8.1.2　向量数量积的运算律-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册练习（Word含答案解析）

8.1.2　向量数量积的运算律
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.-
D.-
2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于(　　)
A.
B.
C.
D.4
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则=(　　)
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
4.(多选)已知向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,则|m-n|和m在n方向上的投影的数量分别等于
(　　)
A.4
B.2
C.1
D.
5.如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为　　　　　.?
6.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?
7.已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|.
能力提升练
1.(多选)设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中是真命题的有(　　)
A.(a·b)c-(c·a)b=0
B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
2.设O为△ABC的外心,OD⊥BC于点D,且||=,||=1,则·()的值是(　　)
A.1
B.2
C.
D.
3.
如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,,||=1,则等于(　　)
A.2
B.
C.
D.
4.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的最小值为(　　)
A.1
B.
C.
D.
5.已知△ABC中,AB=6,AC=4,O为△ABC所在平面内一点,满足||=||=||,则方向上的投影的数量为　　　　　.?
6.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠DAB=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=　　　　.?
7.已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)若a·b=,求向量a,b的夹角;
(2)在(1)的条件下,求|a-2b|的值.
8.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);
(2)求出函数k=f(t)的最小值.
素养培优练
如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以A为中点,问:的夹角取何值时,最大?并求出这个最大值.
8.1.2　向量数量积的运算律
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.-
D.-
解析由题意知,(m+kn)·(m-3n)=m2-3kn2=4-3k=0,解得k=.
答案A
2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于(　　)
A.
B.
C.
D.4
解析|a+3b|=.
答案C
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则=(　　)
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=0,
所以2|a||b|cos+|b|2=0.
所以cos=-=-=-,
又∈[0°,180°],所以=120°.
答案C
4.(多选)已知向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,则|m-n|和m在n方向上的投影的数量分别等于
(　　)
A.4
B.2
C.1
D.
解析∵|m-n|2=m2-2m·n+n2
=3-2××2×+4=1,
∴|m-n|=1.
m在n方向上的投影的数量为|m|cos.
答案CD
5.如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为　　　　　.?
解析设=a,=b,则=a-b,=a+b,而||=|a-b|==2,所以5-2a·b=4,所以a·b=,又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+1=6,
所以||=,即AC=.
答案
6.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?
解若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,
μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.
∵a+b+c=0,c=-a-b,
∴|c|2=|a+b|2=9+25+2a·b=49,∴a·b=.
∴9μ-2×25-2μ×=0.∴μ=-.
∴存在μ=-,使得μa+b与a-2b垂直.
7.已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|.
解(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,
∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∴a·b=-6,
∴cos
θ==-.
∵θ∈[0,π],∴θ=.
(2)|a+b|=.
能力提升练
1.(多选)设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中是真命题的有(　　)
A.(a·b)c-(c·a)b=0
B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
解析由b,c是平面内任意向量知选项A错误;
由三角形的三边关系得选项B正确;
由[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得选项C错误;选项D显然正确.
答案BD
2.设O为△ABC的外心,OD⊥BC于点D,且||=,||=1,则·()的值是(　　)
A.1
B.2
C.
D.
解析由O是△ABC的外心及OD⊥BC可知D为边BC的中点,易知),
所以·()=)·()=(||2-||2)=1.
答案A
3.
如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,,||=1,则等于(　　)
A.2
B.
C.
D.
解析(方法一)基底法
∵,
∴)++(1-.
又∵AD⊥AB,||=1,
∴+(1-.
(方法二)定义法
设BD=a,则BC=a,如图所示,作CE⊥BA,交BA的延长线于点E,易知∠DAC=∠ACE,在△BAD与△BEC中,∠B=∠B,∠DAB=∠CEB=90°,
∴△BAD∽△BEC,∴,
∴CE=,∴cos∠DAC=cos∠ACE=.
∴=||||cos∠DAC=.故选D.
答案D
4.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的最小值为(　　)
A.1
B.
C.
D.
解析因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60°.又|a-c|=,
故当|c|=时,|a-c|的最小值为.
答案D
5.已知△ABC中,AB=6,AC=4,O为△ABC所在平面内一点,满足||=||=||,则方向上的投影的数量为　　　　　.?
解析∵||=||=||,
∴点O为△ABC的外心,
设∠OAB=θ,可得∠OBA=θ,
∴方向上的投影的数量为||cos
θ,方向上的投影的数量为||cos
θ.
由题意可知||cos
θ+||cos
θ=||=6.
又∵||=||=||,∴||cos
θ=3,
即方向上的投影的数量为3.
答案3
6.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠DAB=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=　　　　.?
解析∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.
∵EA=EB,
∴∠EAB=30°.
∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,
=()·()
=-
=-12+2×2×cos
30°+5×2×cos
30°+5×2×cos
180°=-12+6+15-10=-1.
答案-1
7.已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)若a·b=,求向量a,b的夹角;
(2)在(1)的条件下,求|a-2b|的值.
解(1)∵(a-b)·(a+b)=,
∴a2-b2=|a|2-|b|2=.
又∵|a|=1,∴|b|=,cos=,
∵∈[0,π],故向量a,b的夹角为.
(2)|a-2b|==1.
8.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);
(2)求出函数k=f(t)的最小值.
解(1)因为a⊥b,所以a·b=0.
又x⊥y,所以x·y=0,
即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,
所以-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+t2-3t=0,
所以k=(t2-3t)(t≠0),
即k=f(t)=(t2-3t)(t≠0).
(2)由(1),知k=f(t)=(t2-3t)
=,
所以函数k=f(t)的最小值为-.
素养培优练
如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以A为中点,问:的夹角取何值时,最大?并求出这个最大值.
解设的夹角为θ,
则=()·()
=
=-a2-=-a2-·()
=-a2+=-a2+a2cos
θ.
故当cos
θ=1,即θ=0°(方向相同)时,最大,其最大值为0.