第一讲
集合
一、导入
从小学到初中，我们已经接触过一些集合，举例说明：（1）自然数组成的数的集合；
（2）到定点的距离等于定长的点的集合，即为圆；
（3）能被2整除的整数的集合，即为偶数等等。为了更加有效的使用集合语言，我们需要学习有关集合的更多的知识。
二、知识讲解
知识点1
集合的含义与表示
1.集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，···表示。
把一些元素组成的总体叫做集合，通常用大写字母...表示.
2.集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
3.元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和.
4.常见数集的符号表示：
5.集合的表示法：列举法、描述法。
（1）列举法：
把集合中所有的元素都一一列举出来的，并用括起来表示集合的方法叫做列举法。
举例：小于10的所有正整数的集合
描述法：
一般地，设是一个集合，我们把集合中所具有的共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法为描述法。
举例：表示奇数集合与偶数集合
奇数集合；偶数集合
1、集合间的基本关系
表示关系
文字语言
记法
基本关系
子集
集合中的任意一个元素都是集合中的元素，我们就说集合是集合的子集。（包含于或包含）
真子集
集合是集合的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A
或
相等
集合的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
2、集合子集的个数的确定方法：
集合A中有个元素，则集合A有个子集、有个真子集、有个非空子集、有个非空真子集．
1、交集、并集、补集
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不含属于A的元素组成的集合
{x|x∈U，x?A}
2、集合的运算性质
（1）并集的性质：
（2）交集的性质：
（3）补集的性质
【题干】（1）下面给出的四类对象中，构成集合的是
某班个子较高的同学
B．大于2的整数
C．的近似值
D．长寿的人
【答案】解：“某班个子较高的同学”不能构成集合．这种描述方法描述的对象不确定
“大于2的整数”能够构成集合．它是一个明确的数集；“的近似值”不能构成集合．因为没有给出精确程度，没法判定．“长寿的人”不能构成集合．因为年龄多大归长寿没有标准，所以“长寿的人”所含的对象不确定，所以不能构成集合．
【解析】B
【题干】（2）若集合，，、、中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【解析】根据集合元素的互异性可知：，及三个元素互不相等，
若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形．
【题干】（3）下列四个关系式中，正确的是
A．
B．
C．，
D．，
【答案】D
【解析】解：、应该是，故不对；、应是，故不对；
、元素与集合的关系，应是，，故不对；
、因集合，中有元素，故正确．
【题干】（1）下列各式中，正确的个数是
①，1，；②，1，，1，；③，1，；
④；⑤，；⑥．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此，1，，不正确，应该为，1，；
②，1，，1，，正确；
③，1，，正确；
④不含有元素，因此；
⑤，与的元素形式不一样，因此不正确；
⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，因此不正确．
综上只有：②，③正确．
【题干】（2）已知集合，，，0，，若，则的值为
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【解析】解：集合，，，0，，，
，解得．
【题干】（3）设集合，，若，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：在数轴上画出图形易得．故选：．
【题干】（1）集合，2，的真子集共有
A．5
个
B．6
个
C．7
个
D．8
个
【答案】C
【解析】解：集合，2，的真子集共有：个．
【题干】（2）满足，2，3，4，的集合有
A．15个
B．16个
C．18个
D．31个
【答案】A
【解析】根据子集的定义，可得集合必定含有1这个元素，可能含有2、3、4、5，但不能是，2，3，4，．因此，满足条件的集合有：个．
【题干】（1）设全集，，，0，1，2，，集合，0，1，，，0，2，，则
A．，
B．，
C．，
D．，，，1，3
【答案】C
【解析】，，，，
【题干】（2）设集合，，3，5，，，则
A．，3，
B．，
C．，
D．，3，5，
【答案】A
【解析】，，3，5，，，，，3，．
【题干】（3）全集，，0，1，2，，集合，，，，
A．，
B．，1，
C．，，
D．，，0，
【答案】C
【解析】解：因为全集，，0，1，2，，集合，，，，，，1，；则，，；
【题干】（1）已知集合，，若中只有一个元素，则的取值是 ．
【答案】：或
【解析】当时，，符合题意；
当时，令△，解得，代入得，符合题意；或
【题干】（2）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】故答案为：
【解析】①若，则；；
②若，则应满足：，解得；综上得；
【教学建议】
在对课堂知识讲解完，把握了重点突破了难点以及练习精讲了之后，再用练习进行课堂检测，根据学生情况建议分3个难度层次：易，中，难。
1、下列各项中，不可以组成集合的是
A．所有的正数
B．等于2的数
C．接近于0的数
D．不等于0的偶数
2、已知集合，，，若，则实数的值为
A．
B．
C．或
D．或
3、方程组解的集合是
A．，
B．，
C．，
D．
4、设集合，2，，，3，，则真子集的个数
A．，
B．，2，3，
C．3
D．4
5、若，，则
A．
B．
C．
D．
1、若集合，下列关系式中成立的为
A．
B．
C．
D．
2、全集，1，2，3，4，，集合，，集合，则集合
A．，2，3，
B．，3，
C．
D．
3、已知集合，，0，1，，则
A．，0，
B．，
C．，
D．，0，1，
4、已知集合，，，4，，，则
A．，，
B．，4，
C．，，，，0，1，2，3，4，
D．，
5、用列举法表示集合
已知集合，为整数集，则集合的子集个数为 ．
2、含有3个实数的集合可表示为，，，又可表示为，，，则 ．
3、已知集合，且，若，则的取值范围是 ．
4、定义集合、的一种运算：，，，若，2，，，，则集合的真子集个数为
个．
5、已知集合．
（Ⅰ）若，，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，，求实数的取值范围．
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通过本节课的学习，学生应该掌握集合的概念与表示，集合的基本关系，集合的基本运算，课后需要通过练习巩固课上所学知识，真正做到学以致用。
1、已知全集，2，3，，集合，，，则
A．
B．
C．，
D．，3，
2、已知集合，，则
A．
B．
C．
D．
3、设集合，0，，，2，，，则
A．
B．，
C．，
D．，0，
4、集合，2，3，4，5，，，2，3，，，4，，则
A．
B．，
C．，
D．，2，3，4，
5、已知全集是小于7的正整数，集合，3，，集合，3，4，，则
A．
B．，3，
C．，4，
D．，
1、已知集合，，若，则的值为 ．
2、若，2，3，，，，用列举法表示 ．
3、集合，，，，，，若，相等，则实数 ．
4、已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
5、集合，，，则的取值范围是， ．
1、已知集合，4，，集合，，若，则实数 ．
2、设全集，，0，1，2，，若，则集合的个数是 ．
3、设，，，，
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围
（3）若，求的取值范围
4、已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
5、已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．第一讲
集合
一、导入
从小学到初中，我们已经接触过一些集合，举例说明：（1）自然数组成的数的集合；
（2）到定点的距离等于定长的点的集合，即为圆；
（3）能被2整除的整数的集合，即为偶数等等。为了更加有效的使用集合语言，我们需要学习有关集合的更多的知识。
1.集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，···表示。
把一些元素组成的总体叫做集合，通常用大写字母...表示.
2.集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
3.元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和.
4.常见数集的符号表示：
5.集合的表示法：列举法、描述法。
（1）列举法：
把集合中所有的元素都一一列举出来的，并用括起来表示集合的方法叫做列举法。
举例：小于10的所有正整数的集合
描述法：
一般地，设是一个集合，我们把集合中所具有的共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法为描述法。
举例：表示奇数集合与偶数集合
奇数集合；偶数集合
1、集合间的基本关系
表示关系
文字语言
记法
基本关系
子集
集合中的任意一个元素都是集合中的元素，我们就说集合是集合的子集。（包含于或包含）
真子集
集合是集合的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A
或
相等
集合的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
2、集合子集的个数的确定方法：
集合A中有个元素，则集合A有个子集、有个真子集、有个非空子集、有个非空真子集．
1、交集、并集、补集
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于A且属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A或属于B的元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中不含属于A的元素组成的集合
{x|x∈U，x?A}
2、集合的运算性质
（1）并集的性质：
（2）交集的性质：
（3）补集的性质
【教学建议】
此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。
【题干】（1）下面给出的四类对象中，构成集合的是
某班个子较高的同学
B．大于2的整数
C．的近似值
D．长寿的人
【答案】解：“某班个子较高的同学”不能构成集合．这种描述方法描述的对象不确定
“大于2的整数”能够构成集合．它是一个明确的数集；“的近似值”不能构成集合．因为没有给出精确程度，没法判定．“长寿的人”不能构成集合．因为年龄多大归长寿没有标准，所以“长寿的人”所含的对象不确定，所以不能构成集合．
【解析】B
【题干】（2）若集合，，、、中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【解析】根据集合元素的互异性可知：，及三个元素互不相等，
若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形．
【题干】（3）下列四个关系式中，正确的是
A．
B．
C．，
D．，
【答案】D
【解析】解：、应该是，故不对；、应是，故不对；
、元素与集合的关系，应是，，故不对；
、因集合，中有元素，故正确．
【题干】（1）下列各式中，正确的个数是
①，1，；②，1，，1，；③，1，；
④；⑤，；⑥．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此，1，，不正确，应该为，1，；
②，1，，1，，正确；
③，1，，正确；
④不含有元素，因此；
⑤，与的元素形式不一样，因此不正确；
⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，因此不正确．
综上只有：②，③正确．
【题干】（2）已知集合，，，0，，若，则的值为
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【解析】解：集合，，，0，，，
，解得．
【题干】（3）设集合，，若，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：在数轴上画出图形易得．故选：．
【题干】（1）集合，2，的真子集共有
A．5
个
B．6
个
C．7
个
D．8
个
【答案】C
【解析】解：集合，2，的真子集共有：个．
【题干】（2）满足，2，3，4，的集合有
A．15个
B．16个
C．18个
D．31个
【答案】A
【解析】根据子集的定义，可得集合必定含有1这个元素，可能含有2、3、4、5，但不能是，2，3，4，．因此，满足条件的集合有：个．
【题干】（1）设全集，，，0，1，2，，集合，0，1，，，0，2，，则
A．，
B．，
C．，
D．，，，1，3
【答案】C
【解析】，，，，
【题干】（2）设集合，，3，5，，，则
A．，3，
B．，
C．，
D．，3，5，
【答案】A
【解析】，，3，5，，，，，3，．
【题干】（3）全集，，0，1，2，，集合，，，，
A．，
B．，1，
C．，，
D．，，0，
【答案】C
【解析】解：因为全集，，0，1，2，，集合，，，，，，1，；则，，；
【题干】（1）已知集合，，若中只有一个元素，则的取值是 ．
【答案】：或
【解析】当时，，符合题意；
当时，令△，解得，代入得，符合题意；或
【题干】（2）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】故答案为：
【解析】①若，则；；
②若，则应满足：，解得；综上得；
【教学建议】
在对课堂知识讲解完，把握了重点突破了难点以及练习精讲了之后，再用练习进行课堂检测，根据学生情况建议分3个难度层次：易，中，难。
1、下列各项中，不可以组成集合的是
A．所有的正数
B．等于2的数
C．接近于0的数
D．不等于0的偶数
【答案】C
【解析】解：集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性
“接近于0的数”是不确定的元素
故接近于0的数不能组成集合
2、已知集合，，，若，则实数的值为
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【解析】解：由实数，
①若，则．．，满足集合元素的互异性；
②若，则，此时，，，满足集合元素的互异性；
综上可知：或．因此正确答案为．
3、方程组解的集合是
A．，
B．，
C．，
D．
【答案】D
【解析】解：由，解得方程组解的集合只有一个元素
因此所求解集合为
4、设集合，2，，，3，，则真子集的个数
A．，
B．，2，3，
C．3
D．4
【答案】C
【解析】解：，2，，，3，，，，
真子集的个数为．
5、若，，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：因为，，，；选项、都错误；
又，，
1、若集合，下列关系式中成立的为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：根据集合中的不等式可知0是集合的元素即，则
2、全集，1，2，3，4，，集合，，集合，则集合
A．，2，3，
B．，3，
C．
D．
【答案】A
【解析】解：，1，2，3，4，，，，，
，2，3，，，2，3，．故选：．
3、已知集合，，0，1，，则
A．，0，
B．，
C．，
D．，0，1，
【答案】A
【解析】解：，，0，1，，，0，．
故选：．
4、已知集合，，，4，，，则
A．，，
B．，4，
C．，，，，0，1，2，3，4，
D．，
【答案】D
【解析】解：集合，，，4，，
，，
5、用列举法表示集合
【答案】故答案为：，，6，3，2，．
【解析】解：根据，且可得：
时，；时，；时，；
时，；时，；时，；
，，6，3，2，．
1、已知集合，为整数集，则集合的子集个数为 ．
【答案】8
【解析】解：集合，为整数集，
，1，，集合的子集个数为：．
2、含有3个实数的集合可表示为，，，又可表示为，，，则 ．
【答案】
【解析】解：，，，，，，
此时：，0，，，，且，，
此时：，0，，，，符合题意，，
3、已知集合，且，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】题意得，有，转化为，解得，
4、定义集合、的一种运算：，，，若，2，，，，则集合的真子集个数为
个．
【答案】31
【解析】解：由题意：，2，，，，新定义：，，，那么：组合有：、，、，、，、，、，、有5个不同的元素．真子集个数为个．
5、已知集合．
（Ⅰ）若，，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，，求实数的取值范围．
【答案】(1)实数的取值范围为：；(2)实数的取值范围为：．
【解析】解：集合，
（Ⅰ），，解得：，
（Ⅱ），
①当时，，即，
②当时，，解得：，综上所述，的取值范围为：
【教学建议】
此处内容主要用于教师对本节课重点内容进行总结，一方面是对本节课的重点难点内容的回顾，更重要的是针对这节课学生出现的问题再次进行复习提问等，以达到让学生课上掌握的目的，同时可以对下节课内容进行简单的铺垫，以体现出本节课内容与下节课内容之间的关系。
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通过本节课的学习，学生应该掌握集合的概念与表示，集合的基本关系，集合的基本运算，课后需要通过练习巩固课上所学知识，真正做到学以致用。
【教学建议】
教师根据学生掌握情况有针对性的进行课后作业的布置，掌握好的同学可以适当的布置难度大一些的作业，成绩一般的同学可以以基础题和巩固题目为主，但是一定要控制作业的数量，给学生布置的作业一般不要超过5题，这样学生才能保证做题的质量。
1、已知全集，2，3，，集合，，，则
A．
B．
C．，
D．，3，
【答案】B
【解析】全集，2，3，，集合，，，，
2、已知集合，，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】解：由已知，集合，，所以．
3、设集合，0，，，2，，，则
A．
B．，
C．，
D．，0，
【答案】B
【解析】，0，1，2，，，．
4、集合，2，3，4，5，，，2，3，，，4，，则
A．
B．，
C．，
D．，2，3，4，
【答案】A
【解析】，2，3，4，
集合，2，3，4，5，，所以集合．
5、已知全集是小于7的正整数，集合，3，，集合，3，4，，则
A．
B．，3，
C．，4，
D．，
【答案】D
【解析】解：由已知，，所以，，
1、已知集合，，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】解：，或；
当时，，，根据集合中元素的互异性，不合题意；
当时，或，时，，，符合题意．综上
2、若，2，3，，，，用列举法表示 ．
【答案】故答案为，9，
【解析】解：由题，，2，3，，，，，9，，
3、集合，，，，，，若，相等，则实数 1 ．
【答案】1
【解析】解：由集合相等的概念得，解得，经检验成立，故答案为：1．
4、已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：集合，，若，
5、集合，，，则的取值范围是， ．
【答案】故答案为：
【解析】集合，，，，
1、已知集合，4，，集合，，若，则实数 ．
【答案】故答案为：．
【解析】，或，解得或，
当时，，4，，，，满足条件；
当时，，4，，不满足元素的互异性，故．实数．
2、设全集，，0，1，2，，若，则集合的个数是 ．
【答案】4
【解析】全集，，0，1，2，3，，，0，1，2，，，，
，则集合，，，，，因此满足条件的集合的个数是4．
3、设，，，，
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围
（3）若，求的取值范围
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】解：（1）因为，所以，
（2）因为，所以
（3）①，则，时，，，恒成立；
②，因为，所以或，解得或，
4、已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）实数的取值范围
【解析】解：（1）当时，，．
（2）①当时，，，成立，
②当，即时，
5、已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或．
（2）实数的取值范围是
【解析】（1），，或．
，
所以或．
（2）当时，由得，所以解得；
当，即时，有，得．综上，实数的取值范围是
