第9章解三角形9.1.2余弦定理作业2020-2021学年高二数学人教B版（2019）必修第四册（Word含答案解析）

9.1.2　余弦定理
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cos
A=,则a=(　　)
A.5
B.
C.4
D.3
2.在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos
B等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3.已知a,b,c为△ABC的三边长,若满足(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则C的大小为(　　)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
4.在△ABC中,sin2(a,b,c分别为角A,B,C的对应边),则△ABC的形状为(　　)
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶5∶7,那么这个三角形中最大角的度数是(　　)
A.135°
B.90°
C.120°
D.150°
6.
某地需要建设临时医院,其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400
m的等腰三角形组成的图形(如图所示),为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为(　　)
A.
B.
C.
D.
7.(多选题)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60°,b=2,c=+1,则下列说法正确的是(　　)
A.C=75°或C=105°
B.B=45°
C.a=
D.该三角形的面积为
8.在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,则a+b=　　　　　,若C=60°,则边c=　　　　　.?
9.在锐角三角形ABC中,AB=3,AC=4.若△ABC的面积为3,则BC的长是　　　　　.?
10.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,那么a的取值范围是　　　　　.?
11.在△ABC中,求证:.
素养提升
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan
B=ac,则B的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC中,已知AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　)
A.
B.
C.
D.3
3.已知△ABC中,A,B,C的对边的长分别为a,b,c,A=120°,a=,△ABC的面积为,则c+b=(　　)
A.4.5
B.4
C.5
D.6
4.△ABC的面积S=a2-(b-c)2,则sin
A=(　　)
A.
B.
C.
D.
5.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代语言表示为:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=.根据此公式,若acos
B+(b+3c)cos
A=0,且a2-b2-c2=2,则△ABC的面积为(　　)
A.
B.2
C.
D.2
6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　)
A.sin
A∶sin
B∶sin
C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC外接圆半径仅为
7.在△ABC中,sin
,AB=5,BC=1,则AC=　　　　　.?
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=3,a+c=3,sin
C=2sin
A.
(1)求a,c的值;
(2)求sin的值.
9.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若△ABC是锐角三角形,若△ABC同时满足下列四个条件中的三个:①A=;②a=13;③c=15;④sin
C=.
(1)条件①④能否同时满足,请说明理由;
(2)以上四个条件,请在满足三角形有解的所有组合中任选一组,并求出对应的△ABC的面积.
答案
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cos
A=,则a=(　　)
A.5
B.
C.4
D.3
答案D
解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos
A=9+4-2×3×2×=9,解得a=3.故选D.
2.在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos
B等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案B
解析因为b2=ac,c=2a,所以b2=2a2,b=a.所以cos
B=.
3.已知a,b,c为△ABC的三边长,若满足(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则C的大小为(　　)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
答案C
解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab,
所以a2+b2-c2=-ab,即=-,
所以cos
C=-,所以C=120°.
4.在△ABC中,sin2(a,b,c分别为角A,B,C的对应边),则△ABC的形状为(　　)
A.正三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
答案B
解析因为sin2,所以cos
A=,整理得a2+b2=c2,符合勾股定理.故△ABC为直角三角形.
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶5∶7,那么这个三角形中最大角的度数是(　　)
A.135°
B.90°
C.120°
D.150°
答案C
解析因为sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶5∶7,故a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k(k>0),则b=5k,c=7k.由大边对大角定理可知,角C是最大角,由余弦定理得cos
C==-.因为0°6.
某地需要建设临时医院,其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400
m的等腰三角形组成的图形(如图所示),为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案D
解析设等腰三角形的顶角为α,由三角形的面积公式,得4个等腰三角形的面积和为4××400×400sin
α=320
000sin
α,由余弦定理可得正方形边长为=400,故正方形面积为160
000(2-2cos
α)=320
000(1-cos
α),所以所求占地面积为320
000(1-cos
α+sin
α)=320
000sinα-+1,所以当α-,即α=时,占地面积最大,此时底角为,故选D.
7.(多选题)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60°,b=2,c=+1,则下列说法正确的是(　　)
A.C=75°或C=105°
B.B=45°
C.a=
D.该三角形的面积为
答案BC
解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos
A=4+4+2-2×2×(+1)×=6,所以a=.由正弦定理,得,所以sin
B=.由于0°A=×2×(+1)×.综上所述,选BC.
8.在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,则a+b=　　　　　,若C=60°,则边c=　　　　　.?
答案5　
解析由题意得a+b=5,ab=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c=.
9.在锐角三角形ABC中,AB=3,AC=4.若△ABC的面积为3,则BC的长是　　　　　.?
答案
解析由题可知AB·AC·sin
A=3,所以sin
A=.又因为△ABC为锐角三角形,所以A=60°,由余弦定理cos
A=,得a=即BC=.
10.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,那么a的取值范围是　　　　　.?
答案(2,8)
解析因为2a-1>0,所以a>,最大边为2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以a2+(2a-1)2<(2a+1)2,化简得02a+1,
所以a>2,所以211.在△ABC中,求证:.
证明右边=
=·cos
B-·cos
A
=
=
=左边.
所以.
素养提升
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan
B=ac,则B的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案D
解析∵(a2+c2-b2)tan
B=ac,且cos
B=,∴sin
B=,∴B=.故选D.
2.在△ABC中,已知AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　)
A.
B.
C.
D.3
答案B
解析如图,
在△ABC中,BD为AC边上的高,且AB=3,BC=,AC=4.因为cos
A=,所以sin
A=.故BD=AB·sin
A=3×.
3.已知△ABC中,A,B,C的对边的长分别为a,b,c,A=120°,a=,△ABC的面积为,则c+b=(　　)
A.4.5
B.4
C.5
D.6
答案C
解析由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsin
A=bc×bc=,所以bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A,即b2+c2-2×4×=21,得b2+c2=17.所以(b+c)2=b2+c2+2bc=17+2×4=25,因此,c+b=5.故选C.
4.△ABC的面积S=a2-(b-c)2,则sin
A=(　　)
A.
B.
C.
D.
答案B
解析根据S=bcsin
A,又a2=b2+c2-2bccos
A,则S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=-2bccos
A+2bc,所以-2bccos
A+2bc=bcsin
A,化简得sin
A=-4cos
A+4,联立解得sin
A=.
5.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代语言表示为:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=.根据此公式,若acos
B+(b+3c)cos
A=0,且a2-b2-c2=2,则△ABC的面积为(　　)
A.
B.2
C.
D.2
答案A
解析由acos
B+(b+3c)cos
A=0,得sin
Acos
B+cos
Asin
B+3sin
Ccos
A=0,即sin(A+B)+3sin
Ccos
A=0,即sin
C(1+3cos
A)=0.因为sin
C≠0,所以cos
A=-.由余弦定理,得a2-b2-c2=-2bccos
A=bc=2,所以bc=3,由△ABC的面积公式得S=.故选A.
6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　)
A.sin
A∶sin
B∶sin
C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC外接圆半径仅为
答案ACD
解析因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设其中x>0,解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin
A∶sin
B∶sin
C=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A正确;由上可知c边最大,所以三角形中C最大.
又cos
C=>0,所以C为锐角,所以B错误;由上可知a边最小,所以三角形中A最小,又cos
A=,所以cos
2A=2cos2A-1=,所以cos
2A=cos
C,由三角形中C最大且C为锐角可得2A∈(0,π),C∈0,,所以2A=C,所以C正确;由正弦定理得2R=,又sin
C=,所以2R=,解得R=,所以D正确.故选ACD.
7.在△ABC中,sin
,AB=5,BC=1,则AC=　　　　　.?
答案4
解析由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos
B,
又cos
B=1-2sin2=1-2×=-.
故AC2=25+1-2×5×1×=32,
所以AC=4.
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=3,a+c=3,sin
C=2sin
A.
(1)求a,c的值;
(2)求sin的值.
解(1)由正弦定理及sin
C=2sin
A,得c=2a.因为a+c=3,所以a=,c=2.
(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos
B,
所以cos
B=.
因为B是三角形内角,所以0所以sin
B=.
所以sin
2B=2sin
Bcos
B=,
cos
2B=2cos2B-1=.
所以sin=sin
2Bcos
+cos
2Bsin
=.
9.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若△ABC是锐角三角形,若△ABC同时满足下列四个条件中的三个:①A=;②a=13;③c=15;④sin
C=.
(1)条件①④能否同时满足,请说明理由;
(2)以上四个条件,请在满足三角形有解的所有组合中任选一组,并求出对应的△ABC的面积.
解(1)△ABC不能同时满足①④.理由如下:
若△ABC同时满足①④,则在锐角三角形ABC中,sin
C=,所以0又因为A=,所以所以B>,这与△ABC是锐角三角形矛盾,
所以△ABC不能同时满足①④.
(2)因为△ABC需同时满足三个条件,由(1)知不能同时满足①④,故只可能同时满足①②③或②③④,若同时满足②③④,因为c>a,所以C>A,则A,这与△ABC是锐角三角形矛盾.故△ABC不能同时满足②③④.
若同时满足①②③,因为a2=b2+c2-2bccos
A,所以132=b2+152-2×b×15×,解得b=8或b=7.
当b=7时,cos
C==-<0,
所以C为钝角,与题意不符合,
当b=8时,cos
C=>0,所以C为锐角,满足题意,所以b=8.所以△ABC的面积S=bcsin
A=30.