1.3正方形的判定与性质 同步培优训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的判定与性质》
同步培优训练（附答案）
一、选择题
1．矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相垂直平分
2．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（　　）
A．∠D＝90°
B．AB＝CD
C．AD＝BC
D．BC＝CD
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）
A．BC＝AC
B．BD＝DF
C．AC＝BF
D．CF⊥BF
4．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
5．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是6，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．36
B．45
C．54
D．64
6．如图，在正方形ABCD内，以BC为边作等边三角形BCM，连接AM并延长交CD于N，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠DAN＝15°
B．∠CMN＝45°
C．AM＝MN
D．MN＝NC
7．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE＝BD，则∠BDE的度数是（　　）
A．22.5°
B．30°
C．45°
D．67.5°
8．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．则四边形AODE一定是（　　）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．不能确定
9．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；
②AG⊥BE；
③S△BHE＝S△CHD；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（　　）
A．①③
B．①②③④
C．①②③
D．①③④
10．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）
A．45°
B．15°
C．10°
D．125°
11．如图，E是正方形ABCD边AB延长线上一点，且BD＝BE，则∠BED的大小为（　　）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
二、填空题
12．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，AC、BE相交于点F，则∠EFC为　
　度．
13．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上任意一点，PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为点M、N，若BD＝10，则PM+PN＝　
　．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是　
　．
15．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
设菱形相邻两个内角的度数分别为m、n．
（1）若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为70°，则“接近度”＝　
　；
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m≤n），则菱形的“接近度”＝　
　时，菱形就是正方形．
16．如图，在正方形ABCD中，△ABE为等边三角形，连接DE，CE，延长AE交CD于F点，则∠DEF的度数为　
　．
17．我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都是直角．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E，F分别在边BC和CD上，∠BAF＝∠DAE，BE＝1，G是线段AE的中点，则△GEF的面积是　
　．
18．如图，在正方形ABCD的内侧，作等边△DCE，则∠BAE的度数是　
　°．
19．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为3、4，则正方形的周长为　
　．
20．已知点E是正方形ABCD外的一点，连接DE，AE，CE．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择　
　题：
A．如图1，若∠DCE＝45°，DC＝CE＝2，则AE的长为　
　．
B．如图2，若∠DEC＝45°，DE＝CE＝2，则AE的长为　
　．
21．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5，BF＝8，则EF的长为　
　．
三、应用题
22．如图，正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，点F在边CD上，连接AE，EF．
（1）当CF＝a时，求证：∠AEF＝90°；
（2）若CF＝2DF，连接AF．求∠EAF的度数；
（3）当∠AEF＝∠DAE时，求△CEF的面积（用含a的式子表示）．
23．如图，在正方形ABCD中，点E在DC边上（不与点C，点D重合），点G在AB的延长线上，连接EG，交边BC于点F，且EG＝AG，连接AE，AF，设∠AED＝α，∠GFB＝β．
（1）求α，β之间等量关系；
（2）若△ADE≌△ABF，AB＝2，求BG的长．
24．矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH的顶点E、G在矩形的边AD、BC上；顶点F、H在矩形的对角线BD上．
（1）如图1，当四边形EFGH是平行四边形时，求证：△DEH≌△BGF．
（2）如图2，当四边形EFGH是正方形时，求BF的长．
25．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F、G．
求证：AF＝DG
26．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE交BD于点P．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求BP的长．
27．如图，P为正方形ABCD的边BC的延长线上一动点，以DP为一边作正方形DPEM，以E为一顶点作正方形EFGH，且FG在BC的延长线上（提示：正方形四条边相等，且四个内角为90°）
（1）若正方形ABCD、DPEM的面积分别为a，b，则正方形EFGH的面积为　
　（直接写结果）．
（2）过点P作BC的垂线交∠PDC的平分线于点Q，连接QE，试探求在点P运动过程中，∠DQE的大小是否发生变化，并说明理由．
28．已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°．求证：MN＝DN﹣BM．
29．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
30．如图，正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，连接BE，CF交于点G，连接AG．
（1）求证：BE⊥CF．
（2）线段AB与线段AG相等吗？若相等，请证明，若不相等，请说明理由．
31．如图，正方形ABCD两条对角线AC、BD交于O，过O任作一直线L与边AB，CD交于M，N，MN的垂直平分线与边BC，AD交于P，Q．设正方形ABCD的面积为S1，四边形MPNQ的面积为S2．
（1）求证：四边形MPNQ是正方形；
（2）若S1＝1，求S2的取值范围．
32．如图，已知在正方形ABCD中、点E是BC边上一点，F为AB延长线上一点，且BE＝BF，连接AE、EF、CF．
（1）若∠BAE＝18°，求∠EFC的度数；
（2）求证：AE⊥CF．
参考答案
1．解：因为矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，
正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，
所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．
故选：A．
2．解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形，
故选：D．
3．解：∵EF垂直平分BC，
∴BE＝EC，BF＝CF，
∵BF＝BE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC＝AC时，
∵∠ACB＝90°，
则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项C错误，符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项D正确，但不符合题意．
故选：C．
4．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝∠BDC＝45°，
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DAF+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，即AG⊥DF，
故①结论正确；
②在△AGF和△AGD中，
，
∴△AGF≌△AGD（ASA），
∴GF＝GD，
∵AG⊥DF，
∴EF＝ED，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，
∴EF∥CD∥AB，
故②正确；
③∵△AGF≌△AGD（ASA），
∴AD＝AF＝AB，
故③正确；
④∵EF∥CD，
∴∠OEF＝∠ODC＝45°，
∵∠COD＝90°，
∴EF＝ED＝，
∴，
∴AB＝CD＝（+1）EF，
故④错误．
故选：C．
5．解：如图：过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，
则∠AMD＝∠DNC＝90°，
∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，
∴∠2+∠3＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△AMD和△CND中
，
∴△AMD≌△CND（AAS），
∴AM＝CN，
∵a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是6，
∴AM＝CN＝3，DN＝6，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2＝DN2+CN2＝32+62＝45，
即正方形ABCD的面积为45，
故选：B．
6．解：作MG⊥BC于G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝∠DAB＝°∠DCB＝90°
∵△MBC是等边三角形，
∴MB＝MC＝BC，∠MBC＝∠BMC＝60°，
∵MG⊥BC，
∴BG＝GC，
∵AB∥MG∥CD，
∴AM＝MN，
∴∠ABM＝30°，
∵BA＝BM，
∴∠MAB＝∠BMA＝75°，
∴∠DAN＝90°﹣75°＝15°，∠CMN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
故A，B，C正确，
故选：D．
7．解：∵BE＝DB，
∴∠BDE＝∠E，
∵∠DBA＝∠BDE+∠BED＝45°
∴∠BDE＝×45°＝22.5°．
故选：A．
8．解：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形，
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故②正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即；S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故④正确；
故选：B．
10．解：∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AE＝AB
∴∠AEB＝30°÷2＝15°，
∴∠BED＝60°﹣15°＝45°，
故选：A．
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∵∠ABD＝∠E+∠BDE，
∵BD＝BE
∴∠BDE＝∠E．
∴∠E＝×45°＝22.5°，
故选：B．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°，
∴∠EFC＝180°﹣∠BFC＝120°；
故答案为：120．
13．解：在正方形ABCD中，
∴AC⊥BD，∠ABO＝45°，
∵PM⊥AC，PN⊥BD，
∴四边形PMON是矩形，
∴PM＝ON，
∵PN＝BN，
∴PM+PN＝ON+BN＝OB＝BD＝5，
故答案为：5
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示，
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+x＝1，
解得：x＝2﹣，
∴DF＝2﹣，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；
故答案为．
15．解：（1）若菱形的一个内角为70°，
∴该菱形的相邻的另一内角的度数110°，
∴“接近度”等于|110﹣70|＝40°；
（2）当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，
则菱形是正方形；
故答案为：40°；1．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ABE为等边三角形，
∴AE＝BE＝AB，∠EAB＝60°，
∴AE＝AD，
∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝30°，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEF＝180°﹣∠AED＝180°﹣75°＝105°．
故答案为105°．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝DC＝4，∠BAD＝∠D＝∠C＝∠B＝90°，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠FAD＝∠DAE+∠BAE，
∴∠BAE＝∠FAD，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF＝1，
∴CE＝CF＝3，
∴S△AEF＝S正方形ABCD﹣2S△ABE﹣S△CEF
＝16﹣2××1×4﹣
＝
∵G是线段AE的中点，
∴S△GEF＝S△AGF＝S△AEF＝．
则△GEF的面积是．
故答案为．
18．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△DCE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣60°＝30°，AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BAE＝90°﹣∠DAE＝15°；
故答案为：15．
19．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°．
∵DF⊥直线m、BE⊥直线m，
∴∠DFA＝∠AEB＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∵∠DAF+∠BAE＝180°﹣∠BAD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠FDA＝∠BAE（同角的余角相等）．
∴△DFA≌△AEB（AAS），
∴AF＝BE＝3，
∴AD＝＝＝5，
∴正方形ABCD的周长＝4×5＝20，
故答案为20．
20．解：A．方法一，如图，
以CE为对角线画正方形CFEG，延长EG交AB于点H，
∴EH⊥AB，得矩形BCGH，
∴HG＝BC＝DC＝AB＝2
在Rt△ECF中，∠F＝90°，∠ECF＝45°，CE＝2
∴CF＝EF＝BH＝GE＝
∴EH＝HG+GE＝2+
AH＝AB﹣BH＝2﹣
在Rt△AEH中，AE2＝（2+）2+（2﹣）2＝12，
∴AE＝2．
故答案为2．
方法二：连接AC，则∠ACD＝45°
∵∠DCE＝45°，
∴∠ACE＝90°
∵AD＝DC＝CE＝2，
∴AC＝2
则AE＝＝2．
B，如图2，
将△ADE绕点D逆时针旋转90°，点A与点C重合，点E旋转至点F，
连接DF、CF、EF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）
∴AE＝CF
∵∠EDF＝90°，DE＝DF＝2，
∴EF＝2，
∠DEF＝45°，∠DEC＝45°
∴∠CEF＝90°
∴在Rt△FCE中，CE＝2，EF＝2
由勾股定理得：CF＝2
∵AE＝CF，∴CF＝2．
故答案为：2．
21．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AB＝AD，
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴∠DEA＝∠BFA＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°，∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠DAE＝∠ABF，且AB＝AD，∠DEA＝∠BFA，
∴△ABF≌△DAE（SAS）
∴DE＝AF＝5，BF＝AE＝8，
∴EF＝AF+AE＝13，
故答案为：13．
22．解：（1）证明：∵正方形ABCD的边长为a，点E为边BC的中点，
∴BE＝CE＝a，∠ABC＝∠ECF＝90°，
∵CF＝a，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CEF+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°；
（2）将△ABE△绕点A点逆时针旋转90°，如图1，则
AE＝AE'，BE＝DE'，∠E'AD＝∠EAB，∠ADE'＝∠ABE＝90°，
∵∠ADF＝90°，
∴点F、D、E'三点在同一直线上，
∵CF＝2DF，
∴CF＝a，DF＝a，CE＝BE＝DE'＝a，
∴E'F＝a，EF＝a，
∴EF＝E'F，
∵AE＝AE'，AF＝AF，
∴△AEF≌△AE'F（SSS），
∴∠EAF＝∠E'AF＝∠EAE'＝45°；
（3）过A作AG⊥EF，如图2，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠DAE＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∵∠ABE＝∠AGE＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴BE＝GE＝a，AB＝AG，
∵AB＝AD，
∴AD＝AG，
∵AF＝AF，
∴Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），
∴DF＝GF，
设CF＝x，则GF＝DF＝a﹣x，
∴EF＝，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴，
解得，x＝a，
∴△CEF的面积＝．
23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，∠CBG＝∠ABC＝90°，
∴∠AED＝∠GAE，
∵EG＝AG，
∴∠GAE＝∠GEA，
∴∠AED＝∠AEG＝α，
∴∠G＝180°﹣2α，
∵∠BFG+∠G＝90°，
∴180°﹣2α+β＝90°，
∴2α﹣β＝90°；
（2）如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠C＝∠ABC＝∠CBG＝90°，
设BF＝x，
∵△ADE≌△ABF，
∴DE＝BF，
∴CE＝CF＝2﹣x，
∴EF＝2x，∠CFE＝∠BFG＝45°，
∴BG＝BF＝x，
∴FG＝＝x，
∵AG＝EG，
∴2+x＝2x+x，
解得，x＝2﹣2，
∴．
24．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDH＝∠GBF，
（1）∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EH＝FG，∠EHF＝∠GFH，
∴∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠EHD＝180°﹣∠EHF＝∠BFG，
又∵∠EDH＝∠GBF，
∴△DEH≌△BGF（AAS）；
（2）∵四边形EFGH是正方形也为平行四边形，
故由（1）得：△DEH≌△BGF（AAS），
∴BF＝DH，
设BF＝x＝DH，
如下图，过点H作HK⊥BC于点K，作HN⊥CD于点N，作FM⊥BC于点M，
在Rt△BFM中，FM=＝DN，
同理BM＝＝HN＝CK，
∵∠FGM+∠HGK＝90°，∠HGK+∠GHK＝90°，
∴∠GHK＝∠FGM，
又∵∠HKG＝∠GMF＝90°，FG＝GH，
∴△HKG≌△GMF（AAS），
∴GM＝HK＝CN＝CD﹣DN＝6﹣，GK＝FM＝，
∴BC＝BM+MG+GK+KC＝+（6﹣）++＝8，
解得：x＝，
即BF的长为．
25．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF和△ADG中，
∵，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴AF＝DG，
26．解：（1）∵四边形ABCD的正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠E+∠EAC＝45°，
∴∠E＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长是1，
∴AB＝1，∠DAB＝90°，∠DBC＝45°，
∵∠DAE＝22.5°，
∴∠BAP＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠APB＝∠E+∠DBC＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠BAP＝∠APB，
∴BP＝AB＝1．
27．解：（1）∵∠DPC+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PEF＝90°，
∴∠DPC＝∠PEF，∠DCP＝∠PFE＝90°，DP＝PE，
故△DCP≌△PFE（AAS），
∴EF＝CP，
而CP＝＝＝EF，
正方形EFGH的面积＝EF2＝b﹣a，
故答案为：b﹣a；
（2）∠DQE的大小不会发生变化，理由如下，
∵DC⊥BC，PQ⊥BC，EF⊥BC，
∴DC∥QP，QP∥EF，∴∠CDQ＝∠PQD，
∵DQ平分∠CDP，
∴∠CDQ＝∠QDP＝∠PQD，
∴PD＝PQ，
在正方形DPEM中，DP＝PE，
∴PQ＝PE，
∴∠PQE＝∠PEQ，
∵PQ∥EF，
∴∠PQE＝∠FEQ，
∴，
∵，
∵∠CDP+∠CPD＝90°，∠CPD+∠EPF＝90°，
∴∠CDP＝∠EPF，
∴∠CDP+∠PEF＝90°，
∵，
∴，
∴∠DQE的大小不会发生变化．
28．证明：如图，在DN上截取DE＝MB，连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，
在△ABM与△ADE中，，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴AM＝AE，∠MAB＝∠EAD，
∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，
在△AMN和△AEN中，，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵DN﹣DE＝EN，
∴DN﹣BM＝MN．
29．解：（1）证明：∵在正方形ABCD中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEB＝∠CFD（等角的补角相等），
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）四边形AECF是菱形．理由如下：
如图，连接AC，与BD交于点O，
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
又∵OB＝OD，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵AC⊥EF，OA＝OC，
∴四边形AECF是菱形．
30．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵E、F是CD和AD的中点，
∴CE＝CD，DF＝AD，
∴CE＝DF，
在△BCE和△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠BCG+∠DCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCG＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∴BE⊥CF；
（2）解：线段AB与线段AG相等；理由如下：
延长CF交BA的延长线于点H，如图所示：
∵F是AD的中点，
∴DF＝AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠D＝∠FAH＝90°，
在△CDF和△HAF中，，
∴△CDF≌△HAF（ASA），
∴CD＝AH，
∴AB＝AH，
∴A是BH中点，
由（1）得：BE⊥CF，
∴∠BGH＝90°，
∴AG＝AB．
31．解：（1）证明：∵QP垂直平分线段MN，
∴MQ＝NQ，PM＝PN，
∴△AOQ≌△DON（ASA），
∴OQ＝ON，
∴∠OQN＝∠ONQ＝45°，
同理可得∠OQM＝∠OMQ＝∠OMP＝∠OPM＝45°，
∴∠NQM＝∠QMP＝∠MPN＝∠PNQ＝90°，
∴四边形MPNQ是矩形，而MQ＝NQ，
∴四边形MPNQ是正方形．
（2）设AQ＝DN＝x，则QD＝1﹣x，
∴
而S2≤S1＝1，
∴．
32．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠FBC＝90°，
∵BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF＝18°，
又∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠BEF＝45°，
∴∠EFC＝∠BEF﹣∠BCF＝45°﹣18°＝27°；
（2）如图，延长AE交CF于G，
∵∠BCF+∠AFG＝90°，∠BAE＝∠BCF，
∴∠BAE+∠AFG＝90°，
∴∠AGF＝90°，即AG⊥CF，
∴AE⊥CF．