8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 73.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 12:55:45 | ||
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文档简介
8.1.3 向量数量积的坐标运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是( )
A.|a|=|b|
B.a·b=
C.a∥b
D.a-b与b垂直
2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则=( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
3.已知向量a,b的夹角为,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=( )
A.2
B.3
C.
D.
4.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k等于( )
A.-
B.0
C.3
D.
5.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x= ;|a+b|= .?
6.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 .?
7.已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,1),求(b·c)a.
8.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1),
(1)若a∥b,求x;
(2)若a⊥(a-2b),求a与b所成夹角的余弦值.
能力提升练
1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
2.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是( )
A.(-3,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(4,0)
3.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量的模为 .?
4.已知向量m=(λ+2,1),n=(λ+1,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为 ,m+n在n方向上的投影的数量为 .?
5.在△ABC中,已知=(1,2),=(4,m),m>0.
(1)若∠ABC=90°,求m的值;
(2)若||=3,且=2,求cos∠ADC的值.
素养培优练
1.已知向量a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.
2.已知向量a=(1,),b=(-2,0).
(1)求a-b的坐标以及a-b与a的夹角;
(2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.
8.1.3 向量数量积的坐标运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是( )
A.|a|=|b|
B.a·b=
C.a∥b
D.a-b与b垂直
解析因为|a|=1,|b|=,
所以|a|≠|b|.
又a·b=1×+0×;
易知a与b不共线,所以A,B,C均不正确.
因为a-b=,且(a-b)·b==0,所以(a-b)⊥b.
答案ABC
2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则=( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析设c=(x,y),
则由(a+b)·c=,得x+2y=-.
又cos==-,
因为0°≤≤180°,则=120°.
答案C
3.已知向量a,b的夹角为,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=( )
A.2
B.3
C.
D.
解析∵|a|=,
a·b=|a||b|cos=0,
∴|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=()2+4×22=21,∴|a+2b|=.
答案C
4.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k等于( )
A.-
B.0
C.3
D.
解析因为a=(k,3),b=(1,4),
所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).
因为(2a-3b)⊥c,
所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.
答案C
5.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x= ;|a+b|= .?
解析∵a·b=2,∴x=2.
∵a+b=(3,1),∴|a+b|=.
答案2
6.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 .?
解析由题得λa+b=λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),则(λa+b)·(a-2b)=3λ+1+4λ=7λ+1=0,∴λ=-.
答案-
7.已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,1),求(b·c)a.
解(1)因为向量a,b同向,又b=(1,2),
所以设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),λ>0.
由a·b=20,得1×λ+2×2λ=20,
所以λ=4,所以a=(4,8).
(2)因为b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4,
所以(b·c)a=4(4,8)=(16,32).
8.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1),
(1)若a∥b,求x;
(2)若a⊥(a-2b),求a与b所成夹角的余弦值.
解(1)∵a∥b,∴x1y2-x2y1=0,
即-2-2x=0,可得x=-1.
(2)依题意得a-2b=(2-2x,4),
∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=0,
即4-4x+8=0,
解得x=3,∴b=(3,-1).
设向量a与b的夹角为θ,
则cos
θ=.
能力提升练
1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
解析∵=(1,1),=(-3,3),
∴=1×(-3)+1×3=0.
∴,∴A=90°,故选A.
答案A
2.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是( )
A.(-3,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(4,0)
解析设点P的坐标为(x,0),
则=(x-2,-2),=(x-4,-1).
=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.
当x=3时,有最小值1,此时点P的坐标为(3,0).故选C.
答案C
3.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量的模为 .?
解析∵a∥b,∴2×(-2)-(-1)x=0,解得x=4,
∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).
∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)·(b-c)=0,
即6-3(-2-y)=0,解得y=-4,
∴=(y-x,x-y)=(-8,8),∴||=8.
答案8
4.已知向量m=(λ+2,1),n=(λ+1,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为 ,m+n在n方向上的投影的数量为 .?
解析由题意知向量m+n=(2λ+3,3),m-n=(1,-1),∵(m+n)⊥(m-n),
∴(m+n)·(m-n)=(2λ+3)×1+(-1)×3=2λ=0,即λ=0.
则m=(2,1),n=(1,2),cos=.
m+n=(3,3).
m+n在n方向上的投影的数量为|m+n|cos=.
答案
5.在△ABC中,已知=(1,2),=(4,m),m>0.
(1)若∠ABC=90°,求m的值;
(2)若||=3,且=2,求cos∠ADC的值.
解(1)若∠ABC=90°,则=0,
因为=(3,m-2),
所以=3+2m-4=0,所以m=.
(2)因为||=3,所以=3,
因为m>0,所以m=5,所以=(3,3),
因为=2,
所以=(1,1),=(2,2),
而=(3,4),所以=(-3,-4),
所以cos∠ADC==-.
素养培优练
1.已知向量a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.
解(1)由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,所以k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.
所以(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
因为|a|=1,|b|=1,
所以k2-3+8ka·b+1-3k2=0,
所以a·b=.
(2)由(1)得a·b=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当k=1时,a·b的最小值为f(1)=×(1+1)=.
此时a,b的夹角为θ,则cos
θ=,
又0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
2.已知向量a=(1,),b=(-2,0).
(1)求a-b的坐标以及a-b与a的夹角;
(2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.
解(1)因为a-b=(1,)-(-2,0)=(3,),
所以a-b的坐标为(3,).
设a-b与a之间的夹角为θ,
则cos
θ=,
而θ∈[0,π],故θ=.
(2)因为a-tb=(1,)-t(-2,0)=(1+2t,),
所以|a-tb|=,
在上单调递减,在上单调递增,所以t=-时,|a-tb|的最小值为,t=1时,|a-tb|的最大值为2,故|a-tb|的取值范围为[,2].
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是( )
A.|a|=|b|
B.a·b=
C.a∥b
D.a-b与b垂直
2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
3.已知向量a,b的夹角为,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=( )
A.2
B.3
C.
D.
4.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k等于( )
A.-
B.0
C.3
D.
5.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x= ;|a+b|= .?
6.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 .?
7.已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,1),求(b·c)a.
8.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1),
(1)若a∥b,求x;
(2)若a⊥(a-2b),求a与b所成夹角的余弦值.
能力提升练
1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
2.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是( )
A.(-3,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(4,0)
3.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量的模为 .?
4.已知向量m=(λ+2,1),n=(λ+1,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为 ,m+n在n方向上的投影的数量为 .?
5.在△ABC中,已知=(1,2),=(4,m),m>0.
(1)若∠ABC=90°,求m的值;
(2)若||=3,且=2,求cos∠ADC的值.
素养培优练
1.已知向量a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.
2.已知向量a=(1,),b=(-2,0).
(1)求a-b的坐标以及a-b与a的夹角;
(2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.
8.1.3 向量数量积的坐标运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是( )
A.|a|=|b|
B.a·b=
C.a∥b
D.a-b与b垂直
解析因为|a|=1,|b|=,
所以|a|≠|b|.
又a·b=1×+0×;
易知a与b不共线,所以A,B,C均不正确.
因为a-b=,且(a-b)·b==0,所以(a-b)⊥b.
答案ABC
2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析设c=(x,y),
则由(a+b)·c=,得x+2y=-.
又cos
因为0°≤
答案C
3.已知向量a,b的夹角为,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=( )
A.2
B.3
C.
D.
解析∵|a|=,
a·b=|a||b|cos=0,
∴|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=()2+4×22=21,∴|a+2b|=.
答案C
4.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k等于( )
A.-
B.0
C.3
D.
解析因为a=(k,3),b=(1,4),
所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).
因为(2a-3b)⊥c,
所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.
答案C
5.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x= ;|a+b|= .?
解析∵a·b=2,∴x=2.
∵a+b=(3,1),∴|a+b|=.
答案2
6.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 .?
解析由题得λa+b=λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),则(λa+b)·(a-2b)=3λ+1+4λ=7λ+1=0,∴λ=-.
答案-
7.已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,1),求(b·c)a.
解(1)因为向量a,b同向,又b=(1,2),
所以设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),λ>0.
由a·b=20,得1×λ+2×2λ=20,
所以λ=4,所以a=(4,8).
(2)因为b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4,
所以(b·c)a=4(4,8)=(16,32).
8.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1),
(1)若a∥b,求x;
(2)若a⊥(a-2b),求a与b所成夹角的余弦值.
解(1)∵a∥b,∴x1y2-x2y1=0,
即-2-2x=0,可得x=-1.
(2)依题意得a-2b=(2-2x,4),
∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=0,
即4-4x+8=0,
解得x=3,∴b=(3,-1).
设向量a与b的夹角为θ,
则cos
θ=.
能力提升练
1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
解析∵=(1,1),=(-3,3),
∴=1×(-3)+1×3=0.
∴,∴A=90°,故选A.
答案A
2.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是( )
A.(-3,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(4,0)
解析设点P的坐标为(x,0),
则=(x-2,-2),=(x-4,-1).
=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.
当x=3时,有最小值1,此时点P的坐标为(3,0).故选C.
答案C
3.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量的模为 .?
解析∵a∥b,∴2×(-2)-(-1)x=0,解得x=4,
∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).
∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)·(b-c)=0,
即6-3(-2-y)=0,解得y=-4,
∴=(y-x,x-y)=(-8,8),∴||=8.
答案8
4.已知向量m=(λ+2,1),n=(λ+1,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为 ,m+n在n方向上的投影的数量为 .?
解析由题意知向量m+n=(2λ+3,3),m-n=(1,-1),∵(m+n)⊥(m-n),
∴(m+n)·(m-n)=(2λ+3)×1+(-1)×3=2λ=0,即λ=0.
则m=(2,1),n=(1,2),cos
m+n=(3,3).
m+n在n方向上的投影的数量为|m+n|cos
答案
5.在△ABC中,已知=(1,2),=(4,m),m>0.
(1)若∠ABC=90°,求m的值;
(2)若||=3,且=2,求cos∠ADC的值.
解(1)若∠ABC=90°,则=0,
因为=(3,m-2),
所以=3+2m-4=0,所以m=.
(2)因为||=3,所以=3,
因为m>0,所以m=5,所以=(3,3),
因为=2,
所以=(1,1),=(2,2),
而=(3,4),所以=(-3,-4),
所以cos∠ADC==-.
素养培优练
1.已知向量a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.
解(1)由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,所以k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.
所以(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
因为|a|=1,|b|=1,
所以k2-3+8ka·b+1-3k2=0,
所以a·b=.
(2)由(1)得a·b=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当k=1时,a·b的最小值为f(1)=×(1+1)=.
此时a,b的夹角为θ,则cos
θ=,
又0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
2.已知向量a=(1,),b=(-2,0).
(1)求a-b的坐标以及a-b与a的夹角;
(2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.
解(1)因为a-b=(1,)-(-2,0)=(3,),
所以a-b的坐标为(3,).
设a-b与a之间的夹角为θ,
则cos
θ=,
而θ∈[0,π],故θ=.
(2)因为a-tb=(1,)-t(-2,0)=(1+2t,),
所以|a-tb|=,
在上单调递减,在上单调递增,所以t=-时,|a-tb|的最小值为,t=1时,|a-tb|的最大值为2,故|a-tb|的取值范围为[,2].