6.2.2向量的坐标及其运算 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析）
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| 名称 | 6.2.2向量的坐标及其运算 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 377.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 09:27:13 | ||
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文档简介
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
第1课时 向量的坐标及其运算
知识点一 直线上向量的坐标
1．如图所示，则直线上向量a，b的坐标分别为( )
A．－2,4
B．2,4
C．4，－2
D．－4，－2
2．已知，向量a，b在同一直线上，|a|＝2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为( )
A．4
B．－4
C．2或－2
D．4或－4
知识点二 直线上向量的坐标运算
3．已知直线上向量a的坐标为－2，b的坐标为5，则|2a＋b|＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．直线上向量a的坐标为5，b的坐标为－，求下列向量的坐标：
(1)－3b；(2)a－b；(3)2a＋3b；(4)－a－6b.
知识点三 数轴上两点间的距离、中点坐标
5．已知数轴上两点M，N，且||＝4，若xM＝－3，则xN等于( )
A．1
B．2
C．－7
D．1或－7
6．在如图所示的数轴上，A，B两点的坐标分别为a，b，则向量的坐标为( )
A．a－b
B．b－a
C．－a－b
D．a＋b
7．如图，数轴上A，B两点的坐标分别为－4,2，点C是线段AB的中点，则向量的坐标为________．
8．如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B两点的坐标分别为m,2m＋1，B，O两点间的距离等于A，B两点间的距离，则|2＋|＝________.
9．已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，求，的坐标及A，B两点间的距离．
(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.
知识点四 平面向量的坐标
10．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
11．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
知识点五 平面上向量的运算与坐标的关系
12．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
13．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
14．若{α，β}是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(0,2)
15．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3,2)，且表示向量a＋3b，－2b－2a，c的有向线段首尾相接构成三角形，则向量c的坐标为________．
16．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则＝________，|na＋mb|＝________.
17．已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．
18．已知a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb.试求实数p，q的值．
19．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c，
(1)求p的坐标；
(2)若以{a，b}为基底，求p的表达式．
易错点 不能正确用已知向量表示未知向量致误
向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
易错分析 本题有两种解法，一是利用单位正交基底i，j，将a，b分别用i，j表示出来，再将c用a，b表示出来，从而求出λ，μ；二是建立平面直角坐标系，将a，b坐标写出来，将c用a，b的坐标表示出来，从而求出λ，μ.这两种方法的易错之处均为不能合理配凑转化将c正确用a，b表示出来，从而致误．
一、单项选择题
1．已知直线上向量a的坐标为m，若b＝－a，则向量b的坐标为( )
A．m
B．－m
C．0
D．m或－m
2．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
3．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于( )
A．(－5,14)
B．(5,14)
C．(7,4)
D．(5,9)
4．如图，数轴上四点O，A，B，C，其中O为原点，且||＝2，||＝||，若点C的坐标为a，则点B的坐标为( )
A．－a－2
B．2－a
C．a＋2
D．a－2
5．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为( )
A．(3,4)
B．(2,4)
C．(3,4)或(4,3)
D．(4,2)或(2,4)
6．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是( )
A．－
B．
C．－
D．
7．数轴上点A和点B的坐标分别为－1和3，若P是数轴上一点，且||＋||＝6，则点P的坐标为( )
A．－3
B．－3或5
C．－2
D．－2或4
8．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，则M∩N＝( )
A．{(1,2)}
B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)}
D．?
二、多项选择题
9．下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝(2,3)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
10．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列结论正确的是( )
A.＝2i＋3j
B.＝3i＋4j
C.＝－5i＋j
D.＝5i－j
11．已知数轴上A，B，C三点的坐标分别为1,7，－3，下列结论正确的为( )
A．的坐标为－6
B．||＝10
C．若CD＝4，则点D的坐标为1
D．若||＝2，则点E的坐标为5或9
12．对于n个向量a1，a2，a3，…，an，若存在n个不全为0的实数k1，k2，k3，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋k3a3＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，a3，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)是线性相关的实数为k1，k2，k3，则( )
A．k1＝－4，k2＝2，k3＝1
B．k1＝0，k2＝，k3＝2
C．k1＝1，k2＝－，k3＝－
D．k1＝2，k2＝，k3＝
三、填空题
13．已知直线上a的坐标为－，b的坐标为1，c的坐标为－，则|2a＋3b－6c|＝________.
14．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则|a|＋|b|＝________.
15．已知数轴上点A的坐标为2，||＝6，C是AB的中点，则向量的坐标为________．
16．如图，正方形ABCD中，O为中心，且＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：
＝________，＝________，
＝________，＝________.
四、解答题
17．已知e是直线l上一个单位向量，向量a，b，c都是直线l上的向量．
(1)a＝5e，b＝－2e，c＝e，求a＋b＋c的坐标；
(2)a＝2e，b＝e，c＝－3e，求|a＋3b＋2c|.
18．数轴上点A，B，C的坐标分别为4，－6，x，线段AB的中点为D.
(1)求向量的坐标及A与B的距离；
(2)求点D的坐标；
(3)若||＝8，求x的值．
19．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求点M，N的坐标及的坐标．
20．已知向量u＝(x，y)和v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；
(3)对于任意向量a，b及常数λ，μ，证明：f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)恒成立．
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
第1课时 向量的坐标及其运算
知识点一 直线上向量的坐标
1．如图所示，则直线上向量a，b的坐标分别为( )
A．－2,4
B．2,4
C．4，－2
D．－4，－2
答案 C
解析 向量a的始点在原点，则a的坐标为4，把向量b的始点平移到原点，则b的坐标为－2.故选C.
2．已知，向量a，b在同一直线上，|a|＝2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为( )
A．4
B．－4
C．2或－2
D．4或－4
答案 D
解析 由b的坐标为2，得b＝2e，由|a|＝2|b|，得a＝4e或a＝－4e，故a的坐标为4或－4.故选D.
知识点二 直线上向量的坐标运算
3．已知直线上向量a的坐标为－2，b的坐标为5，则|2a＋b|＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 A
解析 由向量a的坐标为－2，b的坐标为5，得2a＋b的坐标为－2×2＋5＝1，故|2a＋b|＝1，故选A.
4．直线上向量a的坐标为5，b的坐标为－，求下列向量的坐标：
(1)－3b；(2)a－b；(3)2a＋3b；(4)－a－6b.
解 (1)－3b的坐标为(－3)×＝1.
(2)a－b的坐标为5－＝.
(3)2a＋3b的坐标为2×5＋3×＝9.
(4)－a－6b的坐标为－5－6×＝－3.
知识点三 数轴上两点间的距离、中点坐标
5．已知数轴上两点M，N，且||＝4，若xM＝－3，则xN等于( )
A．1
B．2
C．－7
D．1或－7
答案 D
解析 ||＝|xN－(－3)|＝4，∴xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.
6．在如图所示的数轴上，A，B两点的坐标分别为a，b，则向量的坐标为( )
A．a－b
B．b－a
C．－a－b
D．a＋b
答案 B
解析 ＝(b－a)e，的坐标为b－a.
7．如图，数轴上A，B两点的坐标分别为－4,2，点C是线段AB的中点，则向量的坐标为________．
答案 3
解析 由A，B两点的坐标分别为－4,2，得点C的坐标为＝－1，故的坐标为－1－(－4)＝3.
8．如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B两点的坐标分别为m,2m＋1，B，O两点间的距离等于A，B两点间的距离，则|2＋|＝________.
答案
解析 由题意得，0－(2m＋1)＝2m＋1－m，得m＝－，故点A的坐标为－，点B的坐标为－×2＋1＝－，的坐标为－－＝，故2＋的坐标为2×－＝，故|2＋|＝.
9．已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，求，的坐标及A，B两点间的距离．
(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.
解 (1)∵x1＝2，x2＝－5.3，∴的坐标为－5.3－2＝－7.3，的坐标为2－(－5.3)＝7.3，A，B两点间的距离为|x2－x1|＝|－5.3－2|＝7.3.
(2)∵x1＝10，x2＝20.5，∴的坐标为20.5－10＝10.5，的坐标为10－20.5＝－10.5，A，B两点间的距离为|x1－x2|＝|10－20.5|＝10.5.
知识点四 平面向量的坐标
10．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 A
解析 由平面向量基本定理，知①正确；举反例，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故④错误．故选A.
11．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析 将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，
∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，
∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
知识点五 平面上向量的运算与坐标的关系
12．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
答案 A
解析 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
13．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
答案 C
解析 因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
14．若{α，β}是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(0,2)
答案 D
解析 ∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴解得∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
15．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3,2)，且表示向量a＋3b，－2b－2a，c的有向线段首尾相接构成三角形，则向量c的坐标为________．
答案 (5，－3)
解析 设c的坐标为(x，y)，由向量坐标加法运算可得a＋3b＝(－7,5)，－2b－2a＝(2，－2)．因为表示向量a＋3b，－2b－2a，c的有向线段首尾相接构成三角形，所以a＋3b＋(－2b－2a)＋c＝0，代入得(－7,5)＋(2，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得
所以c＝(5，－3)．
16．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则＝________，|na＋mb|＝________.
答案 －
解析 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)．
∴解得∴＝－.
na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)，
∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝
＝＝.
17．已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．
解 a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；
3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
18．已知a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb.试求实数p，q的值．
解 ∵a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，
∴pa＋qb＝p(－1,2)＋q(1，－1)＝(－p＋q,2p－q)．
∵c＝pa＋qb，
∴解得
故所求p，q的值分别为1,4.
19．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c，
(1)求p的坐标；
(2)若以{a，b}为基底，求p的表达式．
解 (1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
∴∴
∴p＝－a－15b.
易错点 不能正确用已知向量表示未知向量致误
向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
易错分析 本题有两种解法，一是利用单位正交基底i，j，将a，b分别用i，j表示出来，再将c用a，b表示出来，从而求出λ，μ；二是建立平面直角坐标系，将a，b坐标写出来，将c用a，b的坐标表示出来，从而求出λ，μ.这两种方法的易错之处均为不能合理配凑转化将c正确用a，b表示出来，从而致误．
答案 4
正解 解法一 设小正方形的边长为单位长度，i，j分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，
根据平面向量基本定理得
解得所以＝4.
解法二 设小正方形的边长为1，如图，建立平面直角坐标系，
则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．
由c＝λa＋μb，得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
故解得所以＝4.
一、单项选择题
1．已知直线上向量a的坐标为m，若b＝－a，则向量b的坐标为( )
A．m
B．－m
C．0
D．m或－m
答案 B
解析 向量a的坐标为m，则－a的坐标为－m，即b的坐标为－m，故选B.
2．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
答案 C
解析 a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，故a＝－b.故选C.
3．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于( )
A．(－5,14)
B．(5,14)
C．(7,4)
D．(5,9)
答案 A
解析 3a＋b＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A.
4．如图，数轴上四点O，A，B，C，其中O为原点，且||＝2，||＝||，若点C的坐标为a，则点B的坐标为( )
A．－a－2
B．2－a
C．a＋2
D．a－2
答案 B
解析 ∵||＝2，点C的坐标为a，∴||＝2＋(－a)＝2－a，又||＝||，∴||＝2－a，故点B的坐标为2－a，故选B.
5．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为( )
A．(3,4)
B．(2,4)
C．(3,4)或(4,3)
D．(4,2)或(2,4)
答案 A
解析 由图可知2a＝2e1＋e2，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝3e1＋4e2＝(3,4)．
6．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是( )
A．－
B．
C．－
D．
答案 C
解析 a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故解得则λ＋x＝－.
7．数轴上点A和点B的坐标分别为－1和3，若P是数轴上一点，且||＋||＝6，则点P的坐标为( )
A．－3
B．－3或5
C．－2
D．－2或4
答案 D
解析 ∵||＝|3－(－1)|＝4，||＋||＝6，
设点P的坐标为xP，当点P在点A的左边时，－1－xP＋3－xP＝6，得xP＝－2；当点P在点B的右边时，xP－3＋xP－(－1)＝6，得xP＝4，综上所述，点P的坐标为－2或4.
8．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，则M∩N＝( )
A．{(1,2)}
B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)}
D．?
答案 C
解析 由题意知，令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴解得故集合M与集合N只有一个公共元素是(－2，－2)．
二、多项选择题
9．下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝(2,3)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
答案 BD
解析 观察选项知，A，C中的向量共线，B，D中的向量不共线，可以把向量a＝(3,2)表示出来．故选BD.
10．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列结论正确的是( )
A.＝2i＋3j
B.＝3i＋4j
C.＝－5i＋j
D.＝5i－j
答案 ACD
解析 i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故A，C，D正确．
11．已知数轴上A，B，C三点的坐标分别为1,7，－3，下列结论正确的为( )
A．的坐标为－6
B．||＝10
C．若CD＝4，则点D的坐标为1
D．若||＝2，则点E的坐标为5或9
答案 ABD
解析 ∵A，B，C三点的坐标分别为1,7，－3，∴的坐标为－6，A正确；∵CB＝7－(－3)＝10，∴||＝10，B正确；设点D的坐标为x，则CD＝|x－(－3)|＝|x＋3|＝4，∴x＝1或x＝－7，即点D的坐标为1或－7，C错误；设点E的坐标为y，则||＝|y－7|＝2，解得y＝5或y＝9，即点E的坐标为5或9，D正确．故选ABD.
12．对于n个向量a1，a2，a3，…，an，若存在n个不全为0的实数k1，k2，k3，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋k3a3＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，a3，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)是线性相关的实数为k1，k2，k3，则( )
A．k1＝－4，k2＝2，k3＝1
B．k1＝0，k2＝，k3＝2
C．k1＝1，k2＝－，k3＝－
D．k1＝2，k2＝，k3＝
答案 AC
解析 因为向量a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)是线性相关的，所以k1a1＋k2a2＋k3a3＝0，即k1(1,0)＋k2(1，－1)＋k3(2,2)＝0，即(k1＋k2＋2k3，－k2＋2k3)＝0，所以①②两式为k1，k2，k3需满足的关系式．结合选项可知，A，C满足此关系式．故选AC.
三、填空题
13．已知直线上a的坐标为－，b的坐标为1，c的坐标为－，则|2a＋3b－6c|＝________.
答案 4
解析 ∵a的坐标为－，b的坐标为1，c的坐标为－，则2a＋3b－6c的坐标为2×＋3×1－6×＝－3＋3＋4＝4，即|2a＋3b－6c|＝4.
14．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则|a|＋|b|＝________.
答案 18
解析 联立
由①＋②得，a＝(－3,4)，
由①－②得，b＝(5，－12)．
故|a|＋|b|＝＋＝5＋13＝18.
15．已知数轴上点A的坐标为2，||＝6，C是AB的中点，则向量的坐标为________．
答案 －3或3
解析 ∵数轴上点A的坐标为2，且||＝6，则点B的坐标为－4或8.而C是AB的中点，则点C的坐标为或，即－1或5，故的坐标为－3或3.
16．如图，正方形ABCD中，O为中心，且＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：
＝________，＝________，
＝________，＝________.
答案 －i＋j －i－j －2i －2i－2j
解析 如题图所示，＝(1,1)＝i＋j，
∴＝i，＝j.
∴＝－＝－i，＝＝j，＝－＝－j.
∴＝＋＝－i＋j；＝＋＝－i－j；＝－＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.
同理，＝－＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，
＝＋＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.
四、解答题
17．已知e是直线l上一个单位向量，向量a，b，c都是直线l上的向量．
(1)a＝5e，b＝－2e，c＝e，求a＋b＋c的坐标；
(2)a＝2e，b＝e，c＝－3e，求|a＋3b＋2c|.
解 (1)由a＝5e，b＝－2e，c＝e，得a，b，c的坐标分别为5，－2，，则a＋b＋c的坐标为5－2＋＝.
(2)由a＝2e，b＝e，c＝－3e，得a，b，c的坐标分别为2，，－3，则|a＋3b＋2c|的坐标为2＋3×＋2×(－3)＝1，故|a＋3b＋2c|＝1.
18．数轴上点A，B，C的坐标分别为4，－6，x，线段AB的中点为D.
(1)求向量的坐标及A与B的距离；
(2)求点D的坐标；
(3)若||＝8，求x的值．
解 (1)由A，B的坐标分别为4，－6，
得的坐标为－6－4＝－10，A与B的距离AB＝||＝10.
(2)由A，B的坐标分别为4，－6且D为AB的中点，得点D的坐标为＝－1.
(3)当点C在点A的左侧时，4－x＝8，x＝－4；
当点C在点A的右侧时，x－4＝8，x＝12.
故x的值为－4或12.
19．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求点M，N的坐标及的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴解得
(3)∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
又＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
20．已知向量u＝(x，y)和v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；
(3)对于任意向量a，b及常数λ，μ，证明：f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)恒成立．
解 (1)由题意知，当a＝(1,1)时，f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．
当b＝(1,0)时，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)，
则解得∴c＝(3,4)．
(3)证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，
∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2,2(λy1＋μy2)－(λx1＋μx2))．
又f(a)＝(y1,2y1－x1)，f(b)＝(y2,2y2－x2)，
∴λf(a)＋μf(b)＝λ(y1,2y1－x1)＋μ(y2,2y2－x2)＝(λy1＋μy2，2(λy1＋μy2)－(λx1＋μx2))＝f(λa＋μb)．
∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)恒成立．
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
第1课时 向量的坐标及其运算
知识点一 直线上向量的坐标
1．如图所示，则直线上向量a，b的坐标分别为( )
A．－2,4
B．2,4
C．4，－2
D．－4，－2
2．已知，向量a，b在同一直线上，|a|＝2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为( )
A．4
B．－4
C．2或－2
D．4或－4
知识点二 直线上向量的坐标运算
3．已知直线上向量a的坐标为－2，b的坐标为5，则|2a＋b|＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．直线上向量a的坐标为5，b的坐标为－，求下列向量的坐标：
(1)－3b；(2)a－b；(3)2a＋3b；(4)－a－6b.
知识点三 数轴上两点间的距离、中点坐标
5．已知数轴上两点M，N，且||＝4，若xM＝－3，则xN等于( )
A．1
B．2
C．－7
D．1或－7
6．在如图所示的数轴上，A，B两点的坐标分别为a，b，则向量的坐标为( )
A．a－b
B．b－a
C．－a－b
D．a＋b
7．如图，数轴上A，B两点的坐标分别为－4,2，点C是线段AB的中点，则向量的坐标为________．
8．如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B两点的坐标分别为m,2m＋1，B，O两点间的距离等于A，B两点间的距离，则|2＋|＝________.
9．已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，求，的坐标及A，B两点间的距离．
(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.
知识点四 平面向量的坐标
10．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
11．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
知识点五 平面上向量的运算与坐标的关系
12．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
13．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
14．若{α，β}是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(0,2)
15．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3,2)，且表示向量a＋3b，－2b－2a，c的有向线段首尾相接构成三角形，则向量c的坐标为________．
16．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则＝________，|na＋mb|＝________.
17．已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．
18．已知a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb.试求实数p，q的值．
19．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c，
(1)求p的坐标；
(2)若以{a，b}为基底，求p的表达式．
易错点 不能正确用已知向量表示未知向量致误
向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
易错分析 本题有两种解法，一是利用单位正交基底i，j，将a，b分别用i，j表示出来，再将c用a，b表示出来，从而求出λ，μ；二是建立平面直角坐标系，将a，b坐标写出来，将c用a，b的坐标表示出来，从而求出λ，μ.这两种方法的易错之处均为不能合理配凑转化将c正确用a，b表示出来，从而致误．
一、单项选择题
1．已知直线上向量a的坐标为m，若b＝－a，则向量b的坐标为( )
A．m
B．－m
C．0
D．m或－m
2．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
3．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于( )
A．(－5,14)
B．(5,14)
C．(7,4)
D．(5,9)
4．如图，数轴上四点O，A，B，C，其中O为原点，且||＝2，||＝||，若点C的坐标为a，则点B的坐标为( )
A．－a－2
B．2－a
C．a＋2
D．a－2
5．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为( )
A．(3,4)
B．(2,4)
C．(3,4)或(4,3)
D．(4,2)或(2,4)
6．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是( )
A．－
B．
C．－
D．
7．数轴上点A和点B的坐标分别为－1和3，若P是数轴上一点，且||＋||＝6，则点P的坐标为( )
A．－3
B．－3或5
C．－2
D．－2或4
8．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，则M∩N＝( )
A．{(1,2)}
B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)}
D．?
二、多项选择题
9．下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝(2,3)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
10．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列结论正确的是( )
A.＝2i＋3j
B.＝3i＋4j
C.＝－5i＋j
D.＝5i－j
11．已知数轴上A，B，C三点的坐标分别为1,7，－3，下列结论正确的为( )
A．的坐标为－6
B．||＝10
C．若CD＝4，则点D的坐标为1
D．若||＝2，则点E的坐标为5或9
12．对于n个向量a1，a2，a3，…，an，若存在n个不全为0的实数k1，k2，k3，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋k3a3＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，a3，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)是线性相关的实数为k1，k2，k3，则( )
A．k1＝－4，k2＝2，k3＝1
B．k1＝0，k2＝，k3＝2
C．k1＝1，k2＝－，k3＝－
D．k1＝2，k2＝，k3＝
三、填空题
13．已知直线上a的坐标为－，b的坐标为1，c的坐标为－，则|2a＋3b－6c|＝________.
14．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则|a|＋|b|＝________.
15．已知数轴上点A的坐标为2，||＝6，C是AB的中点，则向量的坐标为________．
16．如图，正方形ABCD中，O为中心，且＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：
＝________，＝________，
＝________，＝________.
四、解答题
17．已知e是直线l上一个单位向量，向量a，b，c都是直线l上的向量．
(1)a＝5e，b＝－2e，c＝e，求a＋b＋c的坐标；
(2)a＝2e，b＝e，c＝－3e，求|a＋3b＋2c|.
18．数轴上点A，B，C的坐标分别为4，－6，x，线段AB的中点为D.
(1)求向量的坐标及A与B的距离；
(2)求点D的坐标；
(3)若||＝8，求x的值．
19．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求点M，N的坐标及的坐标．
20．已知向量u＝(x，y)和v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；
(3)对于任意向量a，b及常数λ，μ，证明：f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)恒成立．
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
第1课时 向量的坐标及其运算
知识点一 直线上向量的坐标
1．如图所示，则直线上向量a，b的坐标分别为( )
A．－2,4
B．2,4
C．4，－2
D．－4，－2
答案 C
解析 向量a的始点在原点，则a的坐标为4，把向量b的始点平移到原点，则b的坐标为－2.故选C.
2．已知，向量a，b在同一直线上，|a|＝2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为( )
A．4
B．－4
C．2或－2
D．4或－4
答案 D
解析 由b的坐标为2，得b＝2e，由|a|＝2|b|，得a＝4e或a＝－4e，故a的坐标为4或－4.故选D.
知识点二 直线上向量的坐标运算
3．已知直线上向量a的坐标为－2，b的坐标为5，则|2a＋b|＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 A
解析 由向量a的坐标为－2，b的坐标为5，得2a＋b的坐标为－2×2＋5＝1，故|2a＋b|＝1，故选A.
4．直线上向量a的坐标为5，b的坐标为－，求下列向量的坐标：
(1)－3b；(2)a－b；(3)2a＋3b；(4)－a－6b.
解 (1)－3b的坐标为(－3)×＝1.
(2)a－b的坐标为5－＝.
(3)2a＋3b的坐标为2×5＋3×＝9.
(4)－a－6b的坐标为－5－6×＝－3.
知识点三 数轴上两点间的距离、中点坐标
5．已知数轴上两点M，N，且||＝4，若xM＝－3，则xN等于( )
A．1
B．2
C．－7
D．1或－7
答案 D
解析 ||＝|xN－(－3)|＝4，∴xN－(－3)＝±4，即xN＝1或－7.
6．在如图所示的数轴上，A，B两点的坐标分别为a，b，则向量的坐标为( )
A．a－b
B．b－a
C．－a－b
D．a＋b
答案 B
解析 ＝(b－a)e，的坐标为b－a.
7．如图，数轴上A，B两点的坐标分别为－4,2，点C是线段AB的中点，则向量的坐标为________．
答案 3
解析 由A，B两点的坐标分别为－4,2，得点C的坐标为＝－1，故的坐标为－1－(－4)＝3.
8．如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B两点的坐标分别为m,2m＋1，B，O两点间的距离等于A，B两点间的距离，则|2＋|＝________.
答案
解析 由题意得，0－(2m＋1)＝2m＋1－m，得m＝－，故点A的坐标为－，点B的坐标为－×2＋1＝－，的坐标为－－＝，故2＋的坐标为2×－＝，故|2＋|＝.
9．已知数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，求，的坐标及A，B两点间的距离．
(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.
解 (1)∵x1＝2，x2＝－5.3，∴的坐标为－5.3－2＝－7.3，的坐标为2－(－5.3)＝7.3，A，B两点间的距离为|x2－x1|＝|－5.3－2|＝7.3.
(2)∵x1＝10，x2＝20.5，∴的坐标为20.5－10＝10.5，的坐标为10－20.5＝－10.5，A，B两点间的距离为|x1－x2|＝|10－20.5|＝10.5.
知识点四 平面向量的坐标
10．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 A
解析 由平面向量基本定理，知①正确；举反例，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故④错误．故选A.
11．如下图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析 将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，
∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，
∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
知识点五 平面上向量的运算与坐标的关系
12．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3)
B．(7,7)
C．(1,7)
D．(1,3)
答案 A
解析 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
13．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
答案 C
解析 因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
14．若{α，β}是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(0,2)
答案 D
解析 ∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴解得∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
15．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3,2)，且表示向量a＋3b，－2b－2a，c的有向线段首尾相接构成三角形，则向量c的坐标为________．
答案 (5，－3)
解析 设c的坐标为(x，y)，由向量坐标加法运算可得a＋3b＝(－7,5)，－2b－2a＝(2，－2)．因为表示向量a＋3b，－2b－2a，c的有向线段首尾相接构成三角形，所以a＋3b＋(－2b－2a)＋c＝0，代入得(－7,5)＋(2，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得
所以c＝(5，－3)．
16．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则＝________，|na＋mb|＝________.
答案 －
解析 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)．
∴解得∴＝－.
na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)，
∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝
＝＝.
17．已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．
解 a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；
3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
18．已知a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb.试求实数p，q的值．
解 ∵a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，
∴pa＋qb＝p(－1,2)＋q(1，－1)＝(－p＋q,2p－q)．
∵c＝pa＋qb，
∴解得
故所求p，q的值分别为1,4.
19．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c，
(1)求p的坐标；
(2)若以{a，b}为基底，求p的表达式．
解 (1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
∴∴
∴p＝－a－15b.
易错点 不能正确用已知向量表示未知向量致误
向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
易错分析 本题有两种解法，一是利用单位正交基底i，j，将a，b分别用i，j表示出来，再将c用a，b表示出来，从而求出λ，μ；二是建立平面直角坐标系，将a，b坐标写出来，将c用a，b的坐标表示出来，从而求出λ，μ.这两种方法的易错之处均为不能合理配凑转化将c正确用a，b表示出来，从而致误．
答案 4
正解 解法一 设小正方形的边长为单位长度，i，j分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，
根据平面向量基本定理得
解得所以＝4.
解法二 设小正方形的边长为1，如图，建立平面直角坐标系，
则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．
由c＝λa＋μb，得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
故解得所以＝4.
一、单项选择题
1．已知直线上向量a的坐标为m，若b＝－a，则向量b的坐标为( )
A．m
B．－m
C．0
D．m或－m
答案 B
解析 向量a的坐标为m，则－a的坐标为－m，即b的坐标为－m，故选B.
2．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
答案 C
解析 a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，故a＝－b.故选C.
3．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于( )
A．(－5,14)
B．(5,14)
C．(7,4)
D．(5,9)
答案 A
解析 3a＋b＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A.
4．如图，数轴上四点O，A，B，C，其中O为原点，且||＝2，||＝||，若点C的坐标为a，则点B的坐标为( )
A．－a－2
B．2－a
C．a＋2
D．a－2
答案 B
解析 ∵||＝2，点C的坐标为a，∴||＝2＋(－a)＝2－a，又||＝||，∴||＝2－a，故点B的坐标为2－a，故选B.
5．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为( )
A．(3,4)
B．(2,4)
C．(3,4)或(4,3)
D．(4,2)或(2,4)
答案 A
解析 由图可知2a＝2e1＋e2，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝3e1＋4e2＝(3,4)．
6．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是( )
A．－
B．
C．－
D．
答案 C
解析 a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故解得则λ＋x＝－.
7．数轴上点A和点B的坐标分别为－1和3，若P是数轴上一点，且||＋||＝6，则点P的坐标为( )
A．－3
B．－3或5
C．－2
D．－2或4
答案 D
解析 ∵||＝|3－(－1)|＝4，||＋||＝6，
设点P的坐标为xP，当点P在点A的左边时，－1－xP＋3－xP＝6，得xP＝－2；当点P在点B的右边时，xP－3＋xP－(－1)＝6，得xP＝4，综上所述，点P的坐标为－2或4.
8．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，则M∩N＝( )
A．{(1,2)}
B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)}
D．?
答案 C
解析 由题意知，令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴解得故集合M与集合N只有一个公共元素是(－2，－2)．
二、多项选择题
9．下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(2，－3)，e2＝(2,3)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
答案 BD
解析 观察选项知，A，C中的向量共线，B，D中的向量不共线，可以把向量a＝(3,2)表示出来．故选BD.
10．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列结论正确的是( )
A.＝2i＋3j
B.＝3i＋4j
C.＝－5i＋j
D.＝5i－j
答案 ACD
解析 i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故A，C，D正确．
11．已知数轴上A，B，C三点的坐标分别为1,7，－3，下列结论正确的为( )
A．的坐标为－6
B．||＝10
C．若CD＝4，则点D的坐标为1
D．若||＝2，则点E的坐标为5或9
答案 ABD
解析 ∵A，B，C三点的坐标分别为1,7，－3，∴的坐标为－6，A正确；∵CB＝7－(－3)＝10，∴||＝10，B正确；设点D的坐标为x，则CD＝|x－(－3)|＝|x＋3|＝4，∴x＝1或x＝－7，即点D的坐标为1或－7，C错误；设点E的坐标为y，则||＝|y－7|＝2，解得y＝5或y＝9，即点E的坐标为5或9，D正确．故选ABD.
12．对于n个向量a1，a2，a3，…，an，若存在n个不全为0的实数k1，k2，k3，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋k3a3＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，a3，…，an是线性相关的．按此规定，能使向量a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)是线性相关的实数为k1，k2，k3，则( )
A．k1＝－4，k2＝2，k3＝1
B．k1＝0，k2＝，k3＝2
C．k1＝1，k2＝－，k3＝－
D．k1＝2，k2＝，k3＝
答案 AC
解析 因为向量a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)是线性相关的，所以k1a1＋k2a2＋k3a3＝0，即k1(1,0)＋k2(1，－1)＋k3(2,2)＝0，即(k1＋k2＋2k3，－k2＋2k3)＝0，所以①②两式为k1，k2，k3需满足的关系式．结合选项可知，A，C满足此关系式．故选AC.
三、填空题
13．已知直线上a的坐标为－，b的坐标为1，c的坐标为－，则|2a＋3b－6c|＝________.
答案 4
解析 ∵a的坐标为－，b的坐标为1，c的坐标为－，则2a＋3b－6c的坐标为2×＋3×1－6×＝－3＋3＋4＝4，即|2a＋3b－6c|＝4.
14．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则|a|＋|b|＝________.
答案 18
解析 联立
由①＋②得，a＝(－3,4)，
由①－②得，b＝(5，－12)．
故|a|＋|b|＝＋＝5＋13＝18.
15．已知数轴上点A的坐标为2，||＝6，C是AB的中点，则向量的坐标为________．
答案 －3或3
解析 ∵数轴上点A的坐标为2，且||＝6，则点B的坐标为－4或8.而C是AB的中点，则点C的坐标为或，即－1或5，故的坐标为－3或3.
16．如图，正方形ABCD中，O为中心，且＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：
＝________，＝________，
＝________，＝________.
答案 －i＋j －i－j －2i －2i－2j
解析 如题图所示，＝(1,1)＝i＋j，
∴＝i，＝j.
∴＝－＝－i，＝＝j，＝－＝－j.
∴＝＋＝－i＋j；＝＋＝－i－j；＝－＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.
同理，＝－＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，
＝＋＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.
四、解答题
17．已知e是直线l上一个单位向量，向量a，b，c都是直线l上的向量．
(1)a＝5e，b＝－2e，c＝e，求a＋b＋c的坐标；
(2)a＝2e，b＝e，c＝－3e，求|a＋3b＋2c|.
解 (1)由a＝5e，b＝－2e，c＝e，得a，b，c的坐标分别为5，－2，，则a＋b＋c的坐标为5－2＋＝.
(2)由a＝2e，b＝e，c＝－3e，得a，b，c的坐标分别为2，，－3，则|a＋3b＋2c|的坐标为2＋3×＋2×(－3)＝1，故|a＋3b＋2c|＝1.
18．数轴上点A，B，C的坐标分别为4，－6，x，线段AB的中点为D.
(1)求向量的坐标及A与B的距离；
(2)求点D的坐标；
(3)若||＝8，求x的值．
解 (1)由A，B的坐标分别为4，－6，
得的坐标为－6－4＝－10，A与B的距离AB＝||＝10.
(2)由A，B的坐标分别为4，－6且D为AB的中点，得点D的坐标为＝－1.
(3)当点C在点A的左侧时，4－x＝8，x＝－4；
当点C在点A的右侧时，x－4＝8，x＝12.
故x的值为－4或12.
19．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求点M，N的坐标及的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴解得
(3)∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
又＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
20．已知向量u＝(x，y)和v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标；
(3)对于任意向量a，b及常数λ，μ，证明：f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)恒成立．
解 (1)由题意知，当a＝(1,1)时，f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．
当b＝(1,0)时，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(4,5)，
则解得∴c＝(3,4)．
(3)证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则λa＋μb＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，
∴f(λa＋μb)＝(λy1＋μy2,2(λy1＋μy2)－(λx1＋μx2))．
又f(a)＝(y1,2y1－x1)，f(b)＝(y2,2y2－x2)，
∴λf(a)＋μf(b)＝λ(y1,2y1－x1)＋μ(y2,2y2－x2)＝(λy1＋μy2，2(λy1＋μy2)－(λx1＋μx2))＝f(λa＋μb)．
∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)恒成立．