3.1.2 椭圆的简单几何性质（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章
圆锥曲线的方程
3.1.2
椭圆的简单几何性质
教学设计
一、教学目标
1.掌握椭圆的简单几何性质，能利用简单性质求椭圆方程.
2.理解椭圆简单几何性质的推导过程，体会数形结合的思想.
3.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题.
二、教学重难点
1、教学重点
椭圆的简单几何性质.
2、教学难点
椭圆的简单几何性质及其应用.
三、教学过程
1、新课导入
观察一下椭圆的图象，我们应该关注椭圆哪方面的性质呢？通过对椭圆的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握椭圆的形状、大小和位置，所以我们这节课就以焦点在x轴上的椭圆方程为例，来研究椭圆的简单几何性质.
2、探索新知
一、范围
由方程可知，
所以，即，同理有，即.
这说明椭圆位于直线和围成的矩形框里.
二、对称性
观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.
在椭圆的标准方程中，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于x轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称.
同理，以代，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.
以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称.
综上，椭圆关于x轴、轴都是对称的.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
三、顶点
在椭圆的标准方程中，令，得.因此，是椭圆与轴的两个交点.同理，令，得.因此，是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.
线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
4.
离心率
把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即.
因为，所以.
e越接近1，c越接近a，就越小，因此椭圆越扁平；反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，这时椭圆就越接近于圆.
当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
例1
求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解：把原方程化成标准方程，得，
于是，，.
因此椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点坐标分别是和，四个顶点坐标分别是，，和.
例2
如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.
过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.
由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.
已知.
试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1
cm）.
解：建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为.
在中，.
由椭圆的性质知，，
所以，
.
所以，所求的椭圆方程为.
例3
动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
解：如图，设d是点M到直线的距离，
根据题意，动点M的轨迹就是集合.
由此得.
将上式两边平方，并化简，得，即.
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆.
例4
如图，已知直线和椭圆.
m为何值时，直线l与椭圆C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？
解：由方程组消去，得.①
方程①的根的判别式.
由，得.
此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点.
由，得.
此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点.
由，得，或.
此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点.
3、课堂练习
1.椭圆的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由椭圆的标准方程，可知，，所以，，离心率.故选B.
2.椭圆的长轴长、短轴长分别为(
)
A.2，
B.，2
C.4，
D.，4
答案：C
解析：把化成标准形式为，得，，则长轴长为4，短轴长为.
3.设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为___________.
答案：15
解析：在椭圆中，，，，所以焦点坐标分别为，，.
，当且仅当P在直线上时取等号，
当点P与图中的点重合时，有，此时取最大值，最大值为.
4、小结作业
小结：本节课学习了椭圆的简单几何性质及其简单应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
3.1.2
椭圆的简单几何性质
两种椭圆的简单几何性质
标准方程
焦点位置及坐标
焦点在x轴上
，
焦点在y轴上
，
图形
范围
，
，
对称性
关于x轴、轴对称，关于原点对称
顶点坐标
，，
，
，，
，
长、短轴长
长轴长，短轴长
离心率