8.2.3　倍角公式-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册练习（Word含答案解析）

8.2.3　倍角公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.计算:=(　　)　
　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.2
2.已知sin
2α=,α∈,则cos
α-sin
α=
(　　)
A.-
B.
C.
D.-
3.已知a=(sin
17°+cos
17°),b=2cos213°-1,c=,则(　　)
A.cB.bC.aD.b4.(多选)若函数f(x)=(1+tan
x)cos
x,则f(x)的
(　　)
A.周期为π
B.最大值是2
C.周期为2π
D.最大值是1
5.若tan
α=,则cos
=　　　　　.?
6.已知α为锐角,且sin
α=.
(1)求的值;
(2)求tan的值.
能力提升练
1.计算:的结果为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.-1
D.-2
2.在△ABC中,若sin
Bsin
C=cos2,则△ABC是
(　　)
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
3.等于(　　)
A.
B.
C.2
D.
4.(多选)已知sin(π-θ)=,则sin
2θ,cos
2θ分别是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.若sin,则cos=　　　　　.?
6.已知sin
α+cos
α=,α∈(0,π),求sin
2α,cos
2α,tan
2α的值.
素养培优练
1.已知向量m=(sin
x,-1),向量n=cos
x,-,函数f(x)=(m+n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值,求锐角A.
2.已知函数f(x)=2cos
xsinsin2x+sin
xcos
x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求方程f(x)=2在x∈[0,2
019]上解的个数.
8.2.3　倍角公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.计算:=(　　)　
　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.2
解析.故选A.
答案A
2.已知sin
2α=,α∈,则cos
α-sin
α=
(　　)
A.-
B.
C.
D.-
解析因为α∈,所以sin
α>cos
α,
即cos
α-sin
α<0,因为sin
2α=,所以cos
α-sin
α=-=-
=-=-.
答案A
3.已知a=(sin
17°+cos
17°),b=2cos213°-1,c=,则(　　)
A.cB.bC.aD.b解析a=(sin
17°+cos
17°)=sin
17°cos
45°+cos
17°sin
45°=sin
62°,b=2cos213°-1=cos
26°=sin
64°,c==sin
60°,所以c答案A
4.(多选)若函数f(x)=(1+tan
x)cos
x,则f(x)的
(　　)
A.周期为π
B.最大值是2
C.周期为2π
D.最大值是1
解析f(x)=(1+tan
x)cos
x=1+·cos
x=sin
x+cos
x=2sin
x+,所以f(x)的周期为2π.当x+=2kπ+,k∈Z时,f(x)取到最大值2.
答案BC
5.若tan
α=,则cos
=　　　　　.?
解析cos=-sin
2α=-
=-=-=-.
答案-
6.已知α为锐角,且sin
α=.
(1)求的值;
(2)求tan的值.
解(1)因为α为锐角,且sin
α=,
所以cos
α=.
所以
==20.
(2)由(1)得tan
α=,所以tan.
能力提升练
1.计算:的结果为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1
B.2
C.-1
D.-2
解析
=
=
=2=2,故选B.
答案B
2.在△ABC中,若sin
Bsin
C=cos2,则△ABC是
(　　)
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
解析由sin
Bsin
C=cos2,
得sin
Bsin
C=,所以2sin
Bsin
C=1+cos
A.
所以2sin
Bsin
C=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C),
所以2sin
Bsin
C=1-cos
Bcos
C+sin
Bsin
C,
所以cos
Bcos
C+sin
Bsin
C=1,
所以cos(B-C)=1,
又因为-180°所以B=C,所以△ABC是等腰三角形.
答案B
3.等于(　　)
A.
B.
C.2
D.
解析原式==2.
答案C
4.(多选)已知sin(π-θ)=,则sin
2θ,cos
2θ分别是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析因为sin(π-θ)=,
所以sin
θ=,cos
θ=,从而sin
2θ=2×,cos
2θ=1-2sin2θ=,故选CD.
答案CD
5.若sin,则cos=　　　　　.?
解析观察发现+2α=2,
而,
则cos=sin,
所以cos=2cos2-1
=2sin2-1=-.
答案-
6.已知sin
α+cos
α=,α∈(0,π),求sin
2α,cos
2α,tan
2α的值.
解∵sin
α+cos
α=,∴(sin
α+cos
α)2=,
即1+2sin
αcos
α=,
则sin
2α=2sin
αcos
α=-.
又0<α<π,∴<α<π,sin
α>0,cos
α<0.
又(sin
α-cos
α)2=1-sin
2α=,
∴cos
α-sin
α=-,
cos
2α=(cos
α-sin
α)(cos
α+sin
α)=-.
∴tan
2α=.
素养培优练
1.已知向量m=(sin
x,-1),向量n=cos
x,-,函数f(x)=(m+n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值,求锐角A.
解(1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+sin
xcos
x+sin
2x+
=sin
2x-cos
2x+2=sin+2,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知f(x)=sin+2.
当x∈时,-≤2x-.
由正弦函数的图像可知,当2x-时,f(x)取得最大值3,即f(A)=3,此时2A-,
所以A=.
2.已知函数f(x)=2cos
xsinsin2x+sin
xcos
x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求方程f(x)=2在x∈[0,2
019]上解的个数.
解(1)因为f(x)=2cos
xsin
x+cos
x-sin
2x,所以f(x)=sin
2x+,
所以f(x)=sin
2x+cos
2x=2sin,
因此该函数的最小正周期为π.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
则-π+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为-π+kπ,π+kπ,k∈Z.
(2)由题意得sin=1,
所以2x+=2kπ+,k∈Z,x=kπ+,k∈Z,
因为x∈[0,2
019],
当k=0时,x=,当k=1时,x=π,…,
当k=642时,x=642π+≈2
016,
当k=643时,x>2
019.所以方程f(x)=2在x∈[0,2
019]上解的个数为643.