第6章 单元质量测评 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 第6章 单元质量测评 同步习题2020-2021学年高一数学人教B版（2019）必修第二册 第6章平面向量初步（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 433.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-25 13:05:48 | ||
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文档简介
第六章 单元质量测评
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
2．如图所示，已知＝3，＝3，则向量与的关系为( )
A．共线
B．同向
C．共线且同向
D．共线、同向，且的长度是的3倍
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
4．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
5．已知平面内M，N，P三点满足－＋＝0，则下列说法正确的是( )
A．M，N，P是一个三角形的三个顶点
B．M，N，P是一条直线上的三个点
C．M，N，P是平面内的任意三个点
D．以上都不对
6．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是( )
A．
B．
C．－3
D．0
7．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为( )
A．(2,4)
B．(2,2)
C．(4,1)
D．(4,4)
8．在△ABC中，＝，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N.若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝( )
A．1
B．
C．
D．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.
如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，||＝2||，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( )
A．－＝
B．＋＋＋＝0
C．|＋2|＝0
D．＝＋
10．如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点F，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值可能是( )
A．－6
B．1
C．5
D．9
11．已知图中∠AOC＋2∠BOC＝180°，||＝||，BC∥OA，P为图中的阴影中(含边界)任意点，并且＝x＋y，下列命题正确的是( )
A．0≤x＋y≤1
B．|x|＋|y|≤x2＋y2
C．x2＋y2≤2
D．存在无数个点P，使得y＝1
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，则下列说法正确的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(b⊙a)2＝|a|2|b|2
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋2＋＝2，则△PBC与△ABC的面积之比是________．
14．如图所示，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
15.
向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.
16．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a，b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)求实数k，使ka＋b与2a＋kb共线．
18．(本小题满分12分)如图，设四边形ABCD的两条对角线AC，BD的中点分别是E，F.求证：|AB－CD|≤EF<(AB＋CD)．
19．(本小题满分12分)已知：如图，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0.
求证：l＝m＝n.
20．(本小题满分12分)已知四边形ABCD的顶点坐标为A(4，－1)，B(3,4)，D(1，－2)，且＝λ(λ>0)．
(1)若点C在第一象限，求实数λ的取值范围；
(2)若点M为直线AC外一点，且＝＋，问实数λ为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点．
21．(本小题满分12分)已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
22．(本小题满分12分)如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
(1)求AO∶OF与CO∶OE的值；
(2)证明AF，BD，CE交于一点O.
第六章 单元质量测评
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
答案 A
解析 ＝－，＝(－4，－3)，＝(3,1)，故＝(－7，－4)．
2．如图所示，已知＝3，＝3，则向量与的关系为( )
A．共线
B．同向
C．共线且同向
D．共线、同向，且的长度是的3倍
答案 D
解析 由题意，知＝＋，＝＋＝3＋3＝3，故选D.
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
答案 D
解析 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，则6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.
4．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
答案 D
解析 由题意知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．
5．已知平面内M，N，P三点满足－＋＝0，则下列说法正确的是( )
A．M，N，P是一个三角形的三个顶点
B．M，N，P是一条直线上的三个点
C．M，N，P是平面内的任意三个点
D．以上都不对
答案 C
解析 因为－＋＝＋＋＝＋＝0，所以－＋＝0对任意情况是恒成立的．故M，N，P是平面内的任意三个点．故选C.
6．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是( )
A．
B．
C．－3
D．0
答案 D
解析 如图，连接AD，∵＝2，
∴＝，又＝－，∴＝－，
∴＝－，又＝r＋s，
∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.故选D.
7．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为( )
A．(2,4)
B．(2,2)
C．(4,1)
D．(4,4)
答案 A
解析 ∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2.
设点D的坐标为(x，y)．∵＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
8．在△ABC中，＝，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N.若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝( )
A．1
B．
C．
D．
答案 C
解析 ∵＝，∴AD＝AB.∵DE∥BC，∴AE＝AC.又M为BC的中点，∴N为DE的中点．∴＝(＋)＝＝＋，∴x＝y＝，∴x＋y＝＋＝.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.
如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，||＝2||，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( )
A．－＝
B．＋＋＋＝0
C．|＋2|＝0
D．＝＋
答案 ABC
解析 对于A，－＝＝，A正确；对于B，利用向量的线性运算可知，B正确；对于C，由于＝＝，所以＋2＝0，故|＋2|＝0，C正确；对于D，＝＝(＋)＝(＋＋＋)＝(＋2)＝＋，D错误．故选ABC.
10．如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点F，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值可能是( )
A．－6
B．1
C．5
D．9
答案 BC
解析 设＝a，＝b，求x＋y的最大值，只需考虑如图中6个顶点的向量即可，讨论如下：
(1)∵＝a，∴(x，y)＝(1,0)；
(2)∵＝＋＝b＋3a，∴(x，y)＝(3,1)；
(3)∵＝＋＝b＋2a，
∴(x，y)＝(2,1)；
(4)∵＝＋＋＝b＋a＋(b＋2a)＝3a＋2b，
∴(x，y)＝(3,2)；
(5)∵＝＋＝b＋a，∴(x，y)＝(1,1)；
(6)∵＝b，∴(x，y)＝(0,1)，
∴x＋y的最大值为3＋2＝5.
根据其对称性，可知x＋y的最小值为－5.
故x＋y的取值范围是[－5,5]，
观察选项，B，C均符合题意．故选BC.
11．已知图中∠AOC＋2∠BOC＝180°，||＝||，BC∥OA，P为图中的阴影中(含边界)任意点，并且＝x＋y，下列命题正确的是( )
A．0≤x＋y≤1
B．|x|＋|y|≤x2＋y2
C．x2＋y2≤2
D．存在无数个点P，使得y＝1
答案 ACD
解析 当点P在OB上时，|x|＝|y|，x＋y＝0，当点P在△OBC内时，|x|<|y|，x<0,0x2＋y2，故B错误，对于D，如图，点P可以是线段BC上任意一点，都使y＝1，故D正确．故选ACD.
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，则下列说法正确的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(b⊙a)2＝|a|2|b|2
答案 AC
解析 对于A，若a与b共线，则有a⊙b＝mq－np＝0，故A正确；对于B，因为b⊙a＝pn－qm，而a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a，故B错误；对于C，(λa)⊙b＝λqm－λpn，而λ(a⊙b)＝λ(qm－pn)＝λqm－λpn，故C正确；对于D，(a⊙b)2＋(b⊙a)2＝(qm－pn)2＋(pn－qm)2≠(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，D错误．故选AC.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋2＋＝2，则△PBC与△ABC的面积之比是________．
答案
解析 因为＋2＋＝2，所以＋2＋＝2－2，所以＝－3＝3，即P是AC边的一个四等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式知，＝＝.
14．如图所示，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
答案
解析 设AB＝a，AD＝b(a≠0，b≠0)，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，M，N，则＝，＝，＝，又＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，即＝λ1＋λ2，则即解得所以λ1＋λ2＝.
15.
向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.
答案 －1
解析 以a，b的公共起点为原点建立平面直角坐标系如图，
则a＝(2,2)，b＝(6,2)，
c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
即(－1，－3)＝λ(2,2)＋μ(6,2)＝(2λ＋6μ，2λ＋2μ)，
∴解得∴λμ＝－1.
16．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的取值范围是________．
答案 2 (0,4)
解析 因为－＋＝＋＋＝，
又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.
又因为＝＋，且在菱形ABCD中，||＝2，
所以|||－|||<||＝|＋|<||＋|A|，即0<||<4.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a，b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)求实数k，使ka＋b与2a＋kb共线．
解 (1)证明：＝a＋b，＝＋＋＝6a＋6b，显然＝.
故∥，又与有公共点A，
故A，B，D三点共线．
(2)若ka＋b∥2a＋kb，必存在实数λ，使得ka＋b＝λ(2a＋kb)，整理得ka＋b＝2λa＋λkb，
又a与b不共线，故得＝即k＝±.
当k＝时，ka＋b＝a＋b,2a＋kb＝2a＋b，
此时ka＋b∥2a＋kb，
同理可验证k＝－时亦符合题意．
故k＝±.
18．(本小题满分12分)如图，设四边形ABCD的两条对角线AC，BD的中点分别是E，F.求证：|AB－CD|≤EF<(AB＋CD)．
证明 ∵＝＋＋，＝＋＋，
∴2＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴＋＝0，＋＝0，∴＝(＋)．
∵|||－|||≤|＋|<||＋||，
∴|||－|||≤||<(||＋||)，
即|AB－CD|≤EF<(AB＋CD)．
19．(本小题满分12分)已知：如图，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0.
求证：l＝m＝n.
证明 设＝a，＝b为基底．
由已知得＝la，＝mb，
∵＝＋＝－a－b，
∴＝n＝－na－nb，
∴＝＋＝(l－1)a－b，①
＝＋＝a＋mb，②
＝＋＝－na＋(1－n)b，③
将①②③代入＋＋＝0，得(l－n)a＋(m－n)b＝0，∵a，b不共线，∴l－n＝0，m－n＝0，即l＝m＝n.
20．(本小题满分12分)已知四边形ABCD的顶点坐标为A(4，－1)，B(3,4)，D(1，－2)，且＝λ(λ>0)．
(1)若点C在第一象限，求实数λ的取值范围；
(2)若点M为直线AC外一点，且＝＋，问实数λ为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点．
解 (1)因为A(4，－1)，B(3,4)，所以＝(－1,5)，
设点C的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y＋2)，
而＝λ(λ>0)，所以
解得
因为点C在第一象限，所以1<λ<.
(2)由＝＋得
2(－)＝3(－)，
即2＝3，若点P恰为四边形ABCD对角线的交点且＝λ(λ>0)，则＝λ，所以λ＝.
21．(本小题满分12分)已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
解 (1)＝(2x,1)－(x,0)＝(x,1)，
＝(6,2x)－(2，x)＝(4，x)．
若向量与共线，则x2－4×1＝0，故x＝±2.
∴当x＝±2时，向量与共线．
(2)当x＝2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，＝(4,1)－(2,0)＝(2,1)，＝(2,2)－(2,0)＝(0,2)．
∵2×2－0×1≠0，∴向量与不共线，
∴点A，B，C不在一条直线上，
∴点A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，A(－2,0)，B(－4,1)，C(2，－2)，
＝(－4,1)－(－2,0)＝(－2,1)，
＝(2，－2)－(－2,0)＝(4，－2)．
∵(－2)×(－2)－4×1＝0，
∴向量与共线，
∵AB与AC有公共点A，
∴点A，B，C在一条直线上．
又向量与共线，∴AB与CD平行或重合．
又A，B，C在一条直线上，
∴点A，B，C，D在一条直线上．
综上，当x＝2时，向量与共线，但点A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，向量与共线，且点A，B，C，D在一条直线上．
22．(本小题满分12分)如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
(1)求AO∶OF与CO∶OE的值；
(2)证明AF，BD，CE交于一点O.
解 (1)因为＝＋＝＋，又因为E，F都是中点，所以＋＝＋＝2＋2＝2.
另外，＝＋，所以＋＝2＋2.
设＝s，＝t，
则有s－t＝2＋2，
即(s－2)＝(t－2).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1.
(2)证明：要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可．
由(1)可知，＝＋，
＝＋＝＋＝－
＝－＝(＋)，
又＝(＋)，所以∥，又与有公共点B，
所以B，O，D三点共线，故AF，BD，CE交于一点．
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
2．如图所示，已知＝3，＝3，则向量与的关系为( )
A．共线
B．同向
C．共线且同向
D．共线、同向，且的长度是的3倍
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
4．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
5．已知平面内M，N，P三点满足－＋＝0，则下列说法正确的是( )
A．M，N，P是一个三角形的三个顶点
B．M，N，P是一条直线上的三个点
C．M，N，P是平面内的任意三个点
D．以上都不对
6．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是( )
A．
B．
C．－3
D．0
7．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为( )
A．(2,4)
B．(2,2)
C．(4,1)
D．(4,4)
8．在△ABC中，＝，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N.若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝( )
A．1
B．
C．
D．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.
如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，||＝2||，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( )
A．－＝
B．＋＋＋＝0
C．|＋2|＝0
D．＝＋
10．如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点F，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值可能是( )
A．－6
B．1
C．5
D．9
11．已知图中∠AOC＋2∠BOC＝180°，||＝||，BC∥OA，P为图中的阴影中(含边界)任意点，并且＝x＋y，下列命题正确的是( )
A．0≤x＋y≤1
B．|x|＋|y|≤x2＋y2
C．x2＋y2≤2
D．存在无数个点P，使得y＝1
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，则下列说法正确的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(b⊙a)2＝|a|2|b|2
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋2＋＝2，则△PBC与△ABC的面积之比是________．
14．如图所示，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
15.
向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.
16．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a，b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)求实数k，使ka＋b与2a＋kb共线．
18．(本小题满分12分)如图，设四边形ABCD的两条对角线AC，BD的中点分别是E，F.求证：|AB－CD|≤EF<(AB＋CD)．
19．(本小题满分12分)已知：如图，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0.
求证：l＝m＝n.
20．(本小题满分12分)已知四边形ABCD的顶点坐标为A(4，－1)，B(3,4)，D(1，－2)，且＝λ(λ>0)．
(1)若点C在第一象限，求实数λ的取值范围；
(2)若点M为直线AC外一点，且＝＋，问实数λ为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点．
21．(本小题满分12分)已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
22．(本小题满分12分)如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
(1)求AO∶OF与CO∶OE的值；
(2)证明AF，BD，CE交于一点O.
第六章 单元质量测评
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
答案 A
解析 ＝－，＝(－4，－3)，＝(3,1)，故＝(－7，－4)．
2．如图所示，已知＝3，＝3，则向量与的关系为( )
A．共线
B．同向
C．共线且同向
D．共线、同向，且的长度是的3倍
答案 D
解析 由题意，知＝＋，＝＋＝3＋3＝3，故选D.
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
答案 D
解析 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，则6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.
4．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝( )
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
答案 D
解析 由题意知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．
5．已知平面内M，N，P三点满足－＋＝0，则下列说法正确的是( )
A．M，N，P是一个三角形的三个顶点
B．M，N，P是一条直线上的三个点
C．M，N，P是平面内的任意三个点
D．以上都不对
答案 C
解析 因为－＋＝＋＋＝＋＝0，所以－＋＝0对任意情况是恒成立的．故M，N，P是平面内的任意三个点．故选C.
6．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是( )
A．
B．
C．－3
D．0
答案 D
解析 如图，连接AD，∵＝2，
∴＝，又＝－，∴＝－，
∴＝－，又＝r＋s，
∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.故选D.
7．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为( )
A．(2,4)
B．(2,2)
C．(4,1)
D．(4,4)
答案 A
解析 ∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2.
设点D的坐标为(x，y)．∵＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得故点D的坐标为(2,4)．
8．在△ABC中，＝，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N.若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝( )
A．1
B．
C．
D．
答案 C
解析 ∵＝，∴AD＝AB.∵DE∥BC，∴AE＝AC.又M为BC的中点，∴N为DE的中点．∴＝(＋)＝＝＋，∴x＝y＝，∴x＋y＝＋＝.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.
如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，||＝2||，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( )
A．－＝
B．＋＋＋＝0
C．|＋2|＝0
D．＝＋
答案 ABC
解析 对于A，－＝＝，A正确；对于B，利用向量的线性运算可知，B正确；对于C，由于＝＝，所以＋2＝0，故|＋2|＝0，C正确；对于D，＝＝(＋)＝(＋＋＋)＝(＋2)＝＋，D错误．故选ABC.
10．如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点F，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值可能是( )
A．－6
B．1
C．5
D．9
答案 BC
解析 设＝a，＝b，求x＋y的最大值，只需考虑如图中6个顶点的向量即可，讨论如下：
(1)∵＝a，∴(x，y)＝(1,0)；
(2)∵＝＋＝b＋3a，∴(x，y)＝(3,1)；
(3)∵＝＋＝b＋2a，
∴(x，y)＝(2,1)；
(4)∵＝＋＋＝b＋a＋(b＋2a)＝3a＋2b，
∴(x，y)＝(3,2)；
(5)∵＝＋＝b＋a，∴(x，y)＝(1,1)；
(6)∵＝b，∴(x，y)＝(0,1)，
∴x＋y的最大值为3＋2＝5.
根据其对称性，可知x＋y的最小值为－5.
故x＋y的取值范围是[－5,5]，
观察选项，B，C均符合题意．故选BC.
11．已知图中∠AOC＋2∠BOC＝180°，||＝||，BC∥OA，P为图中的阴影中(含边界)任意点，并且＝x＋y，下列命题正确的是( )
A．0≤x＋y≤1
B．|x|＋|y|≤x2＋y2
C．x2＋y2≤2
D．存在无数个点P，使得y＝1
答案 ACD
解析 当点P在OB上时，|x|＝|y|，x＋y＝0，当点P在△OBC内时，|x|<|y|，x<0,0
12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，则下列说法正确的是( )
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(b⊙a)2＝|a|2|b|2
答案 AC
解析 对于A，若a与b共线，则有a⊙b＝mq－np＝0，故A正确；对于B，因为b⊙a＝pn－qm，而a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a，故B错误；对于C，(λa)⊙b＝λqm－λpn，而λ(a⊙b)＝λ(qm－pn)＝λqm－λpn，故C正确；对于D，(a⊙b)2＋(b⊙a)2＝(qm－pn)2＋(pn－qm)2≠(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，D错误．故选AC.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋2＋＝2，则△PBC与△ABC的面积之比是________．
答案
解析 因为＋2＋＝2，所以＋2＋＝2－2，所以＝－3＝3，即P是AC边的一个四等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式知，＝＝.
14．如图所示，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
答案
解析 设AB＝a，AD＝b(a≠0，b≠0)，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，M，N，则＝，＝，＝，又＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，即＝λ1＋λ2，则即解得所以λ1＋λ2＝.
15.
向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.
答案 －1
解析 以a，b的公共起点为原点建立平面直角坐标系如图，
则a＝(2,2)，b＝(6,2)，
c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
即(－1，－3)＝λ(2,2)＋μ(6,2)＝(2λ＋6μ，2λ＋2μ)，
∴解得∴λμ＝－1.
16．已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的取值范围是________．
答案 2 (0,4)
解析 因为－＋＝＋＋＝，
又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.
又因为＝＋，且在菱形ABCD中，||＝2，
所以|||－|||<||＝|＋|<||＋|A|，即0<||<4.
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a，b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)求实数k，使ka＋b与2a＋kb共线．
解 (1)证明：＝a＋b，＝＋＋＝6a＋6b，显然＝.
故∥，又与有公共点A，
故A，B，D三点共线．
(2)若ka＋b∥2a＋kb，必存在实数λ，使得ka＋b＝λ(2a＋kb)，整理得ka＋b＝2λa＋λkb，
又a与b不共线，故得＝即k＝±.
当k＝时，ka＋b＝a＋b,2a＋kb＝2a＋b，
此时ka＋b∥2a＋kb，
同理可验证k＝－时亦符合题意．
故k＝±.
18．(本小题满分12分)如图，设四边形ABCD的两条对角线AC，BD的中点分别是E，F.求证：|AB－CD|≤EF<(AB＋CD)．
证明 ∵＝＋＋，＝＋＋，
∴2＝(＋)＋(＋)＋(＋)．
∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴＋＝0，＋＝0，∴＝(＋)．
∵|||－|||≤|＋|<||＋||，
∴|||－|||≤||<(||＋||)，
即|AB－CD|≤EF<(AB＋CD)．
19．(本小题满分12分)已知：如图，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0.
求证：l＝m＝n.
证明 设＝a，＝b为基底．
由已知得＝la，＝mb，
∵＝＋＝－a－b，
∴＝n＝－na－nb，
∴＝＋＝(l－1)a－b，①
＝＋＝a＋mb，②
＝＋＝－na＋(1－n)b，③
将①②③代入＋＋＝0，得(l－n)a＋(m－n)b＝0，∵a，b不共线，∴l－n＝0，m－n＝0，即l＝m＝n.
20．(本小题满分12分)已知四边形ABCD的顶点坐标为A(4，－1)，B(3,4)，D(1，－2)，且＝λ(λ>0)．
(1)若点C在第一象限，求实数λ的取值范围；
(2)若点M为直线AC外一点，且＝＋，问实数λ为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点．
解 (1)因为A(4，－1)，B(3,4)，所以＝(－1,5)，
设点C的坐标为(x，y)，则＝(x－1，y＋2)，
而＝λ(λ>0)，所以
解得
因为点C在第一象限，所以1<λ<.
(2)由＝＋得
2(－)＝3(－)，
即2＝3，若点P恰为四边形ABCD对角线的交点且＝λ(λ>0)，则＝λ，所以λ＝.
21．(本小题满分12分)已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
解 (1)＝(2x,1)－(x,0)＝(x,1)，
＝(6,2x)－(2，x)＝(4，x)．
若向量与共线，则x2－4×1＝0，故x＝±2.
∴当x＝±2时，向量与共线．
(2)当x＝2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，＝(4,1)－(2,0)＝(2,1)，＝(2,2)－(2,0)＝(0,2)．
∵2×2－0×1≠0，∴向量与不共线，
∴点A，B，C不在一条直线上，
∴点A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，A(－2,0)，B(－4,1)，C(2，－2)，
＝(－4,1)－(－2,0)＝(－2,1)，
＝(2，－2)－(－2,0)＝(4，－2)．
∵(－2)×(－2)－4×1＝0，
∴向量与共线，
∵AB与AC有公共点A，
∴点A，B，C在一条直线上．
又向量与共线，∴AB与CD平行或重合．
又A，B，C在一条直线上，
∴点A，B，C，D在一条直线上．
综上，当x＝2时，向量与共线，但点A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，向量与共线，且点A，B，C，D在一条直线上．
22．(本小题满分12分)如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
(1)求AO∶OF与CO∶OE的值；
(2)证明AF，BD，CE交于一点O.
解 (1)因为＝＋＝＋，又因为E，F都是中点，所以＋＝＋＝2＋2＝2.
另外，＝＋，所以＋＝2＋2.
设＝s，＝t，
则有s－t＝2＋2，
即(s－2)＝(t－2).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1.
(2)证明：要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可．
由(1)可知，＝＋，
＝＋＝＋＝－
＝－＝(＋)，
又＝(＋)，所以∥，又与有公共点B，
所以B，O，D三点共线，故AF，BD，CE交于一点．