点共线，所以存在λ∈R，使＝λ，即－＝λ(－)，所以αa＋βb－ma＝λ(nb－αa－βb)，所以(α－m)a＋βb＝－λαa＋(λn－λβ)b.所以即即，
∴＋＝＋＝1.
9．已知梯形ABCD，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点．用向量法证明：EF∥AB，EF＝(AB＋DC)．
证明 如图，延长EF到点M，使FM＝EF，连接CM，BM，EC，EB，得平行四边形ECMB，
由平行四边形法则得
＝＝(＋)．
由于AB∥DC，所以，共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使＝λ.
由三角形法则得＝＋，＝＋且＋＝0，
∴＝(＋)＝(＋＋＋)
＝(＋)＝，
∴∥.由于E，D不共点，
∴EF∥DC∥AB，
又||＝|(＋)|＝(||＋||)，
∴EF＝(AB＋DC)，所以结论得证．
知识点三 平面向量基本定理
10．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( )
A．{e1－e2，e2－e1}
B．{2e1＋e2，e1＋e2}
C．{2e2－3e1,6e1－4e2}
D．{e1＋e2，e1－e2}
答案 D
解析 对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e1＋e2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．
11．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A.b＋c
B.c－b
C.b－c
D.b＋c
答案 A
解析 由题意可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c.故选A.
12．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.
(1)用基底{，}表示＝________；
(2)用基底{，}表示＝________.
答案 (1)＋ (2)＋
解析 (1)∵＝＋，＝＝，
＝－，
∴＝＋(－)＝＋－
＝＋.
(2)＝＋＝＋.
13．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：{a，b}可以作为一组基底；
(2)以{a，b}为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
解 (1)证明：设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴?
∴c＝2a＋b.
14．在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.
解 ∵M为BC的中点，
∴＝＝(－)＝(b－a)，
＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b)．
∵DN∥BM，AN与AM共线，
∴存在实数λ，μ，使得＝λ＝λ(b－a)．
＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.
∵＝＋
＝a＋λ(b－a)＝a＋b，
∴根据平面向量基本定理，得
∴λ＝μ＝，∴＝(b－a)＝－a＋b.
知识点四 平面向量基本定理的应用
15.
如图所示，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，且＝x＋y，则3x－2y＝( )
A．
B．
C．1
D．2
答案 C
解析 由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)＝＋＝＋.∵＝x＋y，∴x＋y＝＋.∵与不共线，∴由平面向量基本定理得∴3x－2y＝3×－2×＝1.故选C.
16．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.
答案
解析 如图，∵a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，
∴存在实数λ使t(a＋b)－b＝λ，即(t－λ)a＝b.
又a，b不共线，
∴t－λ＝0且－λ－t＝0，解得t＝.
17.
如图，在△ABC中，AD＝2DB，AE＝EC，BE与CD相交于点P，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
答案
解析 ∵D，P，C三点共线，故设＝λ，
同理可设＝μ，
由题可知＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝＋λ
＝(1－λ)＋λ，
又＝＋＝＋μ＝＋μ(－)
＝＋μ＝μ＋(1－μ)，
所以可得解得
故＝＋，所以x＝，y＝.
18．如图，已知三点O，A，B不共线，且＝2，＝3，设＝a，＝b.
(1)设AD与BC交于点E，试用基底{a，b}表示向量；
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．
解 (1)∵B，E，C三点共线，
∴存在实数x，
使＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b.①
同理，∵A，E，D三点共线，
∴存在实数y，使＝ya＋3(1－y)b.②
由①②，得
解得x＝，y＝.∴＝a＋b.
(2)证明：∵＝，＝＝，＝(＋)＝，
∴＝－＝＝，＝－＝，∴＝6，∴L，M，N三点共线．
易错点 忽略两个向量作为基底的条件
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为( )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2或λ＝0
易错分析 若认为{e1，e2}是一组基底，则会得到如下解析：
设a＝kb(k∈R)，则e1＋λe2＝2ke1，所以(1－2k)e1＋λe2＝0，
所以1－2k＝0，且λ＝0，选A.
事实上，{e1，e2}并不一定是平面内的一组基底，不要漏掉e1，e2共线的情况．
答案 D
正解 当e1∥e2时，a∥e1，又b＝2e1，所以b∥e1，又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，故a与b共线．故选D.
一、单项选择题
1．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
答案 B
解析 ∵CD平分∠ACB，∴＝＝.∴＝2＝＝(－)＝(a－b)．∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为( )
A．3
B．－3
C．0
D．2
答案 A
解析 ∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x－y＝3.
3．{e1，e2}为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2
B．－3
C．－2
D．3
答案 A
解析 根据题意得＝e1－ke2，＝－＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，∵A，B，D三点共线，∴＝λ，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以
∴k＝2.
4．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为( )
A．－
B．1
C．
D．－1
答案 B
解析 由于c与d同向，所以可设c＝kd(k>0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以
整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.
又k>0，所以λ>0，故λ＝1.
5．在△ABC中，点D在BC边上，且＝4，＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A．1
B．
C．
D．
答案 C
解析 ∵＋＝，＝4，∴＝，
即＝－，∴r＝，s＝－，∴3r＋s＝.
6．若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．3＋
答案 C
解析 设D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，根据点M是△ABC的重心，＋＋＝(＋＋)＝(＋＋＋＋＋)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与共线．
7．在△ABC中，设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A．
B．
C．
D．1
答案 A
解析 解法一：设＝t(0≤t≤1)，则＝＝(＋)＝＋＝＋t＝＋(－)＝＋，所以λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝.
解法二：(特殖值法)设M为BC的中点，所以＝＝×(＋)＝＋，所以λ＝μ＝，故λ＋μ＝.
8．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a＋b
D.a＋b
答案 C
解析 ?ABCD中，△DEF∽△BEA，故＝＝，再由AB＝CD可得＝.故＝，∵＝a，＝b，∴＝－＝－＝a－b，∴＝a－b，∵＝－＝－＝b＋a，∴＝＋＝a＋b.
二、多项选择题
9．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中正确的是( )
A．λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0
答案 AD
解析 由平面向量基本定理可知，A，D正确．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B不正确．对于C，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个，故C不正确．故选AD.
10．下面向量a，b共线的为( )
A．a＝2e1，b＝－2e2
B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2(e1，e2不共线)
答案 BC
解析 对于A，e1与e2不一定共线，故a与b不一定共线；对于B，a＝－b，∴a，b共线；对于C，a＝4b，∴a，b共线；对于D，若a，b共线，则存在一实数λ，使得b＝λa，即2e1－2e2＝λ(e1＋e2)，得(2－λ)e1＝(λ＋2)e2，当λ＝2时，得e2＝0，e1，e2共线，矛盾，当λ≠2时，e1＝e2，则e1，e2共线，矛盾．故a与b不共线．故选BC.
11．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y的取值可以是( )
A．x＝1，y＝1
B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝
D．x＝－1，y＝3
答案 ACD
解析 由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，
∴消去λ，得x＋y＝2.结合选项，可知A，C，D符合．故选ACD.
12．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，△ABC内有一点O，满足：＝λ＋μ，且λ>0，μ>0,4λ＋3μ＝2，则CO的可能取值为( )
A．1
B．
C．
D．2
答案 BC
解析 设＝，＝，则CM＝CN＝2，＝λ＋μ＝2λ·＋μ·＝2λ＋μ，由4λ＋3μ＝2?2λ＋μ＝1，故O，M，N共线，等腰直角△CMN中，CO的最小值为点C到MN的距离，则CO的最小取值为.CO的最大值小于CM的长，即最大取值小于2，结合选项，可知CO的可能取值为，.故选BC.
三、填空题
13．?ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，则＝________.
答案 a－b
解析 ＝＝
＝－＝－
＝a－b.
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
答案 2
解析 因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，所以＋＝，又O为AC的中点，所以＝2，所以＋＝2.因为＋＝λ，所以λ＝2.
15．设{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的条件是________．
答案 λ＝－2
解析 向量a，b共线，即存在x∈R使b＝xa，
即－e1＋2e2＝x(e1＋λe2)，
整理得(x＋1)e1＋(λx－2)e2＝0.
∵e1，e2不共线，
∴?
16.
如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________．
答案 (－∞，0)
解析 设＝λ，由题意得＝a＋b(a>0，0
17．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用基底{a，b}表示，，.
解 ＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝a＋(b－a)＝a＋b.
18．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解 ＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ(0≤λ≤1)，
则m－＝λ－λ，
即(λ－m)＝，
∵，不共线，∴∴m＝λ＝.
19．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解 如图所示．以OC为对角线，作平行四边形OECF，且OA，OB在这个四边形的两邻边上．
∵∠COF＝∠EOF－∠EOC＝120°－30°＝90°.
在Rt△COF中，||＝2，∠OCF＝30°，
∴CF＝＝4.∴OF＝2.又||＝||＝1.
∴＝4，＝2.
∴＝＋＝4＋2.
由平面向量基本定理可得λ＝4，μ＝2.
∴λ＋μ＝6.
20．如图，设G为△ABC的重心，过G的直线l分别交AB，AC于点P，Q，若＝m，＝n，求证：＋＝3.
证明 设＝a，＝b.
则＝m＝ma，＝n＝nb.
如图，连接AG并延长交BC于点D，
则AD为边BC上的中线，
∴＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，
＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b.
又与共线，∴存在实数λ，使＝λ，
∴a＋b＝－λa＋λb，
∴消去λ得m＋n＝3mn.
又由题意，知m≠0，n≠0，
∴＋＝3.