8.2.1　两角和与差的余弦-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册练习（Word含答案解析）

8.2　三角恒等变换
8.2.1　两角和与差的余弦
课后篇巩固提升
基础达标练
1.cos
70°cos
335°+sin
110°sin
25°的值为(　　)　　　　
A.1
B.
C.
D.
2.化简sincos-sin·sin的结果为(　　)
A.cos
B.-cos
C.sin
D.-sin
3.(多选)已知cos
α=,则cos可以取的值为
(　　)
A.
B.-
C.
D.-
4.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos
A,sin
A),b=(cos
B,sin
B),且a·b=1,则△ABC一定是
(　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
5.已知α为三角形的内角且cos
α+sin
α=,则α=　　　　　.?
6.已知sin(α-45°)=-,0°<α<90°,则cos
α=　　　　　.?
7.已知向量a=(sin
α,cos
α-sin
α),b=(cos
β-sin
β,cos
β),且a·b=2.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若0<α<,0<β<,且sin
α=,求2α+β的值.
能力提升练
1.已知cos
α=,α∈(-π,0),则cosα-=(　　)
A.-
B.-
C.
D.
2.(多选)若α,β均为第二象限角,满足sin
α=,cos
β=-,则cos(α+β)和cos(α-β)的值分别为(　　)
A.-
B.-
C.
D.
3.已知锐角α,β满足cos
α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为(　　)
A.
B.-
C.
D.-
4.已知α,β均为锐角,且满足sin
α=,cos
β=,则cos(α-β)=　　　　　,cos
2β=　　　　　.?
5.已知cosα--sin
α=,则cosα+的值是　　　　　.?
6.若a=(cos
α,sin
β),b=(cos
β,sin
α),0<β<α<,且a·b=,则α-β=　　　　　.?
7.已知a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,-sin
β),α,β均为锐角,且|a-b|=.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若sin
α=,求cos
β的值.
素养培优练
　已知函数f(x)=Asinx+(x∈R),且f(0)=1.
(1)求A的值;
(2)若f(α)=-,α是第二象限角,求cos
α.
8.2　三角恒等变换
8.2.1　两角和与差的余弦
课后篇巩固提升
基础达标练
1.cos
70°cos
335°+sin
110°sin
25°的值为(　　)　　　　
A.1
B.
C.
D.
解析原式=cos
70°cos
25°+sin
70°sin
25°=cos(70°-25°)=cos
45°=.
答案B
2.化简sincos-sin·sin的结果为(　　)
A.cos
B.-cos
C.sin
D.-sin
解析原式=coscos-sin+3xsin=cos+3x+-3x=cos=-cos.
答案B
3.(多选)已知cos
α=,则cos可以取的值为
(　　)
A.
B.-
C.
D.-
解析因为cos
α=,则sin
α=±=±,当sin
α=时,cos(cos
α+sin
α)=,当sin
α=-时,cos(cos
α+sin
α)=-.
答案AB
4.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos
A,sin
A),b=(cos
B,sin
B),且a·b=1,则△ABC一定是
(　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析因为a·b=cos
Acos
B+sin
Asin
B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.
答案B
5.已知α为三角形的内角且cos
α+sin
α=,则α=　　　　　.?
解析因为cos
α+sin
α=coscos
α+sinsin
α=cos,因为0<α<π,
所以-<α-,所以α-,α=.
答案π
6.已知sin(α-45°)=-,0°<α<90°,则cos
α=　　　　　.?
解析因为0°<α<90°,所以-45°<α-45°<45°,
所以cos(α-45°)=,
所以cos
α=cos[(α-45°)+45°]
=cos(α-45°)cos
45°-sin(α-45°)sin
45°=.
答案
7.已知向量a=(sin
α,cos
α-sin
α),b=(cos
β-sin
β,cos
β),且a·b=2.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若0<α<,0<β<,且sin
α=,求2α+β的值.
解(1)因为a=(sin
α,cos
α-sin
α),b=(cos
β-sin
β,cos
β),
所以a·b=sin
α(cos
β-sin
β)+(cos
α-sin
α)cos
β=cos
αcos
β-sin
αsin
β=cos(α+β).
因为a·b=2,所以cos(α+β)=2,
即cos(α+β)=.
(2)因为0<α<,sin
α=,
所以cos
α=.
因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π.
因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,
所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cos
αcos(α+β)-sin
αsin(α+β)=.因为0<α<,0<β<,
所以0<2α+β<,所以2α+β=.
能力提升练
1.已知cos
α=,α∈(-π,0),则cosα-=(　　)
A.-
B.-
C.
D.
解析∵cos
α=,α∈(-π,0),
∴sin
α=-=-,
∴cosα-=cos
αcos+sin
αsin+-×=-.故选A.
答案A
2.(多选)若α,β均为第二象限角,满足sin
α=,cos
β=-,则cos(α+β)和cos(α-β)的值分别为(　　)
A.-
B.-
C.
D.
解析∵sin
α=,cos
β=-,α,β均为第二象限角,
∴cos
α=-=-,
sin
β=,
∴cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β=-×=-,cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β=,故选BD.
答案BD
3.已知锐角α,β满足cos
α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为(　　)
A.
B.-
C.
D.-
解析因为α,β为锐角,cos
α=,cos(α+β)=-,
所以sin
α=,sin(α+β)=,
所以cos(2π-β)=cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=-.
答案A
4.已知α,β均为锐角,且满足sin
α=,cos
β=,则cos(α-β)=　　　　　,cos
2β=　　　　　.?
解析因为α,β均为锐角,且sin
α=,cos
β=,所以cos
α=,sin
β=.因为sin
α>sin
β,所以α>β,
因此cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β=,sin(α-β)=,
cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β=,sin(α+β)=,
cos
2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α-β)cos(α+β)+sin(α-β)sin(α+β)=.
答案
5.已知cosα--sin
α=,则cosα+的值是　　　　　.?
解析由于cosα--sin
α=,
整理得cos
α+sin
α-sin
α=,
即cos
α-sin
α=,则cosα+=,
可得cosα+=-cosα+=-.
答案-
6.若a=(cos
α,sin
β),b=(cos
β,sin
α),0<β<α<,且a·b=,则α-β=　　　　　.?
解析a·b=cos
αcos
β+sin
βsin
α=cos(α-β)=.因为0<β<α<,所以0<α-β<,
所以α-β=.
答案
7.已知a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,-sin
β),α,β均为锐角,且|a-b|=.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若sin
α=,求cos
β的值.
解(1)由题意得|a|=1,|b|=1,
则|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2(cos
αcos
β-sin
αsin
β)=2-2cos(α+β)=,
解得cos(α+β)=.
(2)∵α,β∈,∴α+β∈(0,π),
由sin
α=,cos(α+β)=可得cos
α=,sin(α+β)=,故cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=.
素养培优练
　已知函数f(x)=Asinx+(x∈R),且f(0)=1.
(1)求A的值;
(2)若f(α)=-,α是第二象限角,求cos
α.
解(1)依题意得f(0)=AsinA=1,故A=.
(2)由(1)得f(x)=sinx+,
由f(α)=-可得f(α)=sinα+=-,
则sinα+=-,∵α是第二象限角,
∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z),
∴2kπ+<α+<2kπ+(k∈Z),
又∵sinα+=-<0,
∴α+是第三象限角,
∴cosα+=-=-,
∴cos
α=cos
=cosα+cos+sinα+sin
=-=-.