第9章解三角形9.1.1正弦定理作业2020-2021学年高二数学人教B版（2019）必修第四册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 第9章解三角形9.1.1正弦定理作业2020-2021学年高二数学人教B版（2019）必修第四册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 69.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 13:01:46 | ||
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文档简介
9.1.1 正弦定理
1.在△ABC中,下列关系式中一定成立的是( )
A.a>bsin
A
B.a=bsin
A
C.aA
D.a≥bsin
A
2.在△ABC中,a=4,b=4,A=,则B=( )
A.
B.
C.
D.
3.在△ABC中,已知b=3,c=8,A=,则△ABC的面积等于( )
A.6
B.12
C.6
D.12
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则B=( )
A.
B.
C.
D.
5.在△ABC中,若a=2,A=30°,则的值为( )
A.4
B.2
C.4
D.2
6.在△ABC中,若A=,b=2,则下列说法错误的是( )
A.若a=1,则c有一解
B.若a=,则c有两解
C.若a=,则c有两解
D.若a=3,则c有两解
7.(多选题)已知A,B,C是△ABC的三个内角,下列结论一定成立的有( )
A.sin(B+C)=sin
A
B.cos(A+B)=cos
C
C.若A>B,则sin
A>sin
B
D.若sin
2A=sin
2B,则△ABC是等腰三角形
8.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边.若A=105°,B=45°,b=2,则c= ,△ABC的面积为 .?
9.已知在△ABC中,BC=15,AC=10,A=60°,则cos
B= .?
10.在△ABC中,若,则△ABC是 三角形.?
11.在△ABC中,a=2,c=,sin
A+cos
A=0,则角B的大小为 .?
12.在△ABC中,求证:.
素养提升
1.满足条件C=60°,AB=,BC=的△ABC有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,acos
B=(c-b)cos
A,则角A的大小为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=6,c=2,tan
A+tan
B=,则S△ABC=( )
A.3
B.9
C.9
D.3
4.在锐角△ABC中,若C=2B,则的范围为( )
A.()
B.(,2)
C.(0,2)
D.(,2)
5.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若C=,c=3且该三角形有两解,则a的值可以为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
6.在△ABC中,AB=AC=4,BC=2.D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 .?
7.在△ABC中,B=120°,AB=,角A的平分线AD=,则AC= .?
8.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos
C+asin
C=b+c,则A= ;若a=,且△ABC只有唯一解,则b的取值范围为 .?
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求角A的大小;
(2)设a=2,b=3,求sin(2B-A)的值.
10. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面积S=10,请指出这三个条件,并说明理由;
(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.
答案
1.在△ABC中,下列关系式中一定成立的是( )
A.a>bsin
A
B.a=bsin
A
C.aA
D.a≥bsin
A
答案D
解析由正弦定理,得,所以a=.在△ABC中,0B≤1,故≥1,所以a≥bsin
A.
2.在△ABC中,a=4,b=4,A=,则B=( )
A.
B.
C.
D.
答案A
解析由正弦定理可得,
∴sin
B=.
又a=4>b=4,∴A>B.∴B=.故选A.
3.在△ABC中,已知b=3,c=8,A=,则△ABC的面积等于( )
A.6
B.12
C.6
D.12
答案C
解析S△ABC=bcsin
A=×3×8×sin
=6.故选C.
4.(2020黑龙江大庆四中高一月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则B=( )
A.
B.
C.
D.
答案A
解析由正弦定理得=1,所以tan
B=1.又因为B∈(0,π),所以B=.
5.(2020江苏南京秦淮中学高一期中)在△ABC中,若a=2,A=30°,则的值为( )
A.4
B.2
C.4
D.2
答案A
解析由题可知a=2,A=30°,令=2R(R为△ABC的外接圆半径),
所以=2R==4,即=4.
6.(2020浙江绍兴一中高一期中)在△ABC中,若A=,b=2,则下列说法错误的是( )
A.若a=1,则c有一解
B.若a=,则c有两解
C.若a=,则c有两解
D.若a=3,则c有两解
答案D
解析由b=2,A=知bsin
A=2sin=1.当a=1或a≥2时,c有一解,当17.(多选题)(2020江苏如东高级中学高一期中)已知A,B,C是△ABC的三个内角,下列结论一定成立的有( )
A.sin(B+C)=sin
A
B.cos(A+B)=cos
C
C.若A>B,则sin
A>sin
B
D.若sin
2A=sin
2B,则△ABC是等腰三角形
答案AC
解析由A+B+C=π,得sin(B+C)=sin(π-A)=sin
A,故A正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos
C,故B不正确;由三角形中大角对大边,A>B,则a>b,根据正弦定理有sin
A>sin
B,故C正确;在三角形中,若sin
2A=sin
2B,则2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=,则△ABC是等腰三角形或直角三角形,故D不正确.故选AC.
8.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边.若A=105°,B=45°,b=2,则c= ,△ABC的面积为 .?
答案2 +1
解析由题得C=180°-105°-45°=30°.
根据正弦定理,可知,解得c=2.
故△ABC的面积为S=bcsin
A=×2×2×sin
105°=2+1.
9.已知在△ABC中,BC=15,AC=10,A=60°,则cos
B= .?
答案
解析由正弦定理得,
所以sin
B=,
因为AC所以cos
B=.
10.在△ABC中,若,则△ABC是 三角形.?
答案等边
解析由正弦定理得,
所以sin=sin=sin.
因为A,B,C∈(0,π),所以∈0,,
所以,所以A=B=C.故△ABC为等边三角形.
11.在△ABC中,a=2,c=,sin
A+cos
A=0,则角B的大小为 .?
答案
解析因为角A是三角形的内角,所以A∈(0,π).又因为sin
A+cos
A=0,所以tan
A=-1.所以A=π.由正弦定理可知,则,所以sin
C=.因为A=π,所以C∈,因此C=.由三角形内角和定理可知B=π-A-C=.
12.在△ABC中,求证:.
证明因为在△ABC中,=2R(R为△ABC的外接圆半径),
所以左边=
==右边.
所以等式成立,即.
素养提升
1.满足条件C=60°,AB=,BC=的△ABC有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案C
解析由于BC·sin
C=,所以△ABC有两解.故选C.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,acos
B=(c-b)cos
A,则角A的大小为( )
A.
B.
C.
D.
答案B
解析由正弦定理得sin
Acos
B=(sin
C-sin
B)·cos
A,即sin(A+B)=sin
Ccos
A,即sin
C=sin
Ccos
A,所以cos
A=,故A=.故选B.
3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=6,c=2,tan
A+tan
B=,则S△ABC=( )
A.3
B.9
C.9
D.3
答案B
解析由tan
A+tan
B=,
得,因为cos
A≠0,所以=2sin
C.因为sin
C≠0,所以cos
B=,又因为B∈(0,π),所以B=,所以S△ABC=acsin
B=×6×2=9.
4.在锐角△ABC中,若C=2B,则的范围为( )
A.()
B.(,2)
C.(0,2)
D.(,2)
答案A
解析由正弦定理得=2cos
B.
∵△ABC是锐角三角形,∴三个内角均为锐角,
即0B<,∴∈().
5.(多选题)(2020山东济南历城第二中学高一月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若C=,c=3且该三角形有两解,则a的值可以为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案AB
解析∵该三角形有两解,C=,c=3,
∴asin6.在△ABC中,AB=AC=4,BC=2.D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 .?
答案
解析过点A作BC的垂线,交BC于点E,则AE=,所以sin∠ABC=,则sin∠CBD=sin(π-∠ABC)=,所以S△BCD=BD·BC·sin∠CBD=×2×2×.
7.在△ABC中,B=120°,AB=,角A的平分线AD=,则AC= .?
答案
解析如图,
由正弦定理易得,
即,
故sin∠ADB=,即∠ADB=45°.
在△ABD中,已知∠B=120°,∠ADB=45°,即∠BAD=15°.由于AD是∠BAC的角平分线,故∠BAC=2∠BAD=30°.在△ABC中,∠B=120°,∠BAC=30°,易得∠ACB=30°.在△ABC中,由正弦定理得.即,故AC=.
8.(2020浙江高一检测)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos
C+asin
C=b+c,则A= ;若a=,且△ABC只有唯一解,则b的取值范围为 .?
答案 (0,]∪{2}
解析因为acos
C+asin
C=b+c,
所以由正弦定理得sin
Acos
C+sin
Asin
C=sin
B+sin
C,则sin
Acos
C+sin
Asin
C=sin
Acos
C+cos
Asin
C+sin
C,
所以sin
A=cos
A+1,则sinA-=,
所以A=.
当a=bsin或a≥b时,△ABC有唯一解,即b==2,或09.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求角A的大小;
(2)设a=2,b=3,求sin(2B-A)的值.
解(1)由正弦定理可得,
即2sin
Ccos
A=sin
Acos
B+cos
AsinB
=sin(A+B)=sin
C.
因为sin
C≠0,所以cos
A=.
又因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由正弦定理,
得sin
B=,所以cos
B=±=±.
所以cos
2B=1-2sin2B=1-2×=-,
sin
2B=2sin
Bcos
B=±.
当sin
2B=时,sin(2B-A)=sin
2Bcos
A-cos
2Bsin
A=;
当sin
2B=-时,sin(2B-A)=sin
2Bcos
A-cos
2Bsin
A=;
所以sin(2B-A)的值是.
10. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面积S=10,请指出这三个条件,并说明理由;
(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.
解因为,
所以sin
Acos
B+sin
Acos
C=cos
Asin
B+cos
Asin
C,
即sin
Acos
B-cos
Asin
B=sin
Ccos
A-cos
Csin
A,
所以sin(A-B)=sin(C-A).
因为A,B,C∈(0,π),
所以A-B=C-A,即2A=B+C,所以A=.
(1)△ABC还同时满足条件①③④,理由如下:
若△ABC同时满足条件①②,
则由正弦定理得sin
B=>1,
所以△ABC不能同时满足条件①②,
所以△ABC同时满足条件③④,
所以△ABC的面积S=bcsin
A=×b×8×=10,所以b=5,与②矛盾,所以△ABC同时满足条件①③④.
(2)在△ABC中,由正弦定理得=2,
因为C=-B,
所以b=2sin
B,c=2sin-B,
所以L=a+b+c=2sin
B+sin-B+3=6sin
B+cos
B+3=6sinB++3.
因为B∈0,,
所以B+∈,sinB+∈,1,
所以△ABC周长L的取值范围为(6,9].
1.在△ABC中,下列关系式中一定成立的是( )
A.a>bsin
A
B.a=bsin
A
C.a
D.a≥bsin
A
2.在△ABC中,a=4,b=4,A=,则B=( )
A.
B.
C.
D.
3.在△ABC中,已知b=3,c=8,A=,则△ABC的面积等于( )
A.6
B.12
C.6
D.12
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则B=( )
A.
B.
C.
D.
5.在△ABC中,若a=2,A=30°,则的值为( )
A.4
B.2
C.4
D.2
6.在△ABC中,若A=,b=2,则下列说法错误的是( )
A.若a=1,则c有一解
B.若a=,则c有两解
C.若a=,则c有两解
D.若a=3,则c有两解
7.(多选题)已知A,B,C是△ABC的三个内角,下列结论一定成立的有( )
A.sin(B+C)=sin
A
B.cos(A+B)=cos
C
C.若A>B,则sin
A>sin
B
D.若sin
2A=sin
2B,则△ABC是等腰三角形
8.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边.若A=105°,B=45°,b=2,则c= ,△ABC的面积为 .?
9.已知在△ABC中,BC=15,AC=10,A=60°,则cos
B= .?
10.在△ABC中,若,则△ABC是 三角形.?
11.在△ABC中,a=2,c=,sin
A+cos
A=0,则角B的大小为 .?
12.在△ABC中,求证:.
素养提升
1.满足条件C=60°,AB=,BC=的△ABC有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,acos
B=(c-b)cos
A,则角A的大小为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=6,c=2,tan
A+tan
B=,则S△ABC=( )
A.3
B.9
C.9
D.3
4.在锐角△ABC中,若C=2B,则的范围为( )
A.()
B.(,2)
C.(0,2)
D.(,2)
5.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若C=,c=3且该三角形有两解,则a的值可以为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
6.在△ABC中,AB=AC=4,BC=2.D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 .?
7.在△ABC中,B=120°,AB=,角A的平分线AD=,则AC= .?
8.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos
C+asin
C=b+c,则A= ;若a=,且△ABC只有唯一解,则b的取值范围为 .?
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求角A的大小;
(2)设a=2,b=3,求sin(2B-A)的值.
10. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面积S=10,请指出这三个条件,并说明理由;
(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.
答案
1.在△ABC中,下列关系式中一定成立的是( )
A.a>bsin
A
B.a=bsin
A
C.a
D.a≥bsin
A
答案D
解析由正弦定理,得,所以a=.在△ABC中,0
A.
2.在△ABC中,a=4,b=4,A=,则B=( )
A.
B.
C.
D.
答案A
解析由正弦定理可得,
∴sin
B=.
又a=4>b=4,∴A>B.∴B=.故选A.
3.在△ABC中,已知b=3,c=8,A=,则△ABC的面积等于( )
A.6
B.12
C.6
D.12
答案C
解析S△ABC=bcsin
A=×3×8×sin
=6.故选C.
4.(2020黑龙江大庆四中高一月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则B=( )
A.
B.
C.
D.
答案A
解析由正弦定理得=1,所以tan
B=1.又因为B∈(0,π),所以B=.
5.(2020江苏南京秦淮中学高一期中)在△ABC中,若a=2,A=30°,则的值为( )
A.4
B.2
C.4
D.2
答案A
解析由题可知a=2,A=30°,令=2R(R为△ABC的外接圆半径),
所以=2R==4,即=4.
6.(2020浙江绍兴一中高一期中)在△ABC中,若A=,b=2,则下列说法错误的是( )
A.若a=1,则c有一解
B.若a=,则c有两解
C.若a=,则c有两解
D.若a=3,则c有两解
答案D
解析由b=2,A=知bsin
A=2sin=1.当a=1或a≥2时,c有一解,当1
A.sin(B+C)=sin
A
B.cos(A+B)=cos
C
C.若A>B,则sin
A>sin
B
D.若sin
2A=sin
2B,则△ABC是等腰三角形
答案AC
解析由A+B+C=π,得sin(B+C)=sin(π-A)=sin
A,故A正确;cos(A+B)=cos(π-C)=-cos
C,故B不正确;由三角形中大角对大边,A>B,则a>b,根据正弦定理有sin
A>sin
B,故C正确;在三角形中,若sin
2A=sin
2B,则2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=,则△ABC是等腰三角形或直角三角形,故D不正确.故选AC.
8.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边.若A=105°,B=45°,b=2,则c= ,△ABC的面积为 .?
答案2 +1
解析由题得C=180°-105°-45°=30°.
根据正弦定理,可知,解得c=2.
故△ABC的面积为S=bcsin
A=×2×2×sin
105°=2+1.
9.已知在△ABC中,BC=15,AC=10,A=60°,则cos
B= .?
答案
解析由正弦定理得,
所以sin
B=,
因为AC
B=.
10.在△ABC中,若,则△ABC是 三角形.?
答案等边
解析由正弦定理得,
所以sin=sin=sin.
因为A,B,C∈(0,π),所以∈0,,
所以,所以A=B=C.故△ABC为等边三角形.
11.在△ABC中,a=2,c=,sin
A+cos
A=0,则角B的大小为 .?
答案
解析因为角A是三角形的内角,所以A∈(0,π).又因为sin
A+cos
A=0,所以tan
A=-1.所以A=π.由正弦定理可知,则,所以sin
C=.因为A=π,所以C∈,因此C=.由三角形内角和定理可知B=π-A-C=.
12.在△ABC中,求证:.
证明因为在△ABC中,=2R(R为△ABC的外接圆半径),
所以左边=
==右边.
所以等式成立,即.
素养提升
1.满足条件C=60°,AB=,BC=的△ABC有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案C
解析由于BC·sin
C=,所以△ABC有两解.故选C.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,acos
B=(c-b)cos
A,则角A的大小为( )
A.
B.
C.
D.
答案B
解析由正弦定理得sin
Acos
B=(sin
C-sin
B)·cos
A,即sin(A+B)=sin
Ccos
A,即sin
C=sin
Ccos
A,所以cos
A=,故A=.故选B.
3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=6,c=2,tan
A+tan
B=,则S△ABC=( )
A.3
B.9
C.9
D.3
答案B
解析由tan
A+tan
B=,
得,因为cos
A≠0,所以=2sin
C.因为sin
C≠0,所以cos
B=,又因为B∈(0,π),所以B=,所以S△ABC=acsin
B=×6×2=9.
4.在锐角△ABC中,若C=2B,则的范围为( )
A.()
B.(,2)
C.(0,2)
D.(,2)
答案A
解析由正弦定理得=2cos
B.
∵△ABC是锐角三角形,∴三个内角均为锐角,
即0
5.(多选题)(2020山东济南历城第二中学高一月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若C=,c=3且该三角形有两解,则a的值可以为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案AB
解析∵该三角形有两解,C=,c=3,
∴asin
答案
解析过点A作BC的垂线,交BC于点E,则AE=,所以sin∠ABC=,则sin∠CBD=sin(π-∠ABC)=,所以S△BCD=BD·BC·sin∠CBD=×2×2×.
7.在△ABC中,B=120°,AB=,角A的平分线AD=,则AC= .?
答案
解析如图,
由正弦定理易得,
即,
故sin∠ADB=,即∠ADB=45°.
在△ABD中,已知∠B=120°,∠ADB=45°,即∠BAD=15°.由于AD是∠BAC的角平分线,故∠BAC=2∠BAD=30°.在△ABC中,∠B=120°,∠BAC=30°,易得∠ACB=30°.在△ABC中,由正弦定理得.即,故AC=.
8.(2020浙江高一检测)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos
C+asin
C=b+c,则A= ;若a=,且△ABC只有唯一解,则b的取值范围为 .?
答案 (0,]∪{2}
解析因为acos
C+asin
C=b+c,
所以由正弦定理得sin
Acos
C+sin
Asin
C=sin
B+sin
C,则sin
Acos
C+sin
Asin
C=sin
Acos
C+cos
Asin
C+sin
C,
所以sin
A=cos
A+1,则sinA-=,
所以A=.
当a=bsin或a≥b时,△ABC有唯一解,即b==2,或0
(1)求角A的大小;
(2)设a=2,b=3,求sin(2B-A)的值.
解(1)由正弦定理可得,
即2sin
Ccos
A=sin
Acos
B+cos
AsinB
=sin(A+B)=sin
C.
因为sin
C≠0,所以cos
A=.
又因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由正弦定理,
得sin
B=,所以cos
B=±=±.
所以cos
2B=1-2sin2B=1-2×=-,
sin
2B=2sin
Bcos
B=±.
当sin
2B=时,sin(2B-A)=sin
2Bcos
A-cos
2Bsin
A=;
当sin
2B=-时,sin(2B-A)=sin
2Bcos
A-cos
2Bsin
A=;
所以sin(2B-A)的值是.
10. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面积S=10,请指出这三个条件,并说明理由;
(2)若a=3,求△ABC周长L的取值范围.
解因为,
所以sin
Acos
B+sin
Acos
C=cos
Asin
B+cos
Asin
C,
即sin
Acos
B-cos
Asin
B=sin
Ccos
A-cos
Csin
A,
所以sin(A-B)=sin(C-A).
因为A,B,C∈(0,π),
所以A-B=C-A,即2A=B+C,所以A=.
(1)△ABC还同时满足条件①③④,理由如下:
若△ABC同时满足条件①②,
则由正弦定理得sin
B=>1,
所以△ABC不能同时满足条件①②,
所以△ABC同时满足条件③④,
所以△ABC的面积S=bcsin
A=×b×8×=10,所以b=5,与②矛盾,所以△ABC同时满足条件①③④.
(2)在△ABC中,由正弦定理得=2,
因为C=-B,
所以b=2sin
B,c=2sin-B,
所以L=a+b+c=2sin
B+sin-B+3=6sin
B+cos
B+3=6sinB++3.
因为B∈0,,
所以B+∈,sinB+∈,1,
所以△ABC周长L的取值范围为(6,9].