8.1.1　向量数量积的概念-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册练习（Word含答案解析）

第八章向量的数量积与三角恒等变换
8.1　向量的数量积
8.1.1　向量数量积的概念
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是,则a·b为(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.
C.2
D.
2.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则等于(　　)
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
3.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是(　　)
A.
B.
C.
D.
4.在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则△ABC的形状为　　　　.?
5.若四边形ABCD满足=0,且=0,试判断四边形ABCD的形状.
能力提升练
1.有4个式子:①0a=0;②0a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|.
其中正确式子的个数为(　　)
A.4
B.3
C.2
D.1
2.(多选)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是(　　)
A.若∈0,,则a·b>0
B.若a⊥b,则a·b=(a·b)2
C.若a∥b,则a在b上的投影的数量为|a|
D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),则a∥b
3.(2020河北邯郸高一检测)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则=(　　)
A.-16
B.-8
C.8
D.16
4.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满足),且||=1,则方向上的投影的数量为(　　)
A.
B.-
C.
D.-
5.已知|a|=4,e为单位向量,当a,e的夹角为时,a在e上的投影的数量为(　　)
A.2
B.-2
C.2
D.-2
6.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E为BC的中点,则=(　　)
A.
B.3
C.2
D.12
7.如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则=
(　　)
A.4
B.-4
C.8
D.-8
8.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a·b=4,则a与b的夹角为　　　　　.若向量c,d满足c为单位向量,c·d=4,=,则|d|=　　　　　.?
素养培优练
如图,在扇形AOB中,的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°.
(1)若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用表示向量;
(2)求的取值范围.
第八章向量的数量积与三角恒等变换
8.1　向量的数量积
8.1.1　向量数量积的概念
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是,则a·b为(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.3
B.
C.2
D.
解析设a与b的夹角为θ.∵|a|cos
θ=,
∴a·b=|a||b|cos
θ=3×.
答案B
2.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则等于(　　)
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
解析如图所示.因为|a|=|b|=|c|,
所以△OAB是等边三角形.
所以=120°.
答案B
3.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析设正六边形的边长为a,则
a2,=a2,
=0,=-a2.
答案A
4.在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则△ABC的形状为　　　　.?
解析=||||cos
A=16cos
A=8.
∴cos
A=,即A=,∴△ABC为等边三角形.
答案等边三角形
5.若四边形ABCD满足=0,且=0,试判断四边形ABCD的形状.
解因为=0,
所以,即AB∥DC,且AB=DC,
所以四边形ABCD为平行四边形.
又因为=0,所以,即AB⊥BC.
所以四边形ABCD为矩形.
6.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足=2,求·()的值.
解如图.∵=2,
∴||=2||.
又AM=3,
∴||=2,||=1.
又=2,∴·()=·(2)==-||2=-4.
能力提升练
1.有4个式子:①0a=0;②0a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|.
其中正确式子的个数为(　　)
A.4
B.3
C.2
D.1
解析因为向量乘以实数仍然为向量,
所以0a=0,式子①正确,②错误;
由=0,
所以0-,式子③正确;
由|a·b|=|a||b||cos
θ|,得|a·b|=|a||b|不一定成立,式子④错误.
故选C.
答案C
2.(多选)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是(　　)
A.若∈0,,则a·b>0
B.若a⊥b,则a·b=(a·b)2
C.若a∥b,则a在b上的投影的数量为|a|
D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),则a∥b
解析对于选项A,当=时,a·b=0,故A错误;
对于选项B,若a⊥b,所以a·b=0,
则a·b=(a·b)2,故B正确;
对于选项C,若a∥b,则a在b上的投影的数量为±|a|,故C错误;
对于选项D,若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),推出a=-b,由平行向量基本定理可知a∥b,故D正确.故选BD.
答案BD
3.(2020河北邯郸高一检测)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则=(　　)
A.-16
B.-8
C.8
D.16
解析设∠CAB=θ,则在Rt△ABC中,AB==||||cos
θ=×4cos
θ=16.
答案D
4.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满足),且||=1,则方向上的投影的数量为(　　)
A.
B.-
C.
D.-
解析由可知O为BC中点,
所以△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,
由||=1,||=2,可得∠ABC=60°,的夹角为60°.
因此上的投影的数量为||cos
60°=1×,故选A.
答案A
5.已知|a|=4,e为单位向量,当a,e的夹角为时,a在e上的投影的数量为(　　)
A.2
B.-2
C.2
D.-2
解析a在e上的投影的数量为|a|cos=4×cos=-2,故选B.
答案B
6.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E为BC的中点,则=(　　)
A.
B.3
C.2
D.12
解析由题意可知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=2,根据向量数量积的几何意义可得=12,故选D.
答案D
7.如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则=
(　　)
A.4
B.-4
C.8
D.-8
解析设AB的中点为M,连接OM,则OM⊥AB,
=2=2||||cos(π-∠OAB)=-2×2||cos∠OAB=-4||=-8.故选D.
答案D
8.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a·b=4,则a与b的夹角为　　　　　.若向量c,d满足c为单位向量,c·d=4,=,则|d|=　　　　　.?
解析设向量a与b的夹角为θ,
则cos
θ=,
又因为θ∈[0,π],所以θ=.
因为c为单位向量,所以|c|=1,由向量数量积公式得c·d=|c||d|cos,得4=1×|d|×cos,所以|d|=8.
答案　8
素养培优练
如图,在扇形AOB中,的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°.
(1)若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用表示向量;
(2)求的取值范围.
解(1)由已知可得
,易得四边形OAMB是菱形,则,
所以-()=-.
(2)易知∠DMC=60°,且||=||,那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时,MC最小,此时MC=,则×cos
60°=.
当MC与MO重合时,MC最大,此时MC=1,则=cos
60°=.
所以的取值范围为.