2020-2021学年山东省烟台市龙口市西片九年级（下）期中数学试卷（五四学制）（Word版含解析）

2020-2021学年山东省烟台市龙口市西片九年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）.
1．下列计算中，正确的是（　　）
A．+＝
B．（）2020?（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图
B．笛卡尔心形线
C．科克曲线
D．斐波那契螺旋线
3．如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（　　）
A．a，b均无限制
B．a＞0，b＞DE的长
C．a有最小限制，b无限制
D．a≥0，b＜DE的长
4．用四舍五入法将130542精确到千位，正确的是（　　）
A．131000
B．0.131×106
C．1.31×105
D．13.1×104
5．两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为4，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（　　）
A．平均年龄为13岁，方差改变
B．平均年龄为15岁，方差不变
C．平均年龄为15岁，方差改变
D．平均年龄不变，方差不变
6．利用如图所示的计算器进行计算，下列说法正确的是（　　）
A．按DEC键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号
B．在计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是sin
C．按2ndF
x2键可求出一个数的倒数的平方
D．要将最终答案存储起来，可按键＝键
7．如图，在平面直角坐标系中，点A、C在反比例函数y＝的图象上，点B、D在反比例函数y＝的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB＝2，CD＝2，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，若组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最大值为（　　）
A．9
B．10
C．12
D．14
9．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2）
B．（﹣12，﹣8）
C．（﹣3，﹣2）或（3，2）
D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
10．如图，在△ABC中，BC＝4，将△ABC平移7个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于（　　）
A．9
B．4
C．2
D．5
11．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列五个结论：
①3a+2b+c＜0；
②3a+c＜b2﹣4ac；
③方程2ax2+2bx+2c﹣4＝0没有实数根；
④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）．
⑤若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；
其中正确结论的个数是（　　）
A．4个
B．2个
C．3个
D．1个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．已知+2＝b+8，则的值是　
　．
14．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2019＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　
　．
15．关于x的方程+＝无解，则a＝　
　．
16．如图，AB是⊙O的直径，E是OB的中点，过E点作弦CD⊥AB，G是弧AC上任意一点，连接AG、GD，则∠G＝　
　．
17．如图，在正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，做正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，做正方形A2B2C2B3；延长C2B3交直线l于点A3，…，依此规律，则A2023B2023＝　
　．
18．为了贯彻习近平总书记“促进乡村全面振兴、实现农业农村现代化”的指示，某农机组织推广建立横截面为弓形的一种全新的全封闭式塑料薄膜蔬菜大棚，如图所示，已知棚高AD＝2m，底部BC＝m，大棚的长度BE＝30m，如果不考虑塑料薄膜接头重合及埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需要用塑料薄膜的面积是　
　m2．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）
19．先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣3＝0．
20．“为自己和他人的生命健康与安全加份保险﹣﹣让救护知识走进千万家”的声音正从医务界响彻全社会，学习并掌握急救护理知识成为现代社会的新时尚．为了解学生对急救护理知识的掌握程度，甲、乙两个学校各组织了急救护理知识测试（同份题），现从两校各随机抽取20名学生的测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，共分成四组：A.60≤x≤69，B.70≤x≤79，C80≤x≤89，D.90≤x≤100）下面给出了部分信息：
a．甲校学生的测试成绩是：
78
86
74
80
75
76
87
70
75
90
75
80
80
70
74
80
86
69
84
77
b．乙校学生的测试成绩在B组中的数据是：73
77
70
73
78
70
c．乙校学生测试成绩的扇形统计图及甲、乙两所学校学生测试成绩的平均数、中位数．众数：
甲校
乙校
平均数
78.3
78.3
中位数
n
80
众数
80
81
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝　
　，n＝　
　，扇形统计图中，C组所占扇形圆心角的度数是　
　；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两所学校中，哪所学校的学生对急救护理知识掌握的比较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）通过此次急救护理知识测试，小明对医学产生了很大的兴趣，他准备从基础医学、临床医学、法医学、预防医学这四类中随机选择两类进行更加细致地研读学习，请用树状图或表格求他选中的两类医学中包括法医学的概率．
21．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝130mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）
22．由于秋冬季节容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病，某商场的一款空气净化器的特别畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）与售价x（元/台）是一次函数关系，如图所示：
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量取值范围）；
（2）某月该商场出售这种空气净化器获得了21000元的利润，该空气净化器的售价是多少？
（3）若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于650台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是多少？
23．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝15，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
24．点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是
　
　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF，AE，OE之间的关系．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）.
1．下列计算中，正确的是（　　）
A．+＝
B．（）2020?（）2021＝+
C．＝﹣5
D．2﹣2＝
【分析】根据同类二次根式的概念、二次根式的运算法则和性质逐一判断即可．
解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．（）2020?（）2021＝[（）（）]2020?（+）＝（﹣1）2020?（+）＝+，此选项正确；
C．＝|﹣5|＝5，此选项错误；
D．2与2不是同类二次根式，此选项错误；
故选：B．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图
B．笛卡尔心形线
C．科克曲线
D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；
第三步：画射线BP．射线BP即为所求．
下列正确的是（　　）
A．a，b均无限制
B．a＞0，b＞DE的长
C．a有最小限制，b无限制
D．a≥0，b＜DE的长
【分析】根据角平分线的画法判断即可．
解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于DE，否则没有交点，
故选：B．
4．用四舍五入法将130542精确到千位，正确的是（　　）
A．131000
B．0.131×106
C．1.31×105
D．13.1×104
【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可．
解：130542精确到千位是1.31×105．
故选：C．
5．两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为4，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（　　）
A．平均年龄为13岁，方差改变
B．平均年龄为15岁，方差不变
C．平均年龄为15岁，方差改变
D．平均年龄不变，方差不变
【分析】由全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了2岁，且学生的年龄波动幅度没有变化可得答案．
解：由题意知七年级（1）班全体学生的人数没有变化，而每位同学的年龄都增加了2岁，
所以今年升为九（1）班的学生的平均年龄增加2岁，即15岁，
又因为学生的年龄波动幅度没有变化，
所以今年升为九（1）班的学生年龄的方差不变，仍然为4，
故选：B．
6．利用如图所示的计算器进行计算，下列说法正确的是（　　）
A．按DEC键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号
B．在计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是sin
C．按2ndF
x2键可求出一个数的倒数的平方
D．要将最终答案存储起来，可按键＝键
【分析】根据计算器的功能按键分析解答．
解：∵按DEC键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号，
∴选项A符合题意；
∵计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是2ndf，
∴选项B不符合题意；
∵按2ndF
x2键的作用是求数的倒数，
∴选项C不符合题意；
∵要将最终答案存储起来，可按键M+键，
∴选项D不符合题意；
故选：A．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A、C在反比例函数y＝的图象上，点B、D在反比例函数y＝的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧，AB＝2，CD＝2，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，表示S△AOB和S△COD，再根据三角形的面积公式，AB与CD之间的距离为6求出答案．
解：延长AB、CD交y轴于点E、F，
∵点A、C在反比例函数y＝的图象上，点B、D在反比例函数y＝的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，
∴S△AOE＝|a|＝a＝S△COF，
S△BOE＝|b|＝b＝S△DOF，
∴S△AOB＝S△AOE﹣S△BOE＝a﹣b＝AB?OE＝OE，
S△COD＝S△COF﹣S△DOF＝a﹣b＝CD?OF＝OF，
∴S△AOB+S△COD＝a﹣b＝OE+OF＝6，
故选：D．
8．如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，若组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最大值为（　　）
A．9
B．10
C．12
D．14
【分析】由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最多的正方体的个数．
解：由题中所给出的主视图知物体共3列，且都是最高两层；由左视图知共三行，所以小正方体的个数最多的几何体为：第一列4个小正方体，第二列3个小正方体，第三列3个小正方体，n的最大值：4+3+3＝10个．
故选：B．
9．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2）
B．（﹣12，﹣8）
C．（﹣3，﹣2）或（3，2）
D．（﹣12，﹣8）或（12，8）
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点B的坐标为（﹣6，﹣4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣6×，﹣4×）或（6×，4×），即（﹣3，﹣2）或（3，2），
故选：C．
10．如图，在△ABC中，BC＝4，将△ABC平移7个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于（　　）
A．9
B．4
C．2
D．5
【分析】取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，根据平移的性质得到PP′＝7，B1C1＝BC＝4，再利用P′Q为△A1B1C1的中位线得到P′Q＝2，利用三角形三边的关系得到
∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），从而得到PQ的最小值．
解：取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，
∵△ABC平移7个单位长度得到△A1B1C1，
∴PP′＝7，B1C1＝BC＝4，
∵Q是A1C1的中点，P′为A1B1的中点，
∴P′Q为△A1B1C1的中位线，
∴P′Q＝B1C1＝2，
∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），
即7﹣2≤PQ≤7+2，
∴PQ的最小值为5．
故选：D．
11．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为，则点F到BC的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据?BD?h＝?BF?DF，求出BD即可解决问题．
解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝，
∴S△ADE＝5，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝5，∠BFD＝90°，
∴?（AF+DF）?BF＝5，
∴?（4+DF）?2＝5，
∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，则有?BD?h＝?BF?DF，
∴h＝，
故选：B．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列五个结论：
①3a+2b+c＜0；
②3a+c＜b2﹣4ac；
③方程2ax2+2bx+2c﹣4＝0没有实数根；
④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）．
⑤若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；
其中正确结论的个数是（　　）
A．4个
B．2个
C．3个
D．1个
【分析】根据函数的性质和图象即可求解．
解：①由图象可知，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，
∵对称轴x＝﹣＝﹣1，a＜0，
∴b＝2a＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，
∴3a+b+c＜0，故①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴3a+c＜0＜b2﹣4ac，故②正确，符合题意；
③∵2ax2+2bx+2c﹣4＝0，
∴ax2+bx+c＝2，
结合图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝2的交点有2个，
故③不正确，不符合题意；
④∵当x＝m（m≠﹣1）时，y＝am2+bm+c，且当x＝﹣1时，函数y取得最大值，
∴a﹣b+c＞am2+bm+c，
∴m（am+b）+b＜a，故④正确，符合题意；
⑤∵点（﹣8，y1）到对称轴的距离小于点（8，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，
故③不正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
13．已知+2＝b+8，则的值是　5　．
【分析】依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到a的值，进而得出b的值，代入计算即可得到的值．
解：由题可得，
解得，
即a＝17，
∴0＝b+8，
∴b＝﹣8，
∴＝＝5，
故答案为：5．
14．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2019＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　2017　．
【分析】由m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2019＝0的两个实数根，推出m+n＝﹣2，m2+2m﹣2019＝0，推出m2+2m＝2019，由此即可解决问题．
解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2019＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m﹣2019＝0，
∴m2+2m＝2019，
∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝2019﹣2＝2017，
故答案为2017．
15．关于x的方程+＝无解，则a＝　﹣2或﹣10或6　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x＝±5，分别求出a的值即可．
解：方程都乘以（x+5）（x﹣5）得5（x+5）+ax＝3（x﹣5），
∴（a+2）x＝﹣40，
当a+2＝0时，即a＝﹣2时，方程不成立，方程无解，符合题意；
当a+2≠0，即a≠﹣2时，
解得x＝﹣，
∵方程无解，
∴（x+5）（x﹣5）＝0，
∴x＝±5，
当x＝5时，﹣＝5，解得a＝﹣10；
当x＝﹣5时，﹣＝﹣5，解得a＝6．
∴a＝﹣2或﹣10或6．
故答案为：﹣2或﹣10或6．
16．如图，AB是⊙O的直径，E是OB的中点，过E点作弦CD⊥AB，G是弧AC上任意一点，连接AG、GD，则∠G＝　60°　．
【分析】连接OD，BD，根据含30°的直角三角形的性质和圆周角定理解答即可．
解：连接OD，BD，
∵CD⊥AB，E是OB的中点，
∴∠OED＝90°，2OE＝OD，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠G＝60°，
故答案为：60°．
17．如图，在正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，做正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，做正方形A2B2C2B3；延长C2B3交直线l于点A3，…，依此规律，则A2023B2023＝　　．
【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，再利用四边形A1B1C1B2为正方形得到A1B2＝A1B1＝，接着计算出A2B2＝A1B2＝×＝（）2，利用同理可得A2B2＝（）2，A3B3＝（）3，然后根据的指数变化规律得到A2023B2023的长度．
解：∵四边形ABCB1为正方形，
∴AB1＝AB＝1，
∵A1C∥AB，
∴∠B1A1A＝30°，
∴A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，
∵四边形A1B1C1B2为正方形，
∴A1B2＝A1B1＝，
∵A2C1∥A1B1，
∴∠B2A2A1＝30°，
∴A2B2＝A1B2＝×＝（）2，
同理可得A2B2＝（）2，A3B3＝（）3，
∴AnBn＝（）n，
∴A2023B2023＝（）2023，
故答案为：（）2023，
18．为了贯彻习近平总书记“促进乡村全面振兴、实现农业农村现代化”的指示，某农机组织推广建立横截面为弓形的一种全新的全封闭式塑料薄膜蔬菜大棚，如图所示，已知棚高AD＝2m，底部BC＝m，大棚的长度BE＝30m，如果不考虑塑料薄膜接头重合及埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需要用塑料薄膜的面积是　（π﹣8）　m2．
【分析】设所在的圆的圆心为O，连接AB、OB、OC、OA，易证CD＝BD＝2m，AD⊥BC，＝，O、D、A三点共线，则∠AOB＝∠AOC，由勾股定理求得AB＝4m，求出∠ABC＝30°，由圆周角定理得∠AOB＝∠AOC＝60°，得出△ABO是等边三角形，则OB＝OA＝AB＝4m，OD＝2m，∠COB＝120°，由弧长公式与弧形面积公式和三角形面积公式即可得出结果．
解：设所在的圆的圆心为O，连接AB、OB、OC、OA，如图所示：
∵AD是棚高，
∴CD＝BD＝BC＝2（m），AD⊥BC，＝，
∴O、D、A三点共线，∠AOB＝∠AOC，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB＝＝＝4（m），
∴AB＝2AD，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝OA＝AB＝4m，OD＝OA﹣AD＝4﹣2＝2（m），∠COB＝60°+60°＝120°，
∴蔬菜大棚需要用塑料薄膜的面积＝×30+2（﹣×2×4）＝π+π﹣8＝（π﹣8）（m2），
故答案为：（π﹣8）．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）
19．先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣3＝0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出a2+3a＝3，从而得出答案．
解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝?
＝
＝，
∵a2+3a﹣3＝0，
∴a2+3a＝3，
则原式＝．
20．“为自己和他人的生命健康与安全加份保险﹣﹣让救护知识走进千万家”的声音正从医务界响彻全社会，学习并掌握急救护理知识成为现代社会的新时尚．为了解学生对急救护理知识的掌握程度，甲、乙两个学校各组织了急救护理知识测试（同份题），现从两校各随机抽取20名学生的测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，共分成四组：A.60≤x≤69，B.70≤x≤79，C80≤x≤89，D.90≤x≤100）下面给出了部分信息：
a．甲校学生的测试成绩是：
78
86
74
80
75
76
87
70
75
90
75
80
80
70
74
80
86
69
84
77
b．乙校学生的测试成绩在B组中的数据是：73
77
70
73
78
70
c．乙校学生测试成绩的扇形统计图及甲、乙两所学校学生测试成绩的平均数、中位数．众数：
甲校
乙校
平均数
78.3
78.3
中位数
n
80
众数
80
81
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝　40　，n＝　77.5　，扇形统计图中，C组所占扇形圆心角的度数是　126°　；
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两所学校中，哪所学校的学生对急救护理知识掌握的比较好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）通过此次急救护理知识测试，小明对医学产生了很大的兴趣，他准备从基础医学、临床医学、法医学、预防医学这四类中随机选择两类进行更加细致地研读学习，请用树状图或表格求他选中的两类医学中包括法医学的概率．
【分析】（1）由乙校学生的测试成绩在B组中的数据个数为6个，求出m的值，再由中位数的定义求出n的值，然后由360°乘以C组所占比例即可；
（2）从平均数、中位数和众数进行分析即可；
（3）画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
解：（1）乙校学生的测试成绩在B组中的数据个数有6个，
则m%＝6÷20×100%＝30%，
∴m＝30，
对甲校20名学生的测试成绩排序为：69
70
70
74
74
75
75
75
76
77
78
80
80
80
80
84
86
86
87
90，
则甲校的中位数为：n＝＝77.5（分），
∵A组的人数为：20×＝3（人），D组的人数为：20×10%＝2（人），
∴C组的人数为：20﹣6﹣3﹣2＝9（人），
∴C组所占扇形圆心角的度数是：360°×＝162°，
故答案为：30，77.5，162°；
（2）乙校的学生对急救护理的掌握比较好，理由如下：
甲、乙两校学生测试成绩的平均值相同，乙校成绩的中位数、众数均高于甲校；
（3）把基础医学、临床医学、法医学、预防医学分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小明选中的两类医学中包括法医学的结果有6个，
∴P（小明选中的两类医学中包括法医学）＝＝．
21．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝130mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）
【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、AF，即可求出点A到直线DE的距离；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
由题意可知，AC＝90，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，
在Rt△CDN中，CN＝CD?sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，
∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝80°，
∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，
∴∠A＝∠BCN＝50°，
∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC?sin40°＝90×0.643≈57.87（mm），
∴AM＝AF+FM＝57.87+40≈127.2（mm），
答：点A到直线DE的距离约为127.2mm；
（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，
在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，
∴tan∠D＝＝＝0.500，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．
22．由于秋冬季节容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病，某商场的一款空气净化器的特别畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）与售价x（元/台）是一次函数关系，如图所示：
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量取值范围）；
（2）某月该商场出售这种空气净化器获得了21000元的利润，该空气净化器的售价是多少？
（3）若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于650台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是多少？
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出y与x的函数关系式；
（2）根据月该商场出售这种空气净化器获得了21000元的利润和（1）中的结果，可以列出相应的方程，从而可以求得该空气净化器的售价；
（3）根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质和x的取值范围，即可求得相应的最大利润．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（25，950），（40，800）代入可得：，
解得，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）由题意可得，
（﹣10x+1200）（x﹣20）＝21000，
解得x1＝50，x2＝90，
答：该空气净化器的售价是50元/台或90元/台；
（3）设所获利润为w元，
w＝（﹣10x+1200）（x﹣20）＝﹣10（x﹣70）2+25000，
∵某月该商场这种空气净化器的销售量不少于650台，
∴﹣10x+1200≥650，
解得x≤55．
∴当x＝55时，w有最大值，此时w＝22750，
答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是22750元．
23．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝15，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO＝90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO＝∠ACO＝90°，可得结论；
（2）由锐角三角函数可设AC＝4x，BC＝3x，由勾股定理可求BC＝9，再由勾股定理可求解；
（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE＝∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，可得∠DEF＝∠DFE，可证DE＝DF＝CE，可得结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，
∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵tanB＝＝，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
∵AC2+BC2＝AB2，AB＝15，
∴16x2+9x2＝225，
∴x＝3，
∴BC＝9，AC＝12，
∵AC＝AD＝12，AB＝15，
∴BD＝3，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，
∴（9﹣OC）2＝OC2+9，
∴OC＝4，
故⊙O的半径为4；
（3）解：AF＝BD+CE，理由如下：
连接OD，DE，
由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
又∵CO＝DO，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，CE＝DE，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠FCB﹣∠FBC＝180°﹣2∠FCB＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝BD+CE．
24．点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．
（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是
　OE＝OF　；
（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF，AE，OE之间的关系．
【分析】（1）由“AAS”可证△AEO≌△CFO，可得OE＝OF；
（2）由题意补全图形，由“ASA”可证△AOE≌△COG，可得OE＝OG，由直角三角形的性质可得OG＝OE＝OF；
（3）延长EO交FC的延长线于点H，由全等三角形的性质可得AE＝CH，OE＝OH，由直角三角形的性质可得HF＝EH＝OE，可得结论．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
故答案为：OE＝OF；
（2）补全图形如图所示，
结论仍然成立，
理由如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO，
∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO，
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE＝OG，
∵∠GFE＝90°，
∴OE＝OF；
（3）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF，AE，OE之间的关系为OE＝CF+AE，
证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点H，
由（2）可知△AOE≌△COH，
∴AE＝CH，OE＝OH，
又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，
∴HF＝EH＝OE，
∴OE＝CF+CH＝CF+AE．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出OA＝OC＝6，进而得出∠OAC＝45°，进而判断出PD＝PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，即可得出结论；
（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（，）；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD+PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，
∵A（6，0），C（0，6），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），
∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，
∴P（3，12）；
（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴，
由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
当x＝时，y＝，
∴F（，），
∴点N的纵坐标为，
设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），
∴﹣m2+5m+6＝，解得，m＝或m＝，
∴点N的坐标为（，）或（，）．