1.1菱形的判定与性质 同步培优训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的判定与性质》同步培优训练（附答案）
一、选择题
1．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
2．如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（　　）
A．∠BAF＝∠DAE
B．EC＝FC
C．AE＝AF
D．BE＝DF
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则四边形AOED的周长为（　　）
A．9+2
B．9+
C．7+2
D．8
4．下列条件中，能判定?ABCD是菱形的是（　　）
A．AC＝BD
B．AB⊥BC
C．AD＝BD
D．AC⊥BD
5．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（　　）
A．13
B．10
C．12
D．5
6．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2），将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣2）或（2，﹣2）
B．（2，2）
C．（﹣2，2）
D．（﹣2，﹣2）或（2，2）
7．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．20
B．30
C．40
D．50
8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（　　）
A．2
B．
C．3
D．4
9．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（　　）
A．9.5
B．10
C．10.5
D．11
10．如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（　　）
A．
B．
C．
D．3
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为　
　．
12．如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　
　，使?ABCD是菱形．
13．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝　
　．
14．如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　
　°．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝　
　．
16.三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH延长线上，则△ABE的周长为　
　cm．
三、应用题
17．如图，已知AB＝2，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为　
　（结果保留根号）．
18．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为　
　．
19．在菱形ABCD中，M是BC边上的点（不与B，C两点重合），AB＝AM，点B关于直线AM对称的点是N，连接DN，设∠ABC．∠CDN的度数分别为x，y，则y关于x的函数解析式是　
　．
20．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连接DF，则DF的长为　
　．
21．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
22．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．
23．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
24．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：（1）△ABF≌△DAE；
（2）DE＝BF+EF．
25．如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．
26．如图，过?ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．
27．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．
28．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若AC＝2，求BD的长．
29．如图，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求?ABCD的面积．
30．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．
（1）若CE＝1，求BC的长；
（2）求证：AM＝DF+ME．
参考答案
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCF，
①∵添加BE＝CF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠CEB＝∠F＝90°，
∴△BCE≌△CDF（AAS），
③∵添加CE＝DF，
不能确定△BCE≌△CDF；
④∵添加∠BCE＝∠CDF，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
故选：C．
2．解：A．∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
故选项A不符合题意；
B..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝BD，
∵EC＝FC，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
故选项B不符合题意；
C..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
∵AE＝AF，
∴△ABE和△ADF只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等，
故选项C符合题意；
D..∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
又∵BE＝DE，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
故选项D不符合题意．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝4，AB∥CD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵O是对角线BD的中点，
∴AO⊥BD，
在Rt△AOD中，AO＝AD＝2，
OD＝OA＝2，
∵OE⊥CD，
∴∠DEO＝90°，
在Rt△DOE中，OE＝OD＝，
DE＝OE＝3，
∴四边形AOED的周长＝4+2++3＝9+．
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故选：D．
5．解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴EG＝BD＝10；
故选：B．
6．解：∵菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2），
∴AO＝＝4，tan∠AOB＝，即∠AOB＝60°，
又∵AO＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
分两种情况讨论：
如图所示，当点A在x轴正半轴上时，
过C作CD⊥AO于D，则OD＝CO＝2，CD＝，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣2）；
如图所示，当点A在x轴负半轴上时，
过C作CD⊥AO于D，则OD＝CO＝2，CD＝，
∴点C的坐标为（2，2）；
综上所述，点C的对应点的坐标为（﹣2，﹣2）或（2，2），
故选：D．
7．解：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝AB＝5，
∴AB＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；
故选：C．
8．解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OD＝BD＝×6＝3，OA＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，AD＝＝5，
∵OE＝CE，
∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，
∴OE∥AD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝AD＝×5＝2.5，故选：B．
9．解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等，
∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°，
∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL，
又∵BF＝FG＝KL，
∴EF＝CL＝6＝CH，
由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，
∵C1＝2C2，
∴AE＝CH＝3，
又∵2C2＝4C3，
∴C3＝C2＝×12＝6，
∴BF＝×6＝2，
∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11，故选：D．
10．解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．
∵E（﹣2，0），F（0，6），
∴OE＝2，OF＝6，
∴EF＝＝2，
∵∠FGE＝90°，
∴FG≤EF，
∴当点G与E重合时，FG的值最大．
如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．
∵PA＝PB，BE＝EC＝a，
∴PE∥AC，BJ＝JH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BH＝DH＝，BJ＝，
∴PE⊥BD，
∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，
∴∠EBJ＝∠FEO，
∴a＝，
∴BC＝2a＝，
故选：A．
11．解：设BE＝x，则CD＝2x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝DA＝2x，
∴BD＝3x，
∴OB＝OD＝x，
∵OE+BE＝BO，
∴1+x＝x，解得x＝2，
即AB＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，OA＝＝＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝2．
故答案为2．
12．解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当AD＝DC，?ABCD为菱形；
故答案为：AD＝DC（答案不唯一）．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DO＝OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE＝BD，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠ABC＝140°，
∴∠OBE＝70°，
∴∠OED＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACE＝∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；
故答案为：115．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝；故答案为：．
16．解：如图所示，连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI＝2，
∵三个菱形全等，
∴CO＝HO，∠AOH＝∠BOC，
又∵∠AOB＝∠AOH+∠BOH＝90°，
∴∠COH＝∠BOC+∠BOH＝90°，
即△COH是等腰直角三角形，
∴∠HCO＝∠CHO＝45°＝∠HOG＝∠COK，
∴∠CKO＝90°，即CK⊥IO，
设CK＝OK＝x，则CO＝IO＝x，IK＝x﹣x，
∵Rt△CIK中，（x﹣x）2+x2＝22，
解得x2＝2+，
又∵S菱形BCOI＝IO×CK＝IC×BO，
∴x2＝×2×BO，
∴BO＝2+2，
∴BE＝2BO＝4+4，AB＝AE＝BO＝4+2，
∴△ABE的周长＝4+4+2（4+2）＝12+8，
故答案为：12+8．
17．解：连接PC、CQ．
∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D＝120°，
∴∠ACE＝120°，∠FCB＝60°，
∵P，Q分别是对角线AE，BF的中点，
∴∠ECP＝∠ACE，∠FCQ＝∠BCF，
∴∠PCQ＝90°，
设AC＝2a，则BC＝2﹣2a，PC＝a，CQ＝BC＝（）．
∴PQ＝＝＝．
∴当a＝时，点P，Q之间的距离最短，最短距离是．
解法二：连接CD、CG、DG，构造中位线解决，当DG与AD或BG垂直时，取最值．
故答案为：．
18．解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，在BT上截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF＝∠ADC＝30°，
∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE，
∴△ADF≌△TBE（SAS），
∴AF＝ET，
∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2，
∴AT＝＝＝2，
∴AE+AF＝AE+ET，
∵AE+ET≥AT，
∴AE+AF≥2，
∴AE+AF的最小值为2，
故答案为2．
19．解：①当x＝72°时，如图1中，易知点N在CD上，此时y＝0．
②当72°＜x＜90°时，如图2中，
∵AB＝AM＝AN＝AD，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠AMN＝∠ANM＝x，∠ADN＝∠AND＝x﹣y，
∵∠B+∠BAD＝180°，
∴x+（360°﹣4x）+[180°﹣2（x﹣y）]＝180°，
∴y＝x﹣180°．
③当60°＜x＜72°，如图3中，同法可得：x+（360°﹣4x）+[180°﹣2（x+y）]＝180°，
∴y＝180°﹣x．
综上所述，当60°＜x≤72°时，y＝180°﹣x．当72°＜x＜90°时，y＝．
故答案为：当60°＜x≤72°时，y＝180°﹣x．当72°＜x＜90°时，y＝．
20．解：
延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，
∴GF∥BE，EF∥AM，
∴四边形AMFE是平行四边形，
∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，
∵∠A＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴MN＝DM＝，
∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，
在Rt△DNF中，DF＝＝，
故答案为：．
21．证明：方法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴DF＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝BC，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
同理可证：△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
方法二：∵ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，
所以就能得到四个三角形全等，
所以四条边相等，
所以四边形BEDF为菱形．
方法三：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是菱形．
22．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
23．（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
24．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴∠BPA＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠AED，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE（ASA）；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF，
∵AF＝AE+EF＝BF+EF，
∴DE＝BF+EF．
25．证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
又∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AE∥BF，即AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）证明：如图所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
27．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．
28．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴菱形ABCD的周长为：8；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2
∴AC⊥BD，AO＝1，
∴BO＝，
∴BD＝2
29．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵BE＝DF，
∴△AEB≌△AFD
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，
AO＝OC＝AC＝×6＝3，
∵AB＝5，AO＝3，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．
30．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACD＝∠2，
∴MC＝MD，
∵ME⊥CD，
∴CD＝2CE，
∵CE＝1，
∴CD＝2，
∴BC＝CD＝2；
（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，
∴BF＝CF＝BC，
∴CF＝CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠G，
∴AM＝MG，
在△CDF和△BGF中，
∵，
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF＝DF，
由图形可知，GM＝GF+MF，
∴AM＝DF+ME．