2020-2021学年人教B版（2019）高一数学必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数单元测试卷练(word含解析）

第四章单元测试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．y＝2x2－x＋3
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝logx
2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
3．函数y＝的值域是(　　)
A．(－∞，0)
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
4．据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人)关于月数x的函数关系近似是(　　)
A．y＝0.2x
B．y＝(x2＋2x)
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
5．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a，b表示为(　　)
A.(a＋b＋1)
B.(a＋b)＋1
C.(a＋b＋1)
D.a＋b＋1
6．已知函数f(x)＝ax，g(x)＝xa，h(x)＝logax，其中a>0且a≠1，在同一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图像，则正确的是(　　)
7．设a＝log3，b＝0.2，c＝2，则(　　)
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
8．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(1，＋∞)
B．(0,1)
C．(1，＋∞)
D.
二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列关于幂函数y＝xα的性质，描述正确的有(　　)
A．当α＝－1时函数在其定义域上是减函数
B．当α＝0时函数图像是一条直线
C．当α＝2时函数是偶函数
D．当α＝3时函数有一个零点0
10．对于0A．loga(1＋a)B．loga(1＋a)>loga
C．a1＋aD．a1＋a>a
11．设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中正确的是(　　)
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C.>0
D．f<
12．关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(　　)
A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增
B．函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f(x)有且仅有两个零点
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．lg＋2lg
2－－1＝________.
14．设函数f(x)＝(其中a为常数)的反函数为f－1(x)，若函数f－1(x)的图像经过点(0,1)，则方程f－1(x)＝2的解为________.
15．若偶函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式f(－1)x)的解集是________．
16．设函数f(x)＝－，[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)的值域是________，函数y＝(f(x))的值域是________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算：
(1)－0＋－0.5＋；
(2)lg
500＋lg－lg
64＋50×(lg
2＋lg
5)2.
18．(12分)已知幂函数y＝f(x)＝x，其中m∈{x|－2(1)在区间(0，＋∞)上是增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足条件(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,3]时，f(x)的值域．
19．(12分)已知函数f(x)＝log3(ax－1)，a>0且a≠1.
(1)求该函数的定义域；
(2)若该函数的图像经过点M(2,1)，讨论f(x)的单调性并证明．
20．(12分)已知f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)．
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以说明．
(3)求f的值．
21．(12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图像过点.
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．
22．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：
月数
1
2
3
4
…
污染度
60
31
13
0
…
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：
f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．
(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?
第四章单元测试卷
1．解析：对y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数．
答案：C
2．解析：由题意得即∴1≤x<.
答案：C
3．解析：令t＝，则t≥0，y＝t是减函数，∴0答案：B
4．答案：C
5．解析：因为3b＝5，所以b＝log35，log3＝log330＝(log33＋log32＋log35)＝(1＋a＋b)．
答案：A
6．解析：分a>1和0答案：B
7．解析：因为a＝log3＜log1＝0,0＜b＝0.2＜0＝1，c＝2＞20＝1，所以c＞b＞a.
答案：A
8．解析：方程|ax－1|＝2a
(a>0且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a的图像有两个交点．
①当0②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求．
综上，a的取值范围为0答案：D
9．解析：对于A，α＝－1时幂函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)是减函数，在其定义域上不是减函数，A错误；对于B，α＝0时幂函数y＝x0＝1(x≠0)，其图像是一条直线，去掉点(0,1)，B错误；对于C，α＝2时幂函数y＝x2在定义域R上是偶函数，C正确；对于D，α＝3时幂函数y＝x3在R上的奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D正确．
答案：CD
10．解析：因为0所以loga(1＋a)>loga.
又因为0a.故选B、D
答案：BD
11．解析：2·2＝2，所以A成立，2×2≠2，所以B不成立，函数f(x)＝2x，在R上是单调递增函数，若x1>x2则f(x1)>f(x2)，则>0，若x10，故C正确；f<说明函数是凹函数，而函数f(x)＝2x是凹函数，故D正确．故选A、C、D.
答案：ACD
12．解析：函数f(x)＝|ln|2－x||的图像如图所示：
由图可得：函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，B正确；若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则当x1，x2>2时，x1＋x2>4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．
答案：ABD
13．解析：lg＋2lg
2－－1＝lg
5－lg
2＋2lg
2－2＝(lg
5＋lg
2)－2＝1－2＝－1.
答案：－1
14．解析：由y＝f(x)＝，
得x－a＝y2(y≥0)，
所以函数f(x)的反函数f－1(x)＝x2＋a(x≥0)．
把点(0,1)代入，可得a＝1.
所以f－1(x)＝x2＋1(x≥0)．
由f－1(x)＝2，得x2＋1＝2，即x＝1.
答案：1
15．解析：因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，因为f(x)在(－∞，0)内单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)内单调递增，故|lg
x|>1，即lg
x>1或lg
x<－1，解得x>10或0答案：∪(10，＋∞)
16．解析：f(x)＝－＝－，
因为2x>0，所以1＋2x>1,0<<1，
所以－因为[x]表示不超过x的最大整数，
所以y＝(f(x))的值域为{－1,0}．
答案：　{－1,0}
17．解析：(1)原式＝＋1－1＋＋e－＝＋e.
(2)原式＝lg
5＋lg
102＋lg
23－lg
5－lg
26＋50×(lg
10)2＝lg
5＋2＋3lg
2－lg
5－3lg
2＋50＝52.
18．解析：因为m∈{x|－2所以m＝－1,0,1.
因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足．
因此m＝0，且f(x)＝x3在区间[0,3]上是增函数，
所以0≤f(x)≤27，故f(x)的值域为[0,27]．
19．解析：(1)要使函数式有意义，需ax－1>0，即ax>1.
当a>1时，可得x>0，所以a>1时，x∈(0，＋∞)；
当0所以0(2)因为函数的图像经过点M(2,1)，
所以1＝log3(a2－1)，
所以a2－1＝3，即a2＝4，
又a>0，所以a＝2，所以f(x)＝log3(2x－1)．
显然x>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
任取x2>x1>0，则2>2>1，所以2－1>2－1>0，又y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log3(2－1)>log3(2－1)，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
20．解析：(1)由得
即－1所以函数f(x)的定义域为{x|－1(2)函数f(x)为偶函数．证明如下：
因为函数f(x)的定义域为{x|－1又因为f(－x)＝log2[1＋(－x)]＋log2[1－(－x)]＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)为偶函数．
(3)f＝log2＋log2
＝log2
＝log2＝log2＝－1.
21．解析：(1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，
所以g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
因为g(x)的图像过点，
所以loga2＝，
所以a＝2，解得a＝2.
所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x.
(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，g(0.2)＝log20.2<0，
又g(1.5)＝log21.5且g(1.5)＝log21.5>log21＝0，
所以0所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2)．
22．解析：(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下：
因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，
h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5，
由此可得h(x)更接近实际值，
所以用h(x)模拟比较合理．
(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，
又因为h(16)＝60，故整治后有16个月的污染度不超过60.
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