6.2.3平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点公式、向量平行的坐标表示 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word含答案解析）
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| 名称 | 6.2.3平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点公式、向量平行的坐标表示 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 283.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 12:52:04 | ||
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文档简介
第2课时 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点公式、向量平行的坐标表示
知识点一 两点之间的距离公式与中点坐标公式
1．在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的三边长．
2．已知在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
知识点二 向量共线的判断
3．判断下列向量是否平行：
(1)a＝(1,3)，b＝(2,4)；
(2)a＝(1,2)，b＝.
知识点三 向量共线的应用
4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
5．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4，－8)
B．(8,4)
C．(－4，－8)
D．(－4,8)
6．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
7．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
知识点四 三点共线问题
9．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．0
B．
1－
C．1＋
D．
10．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
11．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
知识点五 向量的坐标运算的应用
12．已知a＝(1,0)，b＝，c＝，xa＋yb＋zc＝(1,1)，求x2＋y2＋z2的最小值．
易错点一 忽略零向量致错
已知m∈R，且向量a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，则m＝________.
易错分析 本题容易忽略零向量与任一向量平行，认为m≠0，得到如下解析：
由a∥b，得＝，解得m＝5.故m的值是5.
事实上，当m＝0时，b为零向量，也与a平行．
易错点二 转换向量关系失误
平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．
易错分析 连接DC并延长至E，即E在DC的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．
一、单项选择题
1．已知A(2,3)，B(4,2)，C，D为线段AB的中点，则CD＝( )
A．
B．
C．2
D．
2．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为( )
A．6
B．－6
C．
D．－
3．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2)
B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2)
D．a＝(－4，－8)
4．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为( )
A．(－2,11)
B．
C．
D．(－2,12)
5．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝( )
A．
B．1
C．2
D．
6．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且＝－2，则点M的坐标为( )
A．(3,8)
B．(1,3)
C．(3,1)
D．(－3，－1)
7．已知向量a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，若实数x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A．24
B．
C．
D．8
8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多项选择题
9．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)可能平行的向量是( )
A．b＝(k，k)
B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1)
D．e＝(k2－1，k2－1)
10．若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )
A．1,2
B．2,2
C．3,4
D．2,4
11．已知向量＝(1，－3)，＝(－2,1)，＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为( )
A．－2
B．
C．1
D．－1
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，下列结论正确的是( )
A．若点P在x轴上，则t＝－
B．若点P在y轴上，则t＝－
C．若点P在第二象限，则－＜t＜－
D．存在t，使得四边形OABP为平行四边形
三、填空题
13．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a，b共线且方向相同．
14．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2＋3＋的坐标为________．
15．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值是________．
16．已知等边三角形ABC的边长为2，若＝(＋)，＝＋，则||＝________，||＝________.
四、解答题
17．已知点A(6,3)，O为坐标原点，点P在直线OA上，且＝，若P是线段OB的中点，求点B的坐标及PB的长．
18．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
19．已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
20．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
第2课时 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点公式、向量平行的坐标表示
知识点一 两点之间的距离公式与中点坐标公式
1．在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的三边长．
解 (1)①若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得＝0，＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．
②若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，－7)．
综上C点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
(2)当C点坐标为(－3，－5)时，
AB＝＝，
AC＝＝6，
BC＝＝.
当C点坐标为(2，－7)时，AB＝，
AC＝＝，
BC＝＝4.
2．已知在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
解 因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，
有＝(＋)＝(－3.5，－4)，
而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点．
故有＝＝－＝(1.75,2)．
知识点二 向量共线的判断
3．判断下列向量是否平行：
(1)a＝(1,3)，b＝(2,4)；
(2)a＝(1,2)，b＝.
解 解法一：(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，∴a与b不平行．
(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b.
解法二：(1)∵≠，∴a与b不平行．
(2)∵＝，∴a∥b.
知识点三 向量共线的应用
4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
答案 A
解析 a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.
5．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4，－8)
B．(8,4)
C．(－4，－8)
D．(－4,8)
答案 AD
解析 ∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或(－4，8)．故选AD.
6．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 由题意得，6(x2－2x)＝6a有解，即x2－2x－a＝0有解，∴Δ＝4－4(－a)·1＝4＋4a≥0，故a≥－1.
7．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
答案 或
解析 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
解 (1)u＝a＋2b＝(1,2)＋(2x,12)＝(1＋2x,14)，
v＝2a－b＝(2,4)－(x,6)＝(2－x，－2)．
由u∥v，故－2(1＋2x)＝14(2－x)，得x＝3.
(2)由a∥v可知，－2＝2(2－x)，
得x＝3.若a，v不共线，则x≠3.
知识点四 三点共线问题
9．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．0
B．
1－
C．1＋
D．
答案 C
解析 ＝(2，a2)－(1，－a)＝(1，a2＋a)，＝(3，a3)－(1，－a)＝(2，a3＋a)，又∥，故2(a2＋a)－1(a3＋a)＝0，得a3－2a2－a＝0，∵a＞0，∴a2－2a－1＝0，得a＝＝1±，又a＞0，得a＝1＋.
10．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
答案 10
解析 设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－(y－2)．∴y＝10.
11．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解 由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1)．
(1)若A，B，C三点共线，则∥，
即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，
故a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴即点C的坐标为(5，－3)．
知识点五 向量的坐标运算的应用
12．已知a＝(1,0)，b＝，c＝，xa＋yb＋zc＝(1,1)，求x2＋y2＋z2的最小值．
解 ∵xa＋yb＋zc＝(1,1)，
∴x(1,0)＋y＋z＝(1,1)，
∴
由×②＋①，得x－y＝1＋，
∴y＝x－. ③
将③代入②，得z＝－x＋.
∴x2＋y2＋z2＝x2＋2＋2
＝＝≥.
因此，当时，x2＋y2＋z2取得最小值.
易错点一 忽略零向量致错
已知m∈R，且向量a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，则m＝________.
易错分析 本题容易忽略零向量与任一向量平行，认为m≠0，得到如下解析：
由a∥b，得＝，解得m＝5.故m的值是5.
事实上，当m＝0时，b为零向量，也与a平行．
答案 0或5
正解 由a∥b，得3×(－m)－m×(2－m)＝0，即m2－5m＝0，解得m＝0或m＝5.
故m的值是0或5.
易错点二 转换向量关系失误
平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．
易错分析 连接DC并延长至E，即E在DC的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．
答案
正解 设坐标原点为O，
∵＝，∴－＝(－)．
∴＝2－＝(3，－6)．
∴点C的坐标为(3，－6)．
又||＝||，且E在DC的延长线上，
∴＝－.
设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得
解得
∴点E的坐标为.
一、单项选择题
1．已知A(2,3)，B(4,2)，C，D为线段AB的中点，则CD＝( )
A．
B．
C．2
D．
答案 C
解析 由题意，得D，
所以CD＝
＝2.故选C.
2．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为( )
A．6
B．－6
C．
D．－
答案 A
解析 ∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.
3．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2)
B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2)
D．a＝(－4，－8)
答案 D
解析 ＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，∴(－4，－8)满足条件．
4．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为( )
A．(－2,11)
B．
C．
D．(－2,12)
答案 A
解析 因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，
所以＝2，则－＝2(－)，
所以＝2－＝2(0,5)－(2，－1)，
即＝(－2,11)．
5．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝( )
A．
B．1
C．2
D．
答案 C
解析 取O(0,0)，由＝λ＋(1－λ)得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴解得
6．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且＝－2，则点M的坐标为( )
A．(3,8)
B．(1,3)
C．(3,1)
D．(－3，－1)
答案 C
解析 设M(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(2－x,3－y)，由＝－2，得
解得故点M的坐标为(3,1)．
7．已知向量a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，若实数x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A．24
B．
C．
D．8
答案 D
解析 ∵向量a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，∴3(1－y)＝2x，∴2x＋3y＝3，∴x＋y＝1，∴＋＝＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当x＝，y＝时取等号，故＋的最小值是8.
8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 如图，以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，E(1，1)．设P(x，x)，0≤x≤1，∴＝(2，－1)，＝(0,1)，＝(x，x)．∵＝λ＋μ，∴(x，x)＝(2λ，μ－λ)，∴∴∴λ＋μ＝2x≤2.故选B.
二、多项选择题
9．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)可能平行的向量是( )
A．b＝(k，k)
B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1)
D．e＝(k2－1，k2－1)
答案 ABD
解析 易知当k＝0时，b＝c＝0与a平行，A，B满足；若a∥d，则－(k2＋1)＝k2＋1，即k2＋1＝0，显然k不存在，故a不平行于d，C不满足；当k＝±1时，e＝0与a平行，D满足．故选ABD.
10．若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )
A．1,2
B．2,2
C．3,4
D．2,4
答案 BC
解析 ∵＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j，∴＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，又与共线，∴1×(4－y)＝2×(3－x)，∴2x－y－2＝0，综合选项可知，B，C正确．
11．已知向量＝(1，－3)，＝(－2,1)，＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为( )
A．－2
B．
C．1
D．－1
答案 ABD
解析 ∵向量＝(1，－3)，＝(－2,1)，＝(t＋3，t－8)，∴＝(－2,1)－(1，－3)＝(－3,4)，＝(t＋3，t－8)－(1，－3)＝(t＋2，t－5)，∵点A，B，C能构成三角形，∴≠λ，∴(－3,4)≠(λt＋2λ，λt－5λ)，得t≠1.结合选项，可知实数t可以为－2，，－1.故选ABD.
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，下列结论正确的是( )
A．若点P在x轴上，则t＝－
B．若点P在y轴上，则t＝－
C．若点P在第二象限，则－＜t＜－
D．存在t，使得四边形OABP为平行四边形
答案 ABC
解析 由已知得＝(1,2)，＝(4,5)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．对于A，若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－，A正确；对于B，若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－，B正确；对于C，若点P在第二象限，则有解得－三、填空题
13．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a，b共线且方向相同．
答案 2
解析 ∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b，
∴x·x－1×4＝0，即x2＝4，
∴x＝±2.
当x＝－2时，a与b方向相反，
当x＝2时，a与b共线且方向相同．
14．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2＋3＋的坐标为________．
答案 (3,4)
解析 根据题意建立平面直角坐标系如图，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0，1)．∴＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)．
∴2＋3＋＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．
15．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值是________．
答案
解析 ∵向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－m，－3－m)，
∴＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，
＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴3×(1－m)＝(2－m)×1，
解得m＝.
16．已知等边三角形ABC的边长为2，若＝(＋)，＝＋，则||＝________，||＝________.
答案
解析 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1，0)，C(0，)．因为＝(＋)，所以＝，故＝＋＝＋(－1，)＝，||＝，||＝.
四、解答题
17．已知点A(6,3)，O为坐标原点，点P在直线OA上，且＝，若P是线段OB的中点，求点B的坐标及PB的长．
解 设点P(x1，y1)，B(x，y)，
∵＝，
∴(x1，y1)＝(6－x1,3－y1)，
∴解得
∴点P的坐标为(2,1)．
∵点P是OB的中点，
∴2＝，1＝?x＝4，y＝2，
∴点B的坐标为(4,2)．
∴PB的长为＝.
18．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解 (1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴∴
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴点M的坐标为.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
19．已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
解 λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，
a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(8，－7)．
∵(λa－b)∥(a＋2b)，
∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝－.
∴－a－b＝＝，
即λa－b＝－(a＋2b)．
故当λ＝－时，λa－b与a＋2b平行，平行时它们反向．
20．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
解 如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0,6)．
由E为AB的中点，则E(3,0)，
由BF∶FC＝2∶1，
∴F(6,4)．
设P(x，y)，则＝(x，y)．
∵与共线，
∴4x＝6y即y＝x.①
∵＝(x－3，y)，＝(3,6)，
与共线，
∴3y＝6(x－3)，即y＝2(x－3)．②
由①②得x＝，y＝3，即P.
由S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△ABF－S△CPF，
＝6×6－×6×4－×2×＝.
∴四边形APCD的面积为.
知识点一 两点之间的距离公式与中点坐标公式
1．在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的三边长．
2．已知在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
知识点二 向量共线的判断
3．判断下列向量是否平行：
(1)a＝(1,3)，b＝(2,4)；
(2)a＝(1,2)，b＝.
知识点三 向量共线的应用
4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
5．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4，－8)
B．(8,4)
C．(－4，－8)
D．(－4,8)
6．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
7．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
知识点四 三点共线问题
9．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．0
B．
1－
C．1＋
D．
10．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
11．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
知识点五 向量的坐标运算的应用
12．已知a＝(1,0)，b＝，c＝，xa＋yb＋zc＝(1,1)，求x2＋y2＋z2的最小值．
易错点一 忽略零向量致错
已知m∈R，且向量a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，则m＝________.
易错分析 本题容易忽略零向量与任一向量平行，认为m≠0，得到如下解析：
由a∥b，得＝，解得m＝5.故m的值是5.
事实上，当m＝0时，b为零向量，也与a平行．
易错点二 转换向量关系失误
平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．
易错分析 连接DC并延长至E，即E在DC的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．
一、单项选择题
1．已知A(2,3)，B(4,2)，C，D为线段AB的中点，则CD＝( )
A．
B．
C．2
D．
2．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为( )
A．6
B．－6
C．
D．－
3．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2)
B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2)
D．a＝(－4，－8)
4．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为( )
A．(－2,11)
B．
C．
D．(－2,12)
5．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝( )
A．
B．1
C．2
D．
6．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且＝－2，则点M的坐标为( )
A．(3,8)
B．(1,3)
C．(3,1)
D．(－3，－1)
7．已知向量a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，若实数x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A．24
B．
C．
D．8
8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多项选择题
9．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)可能平行的向量是( )
A．b＝(k，k)
B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1)
D．e＝(k2－1，k2－1)
10．若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )
A．1,2
B．2,2
C．3,4
D．2,4
11．已知向量＝(1，－3)，＝(－2,1)，＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为( )
A．－2
B．
C．1
D．－1
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，下列结论正确的是( )
A．若点P在x轴上，则t＝－
B．若点P在y轴上，则t＝－
C．若点P在第二象限，则－＜t＜－
D．存在t，使得四边形OABP为平行四边形
三、填空题
13．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a，b共线且方向相同．
14．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2＋3＋的坐标为________．
15．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值是________．
16．已知等边三角形ABC的边长为2，若＝(＋)，＝＋，则||＝________，||＝________.
四、解答题
17．已知点A(6,3)，O为坐标原点，点P在直线OA上，且＝，若P是线段OB的中点，求点B的坐标及PB的长．
18．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
19．已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
20．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
第2课时 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点公式、向量平行的坐标表示
知识点一 两点之间的距离公式与中点坐标公式
1．在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的三边长．
解 (1)①若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得＝0，＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．
②若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，－7)．
综上C点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
(2)当C点坐标为(－3，－5)时，
AB＝＝，
AC＝＝6，
BC＝＝.
当C点坐标为(2，－7)时，AB＝，
AC＝＝，
BC＝＝4.
2．已知在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.
解 因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
所以＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．
又因为D是BC的中点，
有＝(＋)＝(－3.5，－4)，
而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点．
故有＝＝－＝(1.75,2)．
知识点二 向量共线的判断
3．判断下列向量是否平行：
(1)a＝(1,3)，b＝(2,4)；
(2)a＝(1,2)，b＝.
解 解法一：(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，∴a与b不平行．
(2)∵1×1－2×＝0，∴a∥b.
解法二：(1)∵≠，∴a与b不平行．
(2)∵＝，∴a∥b.
知识点三 向量共线的应用
4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
答案 A
解析 a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.
5．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4，－8)
B．(8,4)
C．(－4，－8)
D．(－4,8)
答案 AD
解析 ∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或(－4，8)．故选AD.
6．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 由题意得，6(x2－2x)＝6a有解，即x2－2x－a＝0有解，∴Δ＝4－4(－a)·1＝4＋4a≥0，故a≥－1.
7．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．
答案 或
解析 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
解 (1)u＝a＋2b＝(1,2)＋(2x,12)＝(1＋2x,14)，
v＝2a－b＝(2,4)－(x,6)＝(2－x，－2)．
由u∥v，故－2(1＋2x)＝14(2－x)，得x＝3.
(2)由a∥v可知，－2＝2(2－x)，
得x＝3.若a，v不共线，则x≠3.
知识点四 三点共线问题
9．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A．0
B．
1－
C．1＋
D．
答案 C
解析 ＝(2，a2)－(1，－a)＝(1，a2＋a)，＝(3，a3)－(1，－a)＝(2，a3＋a)，又∥，故2(a2＋a)－1(a3＋a)＝0，得a3－2a2－a＝0，∵a＞0，∴a2－2a－1＝0，得a＝＝1±，又a＞0，得a＝1＋.
10．已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
答案 10
解析 设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，＝－，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－(y－2)．∴y＝10.
11．已知＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解 由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1)．
(1)若A，B，C三点共线，则∥，
即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，
故a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴即点C的坐标为(5，－3)．
知识点五 向量的坐标运算的应用
12．已知a＝(1,0)，b＝，c＝，xa＋yb＋zc＝(1,1)，求x2＋y2＋z2的最小值．
解 ∵xa＋yb＋zc＝(1,1)，
∴x(1,0)＋y＋z＝(1,1)，
∴
由×②＋①，得x－y＝1＋，
∴y＝x－. ③
将③代入②，得z＝－x＋.
∴x2＋y2＋z2＝x2＋2＋2
＝＝≥.
因此，当时，x2＋y2＋z2取得最小值.
易错点一 忽略零向量致错
已知m∈R，且向量a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，则m＝________.
易错分析 本题容易忽略零向量与任一向量平行，认为m≠0，得到如下解析：
由a∥b，得＝，解得m＝5.故m的值是5.
事实上，当m＝0时，b为零向量，也与a平行．
答案 0或5
正解 由a∥b，得3×(－m)－m×(2－m)＝0，即m2－5m＝0，解得m＝0或m＝5.
故m的值是0或5.
易错点二 转换向量关系失误
平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．
易错分析 连接DC并延长至E，即E在DC的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．
答案
正解 设坐标原点为O，
∵＝，∴－＝(－)．
∴＝2－＝(3，－6)．
∴点C的坐标为(3，－6)．
又||＝||，且E在DC的延长线上，
∴＝－.
设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得
解得
∴点E的坐标为.
一、单项选择题
1．已知A(2,3)，B(4,2)，C，D为线段AB的中点，则CD＝( )
A．
B．
C．2
D．
答案 C
解析 由题意，得D，
所以CD＝
＝2.故选C.
2．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为( )
A．6
B．－6
C．
D．－
答案 A
解析 ∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.
3．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2)
B．a＝(9,3)
C．a＝(－1,2)
D．a＝(－4，－8)
答案 D
解析 ＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，∴(－4，－8)满足条件．
4．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为( )
A．(－2,11)
B．
C．
D．(－2,12)
答案 A
解析 因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，
所以＝2，则－＝2(－)，
所以＝2－＝2(0,5)－(2，－1)，
即＝(－2,11)．
5．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ)，λ∈R，则x＝( )
A．
B．1
C．2
D．
答案 C
解析 取O(0,0)，由＝λ＋(1－λ)得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴解得
6．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且＝－2，则点M的坐标为( )
A．(3,8)
B．(1,3)
C．(3,1)
D．(－3，－1)
答案 C
解析 设M(x，y)，则＝(x－1，y－5)，＝(2－x,3－y)，由＝－2，得
解得故点M的坐标为(3,1)．
7．已知向量a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，若实数x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A．24
B．
C．
D．8
答案 D
解析 ∵向量a＝(3,2)，b＝(x,1－y)且a∥b，∴3(1－y)＝2x，∴2x＋3y＝3，∴x＋y＝1，∴＋＝＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当x＝，y＝时取等号，故＋的最小值是8.
8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 如图，以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，E(1，1)．设P(x，x)，0≤x≤1，∴＝(2，－1)，＝(0,1)，＝(x，x)．∵＝λ＋μ，∴(x，x)＝(2λ，μ－λ)，∴∴∴λ＋μ＝2x≤2.故选B.
二、多项选择题
9．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)可能平行的向量是( )
A．b＝(k，k)
B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1)
D．e＝(k2－1，k2－1)
答案 ABD
解析 易知当k＝0时，b＝c＝0与a平行，A，B满足；若a∥d，则－(k2＋1)＝k2＋1，即k2＋1＝0，显然k不存在，故a不平行于d，C不满足；当k＝±1时，e＝0与a平行，D满足．故选ABD.
10．若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )
A．1,2
B．2,2
C．3,4
D．2,4
答案 BC
解析 ∵＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j，∴＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，又与共线，∴1×(4－y)＝2×(3－x)，∴2x－y－2＝0，综合选项可知，B，C正确．
11．已知向量＝(1，－3)，＝(－2,1)，＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为( )
A．－2
B．
C．1
D．－1
答案 ABD
解析 ∵向量＝(1，－3)，＝(－2,1)，＝(t＋3，t－8)，∴＝(－2,1)－(1，－3)＝(－3,4)，＝(t＋3，t－8)－(1，－3)＝(t＋2，t－5)，∵点A，B，C能构成三角形，∴≠λ，∴(－3,4)≠(λt＋2λ，λt－5λ)，得t≠1.结合选项，可知实数t可以为－2，，－1.故选ABD.
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，下列结论正确的是( )
A．若点P在x轴上，则t＝－
B．若点P在y轴上，则t＝－
C．若点P在第二象限，则－＜t＜－
D．存在t，使得四边形OABP为平行四边形
答案 ABC
解析 由已知得＝(1,2)，＝(4,5)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．对于A，若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－，A正确；对于B，若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－，B正确；对于C，若点P在第二象限，则有解得－
13．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a，b共线且方向相同．
答案 2
解析 ∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b，
∴x·x－1×4＝0，即x2＝4，
∴x＝±2.
当x＝－2时，a与b方向相反，
当x＝2时，a与b共线且方向相同．
14．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2＋3＋的坐标为________．
答案 (3,4)
解析 根据题意建立平面直角坐标系如图，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0，1)．∴＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)．
∴2＋3＋＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．
15．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值是________．
答案
解析 ∵向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－m，－3－m)，
∴＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，
＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴3×(1－m)＝(2－m)×1，
解得m＝.
16．已知等边三角形ABC的边长为2，若＝(＋)，＝＋，则||＝________，||＝________.
答案
解析 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1，0)，C(0，)．因为＝(＋)，所以＝，故＝＋＝＋(－1，)＝，||＝，||＝.
四、解答题
17．已知点A(6,3)，O为坐标原点，点P在直线OA上，且＝，若P是线段OB的中点，求点B的坐标及PB的长．
解 设点P(x1，y1)，B(x，y)，
∵＝，
∴(x1，y1)＝(6－x1,3－y1)，
∴解得
∴点P的坐标为(2,1)．
∵点P是OB的中点，
∴2＝，1＝?x＝4，y＝2，
∴点B的坐标为(4,2)．
∴PB的长为＝.
18．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解 (1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．
∴∴
∴B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴点M的坐标为.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
19．已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
解 λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，
a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(8，－7)．
∵(λa－b)∥(a＋2b)，
∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝－.
∴－a－b＝＝，
即λa－b＝－(a＋2b)．
故当λ＝－时，λa－b与a＋2b平行，平行时它们反向．
20．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
解 如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0,6)．
由E为AB的中点，则E(3,0)，
由BF∶FC＝2∶1，
∴F(6,4)．
设P(x，y)，则＝(x，y)．
∵与共线，
∴4x＝6y即y＝x.①
∵＝(x－3，y)，＝(3,6)，
与共线，
∴3y＝6(x－3)，即y＝2(x－3)．②
由①②得x＝，y＝3，即P.
由S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△ABF－S△CPF，
＝6×6－×6×4－×2×＝.
∴四边形APCD的面积为.