6.3平面向量线性运算的应用 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word含答案解析）

6.3　平面向量线性运算的应用
知识点一　平面向量在几何证明中的应用
1．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　)
A．梯形
B．邻边不相等的平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
2．已知平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
3．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
4.
如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
知识点二　平面向量在几何求值中的应用
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A．
B．
C．(3,2)
D．(1,3)
6．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是________．
7．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且＝2，BE交AD于点G，求及的值．
8．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB.
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
知识点三　平面向量在物理中的应用
9．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　)
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
10．甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂线分别成30°和60°的角时，甲和乙的手上所承受的力的比是(　　)
A．1∶
B.∶1
C．1∶
D.∶1
11．一航船用5
km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．
12．如图，一条河的两岸互相平行，河的宽度d＝1000
m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度为|v1|＝5
km/h，水流速度|v2|＝3
km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少分钟？
13.
如图所示，把一个物体放在倾角为45°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|＝60
N，求G，F2的大小．
易错点　在渡河问题中忽略水流速度
在长江南岸某渡口处，江水以12.5
km/h的速度向东流，渡船的速度为25
km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
易错分析　本题若忽略了水流速度，就会得到如下错解：渡船要垂直地渡过长江，其航向应垂直于岸边．
一、单项选择题
1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．长方形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
2．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.如果＝3e1，＝3e2，那么
等于(　　)
A．e1＋2e2
B．2e1＋e2
C.e1＋e2
D.e1＋e2
3．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10
N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)
A．5
N
B．5
N
C．10
N
D．5
N
4．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为(　　)
A．(5,10)
B．(－5,10)
C．(10,5)
D．(10，－5)
5．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(　　)
A．(9,1)
B．(1,9)
C．(9,0)
D．(0,9)
6．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　)
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
7．河水的流速为5
m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12
m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　)
A．13
m/s
B．12
m/s
C．17
m/s
D．15
m/s
8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是(　　)
A.
B.＋1
C.
D.＋1
二、多项选择题
9．△ABC是边长2的等边三角形，已知向量a，b，满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝2
B．|a|＝1
C．a∥b
D．(4a＋b)∥
10．已知△ABC所在平面内的一点P满足＋2＋＝0则下列结论正确的是(　　)
A．S△PAB∶S△PAC＝1∶2
B．S△PAB∶S△PBC＝1∶1
C．S△PAC∶S△ABC＝1∶2
D．S△PAC∶S△PBC＝1∶2
11．在水流速度为4
km/h的河水中，一艘船以12
km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中正确的是(　　)
A．这艘船航行速度的大小为12
km/h
B．这艘船航行速度的大小为8
km/h
C．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为150°
D．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为120°
12．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是(　　)
A．C不可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
三、填空题
13．在直角三角形ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________.
14．如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成θ角，在杆上分别套一小环P，Q(小环重力不计)，并用轻线相连．现用恒力F沿方向拉小环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为________．
15.
如图所示，两根绳子把重1
kg的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，则点A和点B处的绳子所受力的大小分别为________，________(绳子的重量忽略不计，g＝10
N/kg)．
16．如图，已知△ABC的面积为14
cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE，CD交于点P，则△APC的面积为________cm2.
四、解答题
17．如图△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，求m＋n的值．
18．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
19．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
20．如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点．若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
6.3　平面向量线性运算的应用
知识点一　平面向量在几何证明中的应用
1．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　)
A．梯形
B．邻边不相等的平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
答案　B
解析　因为＝(－4,3)，＝(－4,3)，＝(8,0)，所以＝，即AB，DC平行且相等．所以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．又因为||＝＝5，||＝8，||≠||，所以A，B，C，D为顶点的四边形是邻边不相等的平行四边形．故选B.
2．已知平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明　由已知可设＝＝a，＝＝b，则＝－＝b－a，＝－＝－a－＝b－a，所以＝，因此EH∥FG且EH＝FG，所以四边形EFGH是平行四边形．
3．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
证明　如图，作直径BD，连接DA，DC，则＝－，DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.
∴CH∥DA，AH∥DC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴＝.又＝－＝＋，∴＝＋＝＋＝＋＋.
4.
如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明　以E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．
令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1，1)，A(－1,0)．
(1)∵E＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M，
∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.
∵＝－，∴M∥M.
又与有公共点M，∴D，M，B三点共线．
知识点二　平面向量在几何求值中的应用
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A．
B．
C．(3,2)
D．(1,3)
答案　A
解析　设D(x，y)，则＝(4,3)，＝(x，y－2)，由＝2得∴∴顶点D的坐标为.
6．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是________．
答案　
解析　BC的中点为D，＝，
∴||＝.
7．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且＝2，BE交AD于点G，求及的值．
解　设＝λ，＝μ.
∵AD为BC边上的中线，∴＝(＋)．
又＝λ＝λ(－)，
∴＝＝＋.
又＝μ，即－＝μ(－)，
∴(1＋μ)＝＋μ，＝＋.
又＝，∴＝＋.
∵，不共线，
∴解得
∴＝4，＝.
8．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB.
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
解　(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．因为D为AB的中点，所以D，
所以||＝
，||＝，
所以||＝||，即CD＝AB.
(2)因为E为CD的中点，所以E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
因为A，E，F三点共线，所以＝λ.
即(x，－m)＝λ.则
故λ＝，即x＝，所以F，
所以||＝
，即AF＝
.
知识点三　平面向量在物理中的应用
9．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　)
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
答案　D
解析　F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．
10．甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂线分别成30°和60°的角时，甲和乙的手上所承受的力的比是(　　)
A．1∶
B.∶1
C．1∶
D.∶1
答案　D
解析　由物理知识得，|F甲|sin30°＝|F乙|sin60°，
∴|F甲|∶|F乙|＝∶1，故选D.
11．一航船用5
km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．
解　如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示船实际速度，∠AOC＝30°，||＝5
km/h.
∵四边形OACB为矩形，||＝＝＝5≈8.66
km/h.
||＝＝10
km/h.
∴水流速度为8.66
km/h，船实际速度为10
km/h.
12．如图，一条河的两岸互相平行，河的宽度d＝1000
m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度为|v1|＝5
km/h，水流速度|v2|＝3
km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少分钟？
解　小船行驶航程最短时，合速度的方向垂直于河岸，小船的实际航行速度|v|＝＝4
km/h，所以航行时间t＝＝×60＝15
min.
所以行驶航程最短时，所用的时间是15
min.
13.
如图所示，把一个物体放在倾角为45°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|＝60
N，求G，F2的大小．
解　建立如图所示的平面直角坐标系，则F1＝(－60,0)，F2＝(0，－|F2|)，
G＝(|G|sin45°，|G|cos45°)
＝.
因为G＋F1＋F2＝0，所以
(|G|sin45°，|G|cos45°)＋(－60,0)＋(0，－|F2|)＝(0,0)．
所以|G|sin45°－60＝0，|G|cos45°－|F2|＝0.
所以|G|＝60
N，|F2|＝60
N.
易错点　在渡河问题中忽略水流速度
在长江南岸某渡口处，江水以12.5
km/h的速度向东流，渡船的速度为25
km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
易错分析　本题若忽略了水流速度，就会得到如下错解：渡船要垂直地渡过长江，其航向应垂直于岸边．
正解　如图所示，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
||＝||＝12.5，||＝25，
所以∠CAD＝30°，
即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
一、单项选择题
1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．长方形
B．平行四边形
C．菱形
D．梯形
答案　D
解析　∵＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，∴＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝2(－4a－b)＝2，∴AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形，故选D.
2．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.如果＝3e1，＝3e2，那么
等于(　　)
A．e1＋2e2
B．2e1＋e2
C.e1＋e2
D.e1＋e2
答案　A
解析　如图所示，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝e1＋2e2，应选A.
3．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10
N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)
A．5
N
B．5
N
C．10
N
D．5
N
答案　B
解析　由题意可知，|F1|＝|F|cos60°＝5
N.
4．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为(　　)
A．(5,10)
B．(－5,10)
C．(10,5)
D．(10，－5)
答案　D
解析　设P(x，y)，则
∴P(10，－5)．
5．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(　　)
A．(9,1)
B．(1,9)
C．(9,0)
D．(0,9)
答案　A
解析　f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设O为坐标原点，合力f的终点为P(x，y)，则＝＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．故选A.
6．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　)
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
答案　D
解析　根据题意得＝(＋)，又＝＋，＝，所以＝＝＋.故选D.
7．河水的流速为5
m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12
m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　)
A．13
m/s
B．12
m/s
C．17
m/s
D．15
m/s
答案　A
解析　设小船的静水速度为v1，河水的流速为v2，静水速度与河水速度的合速度为v，∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，∴静水速度|v1|＝＝＝13
m/s.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是(　　)
A.
B.＋1
C.
D.＋1
答案　D
解析　由题意，知＝(1,0)，＝(0,1)．设C(x，y)，
则＝(x，y)．∵＝λ＋μ，
∴(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)．∴
又∠AOC＝，OC＝2，∴λ＝x＝2cos＝，μ＝y＝2sin＝1，∴λ＋μ＝＋1.
二、多项选择题
9．△ABC是边长2的等边三角形，已知向量a，b，满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A．|b|＝2
B．|a|＝1
C．a∥b
D．(4a＋b)∥
答案　AB
解析　如图，因为＝－＝(2a＋b)－2a＝b，所以|b|＝2，故A正确；因为|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故B正确；因为＝2a，＝b，与不共线，所以a与b不共线，故C错误；设BC的中点为D，连接AD，则＋＝2，即2＝4a＋b，显然2与不共线，故4a＋b与不共线，故D错误．故选AB.
10．已知△ABC所在平面内的一点P满足＋2＋＝0则下列结论正确的是(　　)
A．S△PAB∶S△PAC＝1∶2
B．S△PAB∶S△PBC＝1∶1
C．S△PAC∶S△ABC＝1∶2
D．S△PAC∶S△PBC＝1∶2
答案　ABC
解析　延长PB至D，使得＝2，于是有＋＋＝0，即点P是△ADC的重心，依据三角形的性质，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC.由B是PD的中点，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1∶2∶1.故选ABC.
11．在水流速度为4
km/h的河水中，一艘船以12
km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中正确的是(　　)
A．这艘船航行速度的大小为12
km/h
B．这艘船航行速度的大小为8
km/h
C．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为150°
D．这艘船航行的方向与水流方向的夹角为120°
答案　BD
解析　如图所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸行驶的速度，以为一边，为一对角线作?ABCD，则就是船的航行速度．
∵||＝4，||＝12，∴||＝||＝8，tan∠ACB＝＝，∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.即这艘船航行速度的大小为8
km/h，方向与水流方向的夹角为120°.故选BD.
12．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是(　　)
A．C不可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
答案　AD
解析　若点C，D调和分割点A，B，则＝λ，AD＝μ，且＋＝2.若C是线段AB的中点，则＝，此时λ＝，又＋＝2，所以＝0，不可能成立，因此A正确；同理可得，D不可能是线段AB的中点，故B不正确；若C，D同时在线段AB上，由＝λ，＝μ，知0<λ<1,0<μ<1，此时＋>2，与＋＝2矛盾，因此C不正确；同理可得，C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D正确．故选AD.
三、填空题
13．在直角三角形ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________.
答案　1
解析　如图，设BC边的中点为D，连接AD，则(＋)＝，＝＋(＋)?＝＋?－＝?＝，因此||＝||＝1.
14．如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成θ角，在杆上分别套一小环P，Q(小环重力不计)，并用轻线相连．现用恒力F沿方向拉小环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为________．
答案　
解析　设小环Q受轻线的拉力为T，对其受力分析，可得在水平方向上有Tsinθ＝F，故|T|＝.
15.
如图所示，两根绳子把重1
kg的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，则点A和点B处的绳子所受力的大小分别为________，________(绳子的重量忽略不计，g＝10
N/kg)．
答案　5
N　5
N
解析　设A，B处绳子所受的力分别为f1，f2，物体的重力用f表示，则|f|＝10，f1＋f2＝f.如图，以点C为f1，f2，f的始点，作＝f1，＝f2，＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴||＝||·cos30°＝10×＝5.||＝||cos60°＝10×＝5.∴点A处绳子所受力的大小为5
N，点B处绳子所受力的大小为5
N.
16．如图，已知△ABC的面积为14
cm2，D，E分别为边AB，BC上的点，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE，CD交于点P，则△APC的面积为________cm2.
答案　4
解析　设＝a，＝b，以{a，b}为一组基底，则＝a＋b，＝a＋b.∵点A，P，E三点共线，点D，P，C三点共线，∴存在实数λ和μ，使＝λ＝λa＋λb，＝μ＝μa＋μb.又＝＋＝a＋μb，∴解得
∴S△PAB＝S△ABC＝×14＝8
cm2，S△PBC＝14×＝2
cm2，∴S△APC＝14－8－2＝4
cm2.
四、解答题
17．如图△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，求m＋n的值．
解　如图，连接AO，
∵＝(＋)
＝(m＋n)
＝＋，
∴＝－＝－－
＝－.
＝－，又与共线．
存在实数λ，使＝λ，
即－＝λ－λ，
∴
∴1－(m＋n)＝0.∴m＋n＝2.
18．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
解　由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，
即a＋b＋c＝0.
所以a＋c＝－b.
如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．
因为＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理，∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，
所以△ABC为等边三角形．
19．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.
证明　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜)，
则A(0,1)，P，E，F，
∴＝，＝，
∴||＝
＝
，
||＝
＝
，
∴||＝||，∴PA＝EF.
20．如图，在△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点．若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？
解　设＝a，＝b，
则＝xa，＝yb，
＝＝(＋)＝(a＋b)．
所以＝－＝(a＋b)－xa
＝a＋b，
＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.
因为与共线，且a，b不共线，
所以有y＝(－x)，
即x＋y＝xy，
得＋＝4，
所以＋为定值.