3.3《幂函数》教学设计-2021-2022学年高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册

课题：
§3.3
幂函数教学设计
一、教材分析
本节课是人教版普通高中数学必修第一册第三章第三节《幂函数》的内容，学生在初中阶段已学的一次函数、二次函数、反比例函数，已经初步掌握函数的一般概念和性质之后，高中阶段研究的第一类具体函数.通过本节课的学习，可以让学生体会研究具体函数的基本内容、过程和方法，体会研究一类函数的“基本套路”,并为他们今后学习指数函数、对数函数等内容奠定良好的基础。
二、学情分析
由于我所执教的学校是虽然是省级示范高中，但学生的层次也不是很高。班级的学生大多缺乏学习的主动性以及坚韧的意志力。因此，在教学中如何调动大多数学生的积极性如何能够让他们主动投身到学习中来，就成为本节课的重中之重。
三、设计思想：
本节课采用“诱思探究式”课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，
以学生独立自主和合作交流为前提，借助五个实例引出幂函数的概念，以问题为导向设
计教学情境，以“五个幂函数”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究讨论问题的机会，让学生通过思维上的活动解难释疑，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力.
四、教学目标：
知识与技能：通过具体实例掌握幂函数概念，能画出简单幂函数的图象，熟悉其性质并能进行简单的应用．
过程与方法：能够类比研究一般函数的概念和性质的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．
情感态度和价值观：让学生在数学活动中体会数学思想方法之重要，感受幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动探究、合作交流的意识；提高学生分析、对比、概括等方面能力，渗透数形结合，分类讨论等数学思想.
五、教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的图像规律和一些性质.
教学难点：
画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律.
六、教学工具：
平板
七、教学方法：
以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.通过回忆一次函数、二次函数的一般概念和性质引入幂函数并引导学生通过绘图，主动分析探索幂函数的性质等相关知识.
教学程序与环节设计：
(
创设情境
动手操作
合作探究
典例剖析
作业回馈
交流总结
)问题引入幂函数概念．
画出五种特殊幂函数的图象.
归纳幂函数性质．
幂函数性质的应用．
主要内容回顾．
分层作业．
(
1
)
八、教学过程：
（一）课题引入
思考.结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究一个函数？
研究五个实际问题：
如果张红以
1
元/kg
的价格购买了某种蔬菜
w
kg，那么她需要支付
P=w
元,这里
p
是
w
的函数；
如果正方形的边长为
a，那么正方形的面积
S=a
2
，这里
S
是
a
的函数；
如果立方体的棱长为
b，那么立方体的体积V
b3
,这里
V
是
b
的函数；
(
S
)如果一个正方形场地的面积为
S，那么这个正方形的边长c
,这里
c
是S
的函数；
如果某人
t
v
是t
的函数．
s
内骑车行进了
1
km，那么他骑车的速度
1
(
v
)t
，即V
t
1km
/
s
，这里
观察：观察（1）-（5）中函数解析式，
它们有什么共同特征？
(
2
)生：若写成x
与y
的解析式即：y=x1,
y=x2,
y=x3
,y=x
1
,
y=x-1
都是自变量的若干次幂的形
式．如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？
（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式，从自变量所处的位置这个角度，适当引导）
【设计意图：既是旧知识的复习，又为本节课提供知识和方法上的储备，归纳出幂函数的
定义
.引入新课，板书课题】
（二）
讲授新课：
1.幂函数的定义：
一般地，函数
y
x
叫做幂函数（power
function），其中
x
是自变量，
是常数．
探究：幂函数的特征？
幂函数的特征：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为
1；
练习
1：下列函数是幂函数的是（
）
3
)
y
3x4
y
3x
y
x
2
y
x5
例
1.已知幂函数
y
f
(x)
的图象过点（2，2），求函数
y
f
(x)
的解析式.
练习
2.若函数
y=(m2+2m-2)xm+2+2n-3
是幂函数，求
m,n
的值.
（由学生独立思考回答）
【设计意图：强化概念学习，帮助学生理解概念，把握概念特征
.】
幂函数的图象:
在同一坐标系下画下列幂函数的图象：
(
y
2
x
)（1）
y
x
；
（2）
y
x2
；（3）y=x
3
；
（4）
1
；
（5）
y
x
1
．
上述五种幂函数，我们在初中已经学习了哪几种函数图象？（y=x1,
y=x2,
y=x-1）
1
探究：如何画
y
x
2
和
y
x3
的图象？
(教师引导学生考虑定义域)让学生列表、在课前已画好的
y=x,y=x2,y=x-1
三个图象的坐标系中描点、作图，教师巡视指导．教师利用几何画板演示下列函数图象．
幂函数性质
研究函数应该从哪些方面的内容去研究?（学生讨论，教师引导，学生回答）
探究.观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在表内.这些函数图象有公共点吗？
解析式
y
x
y
x
2
y
x3
1
y
x
2
y
x
1
定义域
值域
奇偶性
单调性
分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，展示各自的结论进行交流评析．
幂函数的性质小结：
所有幂函数的图象都过点（1,1）；
函数
y
x
，
y
x3
，
y
x
1
是奇函数，函数
y
x
2
是偶函数；
a>0
时，幂函数在（
0
，
+∞）
上单调递增；a<0
时，幂函数在（
0
，
+∞）
上单调
递减；
在第一象限内，函数
y
x
1
的图象向上与
y
轴无限接近；向右与
x
轴无限接近．
例题讲解：（证明性质）
(
x
)例
2.证明幂函数
f
(x)
是增函数.
证：函数的定义域是[0，+∞）.
任取
x1,
x2
0,,
x1
x2
，则
(
x
1
)
(
x
2
)
f
(x1)
f
(x
2
)
(
=
x1
x2
)(
x1
x1
x2
x1
x2
x2
)
=
x
x
因
x1
x2
＜0，
1
2
(
x
1
)
(
x
2
)
(
x
)
＞0
所以
f
(x1
)
f
(x2
)
，即
f
(x)
是增函数.
课后自主证明幂函数
f
(x)
x3
的单调性；
应用
练习
2.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
1
1
(1)1.52
,1.42
;
(2（)
-1.5）3，（-1.4）3
.
引导学生回顾用定义法证明函数单调性方法，规范解题格式与步骤．
课堂小结：
今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获？
幂函数的概念及其与指数函数表达式的区别；
常见幂函数的图象、性质及应用．
布置作业：
学生机：课后同步检测题；
1
思考：作出函数
y
x
3
的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．
九、板书设计
3.3
幂函数
1.
幂
函
数
的
定
义
例
（1）……………………
2.
幂
函
数
的
性
质
例
（2）……………………
十、教学反思：
本节主要学习了一类新的函数：幂函数.主要就幂函数的定义、图象性质、比较大小三方面学习幂函数.尤其比较大小与前面函数单调性密切相关，因此本节课需要学生熟记定义及图象特征，体会研究一类新函数的研究路径.