022届高三暑假数学学科体验(时间:120分钟满分:150分
单
题(每题5分,共40分
直线
数m等于()
共弦长为
√3
等比数
30
距离是
等于(
等比数列{an}
和为Sn,若S
则。等
是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若
且
则椭圆C的离心率为
0)的左、右焦点分别为
为椭圆
椭圆M的
的取值
史上数
展,折射出许多有价值的数学思想
代的进步起了重要的作用
意大利
数学家列昂纳多·斐波那
繁殖为
入“兔子数列
数
列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用
数列被4整除后的余数构成一个新的数列
2020
多项选择题(每题5分,共20分,错选0分,部分选对2分)
S为数列{a
63C.数列{an}是等比数列
列{S
等比数
y2=1相切,则3a+2b的值可以为(
√
为椭圆C
的左、右焦点,M为C上一点且在第一象限,若△MFF2为等腰
角形,则下列结论正确的是
A.MF=2B.MF2=2C.点M的横坐标为
知点A是直线
勺动
AQ的最大值为90
A的坐
数列
数列
项的和S1等于
点A(
线
线段AB相交
线m的斜率k的
是椭圆
1的左,右焦点,P为直线x=2上一点,△F2PF1是底角为
角形,则E的离心率为
C
圆C上的两
2|FB,则椭圆C的离心率的取值范围是
四、解答题(本大题共6小题,17题10分,其他题12分,共70分
请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
分)、设等比数列{an}满足a1
为数
和
s+s
分)已知
)关
边上中点的直线方程;(2)求
分
知数
和
是等差数
C
求数列
前n项和
分).设
焦
点F
A,B两点,AF=3BF
)若|AB=4,△ABF的周长为16,求
AF
椭圆E的离心率
在平面直角坐标系xOy
A(0,3)
线/:y=2x-4。设圆C的半
1)若圆心C也在直线
点A
求切线的方程
2)若圆C
求圆心C的横坐
知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴,长轴长为2√3,离心率
)求椭圆C的方程
椭圆的左焦点F做直线l,且直线l交椭圆C于P,Q两点,问
是否存在一点
PMQ为常数,若
及该常数2022届高三暑假数学学科体验
答案
一、单项选择题（
每题5分，共40分）
1．答案 B
解析 由两直线垂直，得×＝－1，解得m＝1.
2．答案 D
解析
求出圆心到直线的距离，然后用圆心，弦的端点，弦的中点构成的直角三角形求解
3、D
解析设等比数列的公比为，则，
，
因此，.故选：D.
4．
答案 B
解析由题意知，所给两条直线平行，∴n＝－2.由两平行间的距离公式，
得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，∴m＋n＝0.
5．D
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1.
∵S3＝2，S6＝18，∴＝，得q3＝8，∴q＝2.
∴＝＝1＋q5＝33
6．D【解析】由题设知，，，
所以，．由椭圆的定义得，
即，所以，故椭圆的离心率
7．答案
A
解：
可知|PF1|?|PF2|≤=a2，∴|PF1|?|PF2|的最大值为a2，
∴由题意知2c2≤a2≤3c2，∴，∴．
8．A【解析】记“兔子数列”为，则数列每个数被4整除后的余数构成一个新的数列为，可得数列构成一周期为6的数列，．
二、多项选择题（
每题5分，共20分，错选0分，部分选对2分）
9、
【答案】AC【详解】因为为数列的前项和，且，
所以，因此，当时，，即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
因此，故A正确；
又，所以，故B错误；
因为，所以数列不是等比数列，故D错误.
10．答案
BCD
解
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，
不妨令，，
则，其中，
所以，
因为，故A取不到；
，，都在范围内，所以BCD都有可能取到.故选：BCD.
11．【答案】BCD
解析“”因为椭圆：，所以，因为为上一点且在第一象限，且为等腰三角形，所以，且，
在中，由余弦定理得：
，
所以，所以，
所以，
12．答案
AC
解析
如右图所示：
原点到直线的距离为，则直线与圆相切，
由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，
连接、，由于的最大值为，且，，则四边形为正方形，所以，
由两点间的距离公式得，
整理得，解得或，因此，点的坐标为或.
三、填空题（
每题5分，共20分
）
13.
答案 88
解析 S11＝＝＝＝88.
14．
答案 k≥或k≤－4
解析 建立如图所示的直角坐标系．
由图可得k≥kPB或k≤kPA.∵kPB＝，kPA＝－4，∴k≥或k≤－4.
15.
答案：
解：由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，∴∠PF2x＝60°.
∴|PF2|＝2×＝3a－2c.∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，
∴3a－2c＝2c，∴e＝＝.
16.
【答案】
解：设椭圆左焦点为，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.
设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在Rt△F′AF中，m＋n＝2a
①，m2＋n2＝4c2
②，联立①②得mn＝2b2
③.
②÷③得，令＝t，得t＋.
又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得＝t∈[1,2]，所以t＋∈.
故椭圆C的离心率的取值范围是.
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，其他题12分，共70分．
请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17、【详解】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，
2分
解得，
所以；
5分
（2）令，
6分
所以，
7分
根据，可得，
8分
整理得，因为，所以，
10分
18解 (1)∵点A(5,1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，∴B(5，－1)，
又∵点A(5,1)关于原点的对称点为C(x2，y2)，
∴C(－5，－1)，
∴AB的中点坐标是(5,0)，BC的中点坐标是(0，－1)．-------4分
过(5,0)，(0，－1)的直线方程是＝，整理得x－5y－5＝0.--------6分
(2)易知|AB|＝|－1－1|＝2，|BC|＝|－5－5|＝10，AB⊥BC，-------9分
∴△ABC的面积S＝|AB|·|BC|＝×2×10＝10.-----------------12分
19、解：(Ⅰ)因为数列的前项和，所以，----1分
当时，，----
2分
又对也成立，所以．
----
----
3分
又因为是等差数列，设公差为，则．
当时，；当时，，解得，----
5分
所以数列的通项公式为----
6分
(Ⅱ)由，
----
7分
于是，
两边同乘以２，得，
两式相减，得
---
10分
．
----
12分
20．【解析】：（Ⅰ）由得。
因为的周长为16，所以由椭圆定义可得-----4分
故。-------------6分
（Ⅱ）设，则且，由椭圆定义可
在中，由余弦定理可得
即-------8分
化简可得，而，故于是有，
因此，可得
故为等腰直角三角形．从而，所以椭圆的离心---12分
21.解：（1）由题设点，又也在直线上，
，-------2分
由题，过A点切线方程可设为，即，
则，解得：，∴所求切线为或-------4分
（2）设点，，，，，，即，又点在圆上，，两式相减得
，
由题以上两式有公共点，--------8分
整理得：，即，
令，则，解得：，，
解得：．-------12分
22.解：（I）设椭圆的方程为.
由题意，得解得，所以.
所求的椭圆方程为.
----4分
（II）由（I）知.
假设在轴上存在一点，使得恒为常数.
①当直线与轴不垂直时，设其方程为，、.
由，得.
所以，.
……………7分
.
因为是与无关的常数，从而有，即.
此时.
……………10分
②当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为，
当时，亦有.
综上，在轴上存在定点，使得恒为常数，且这个常数为.----12分
7
