4.5.1函数的零点与方程的解教学设计-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1
函数的零点与方程的解课时教学设计人教
A
版（2019）必修一
（一）课时教学内容
函数零点的概念;函数零点、方程的解、函数图象与?轴交点的横坐标三者的等价关系;函数零点存在定理的导出及应用.
（二）课时教学目标
类比二次函数零点与方程的解的关系，得出一般函数零点与方程的解的关系，
感受从特殊到一般、数形结合、函数与方程思想，感受数学知识之间的联系，增
强学习数学的兴趣，发展数学抽象素养.
在探究活动中，得出函数零点存在定理并辨析其条件，感受数形结合思想，
培养直观想象和逻辑推理素养.
在利用函数零点存在定理解决方程问题、函数零点问题的过程中，发展数学运算素养.
（三）教学重难点
重点：函数的零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用.
难点：函数零点存在定理的导出.
（四）教材分析
教材来源：2019
年人教
A
版新教材《普通高中教科书》数学必修第一册第四章第五节函数的应用(二)第一小节.
地位与作用：函数零点存在定理提供了判断方程是否存在实数解的一个新工具，为下一小节建立求方程的近似解提供理论依据;同时教材编排上进一步采用从特殊到一般的方式，帮助学生从函数的观点认识方程.
（五）学情分析
学生在认识一元二次函数的零点的过程中，已经初步理解了一元二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备.
但对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的关系的认识比较模糊，且在函数零点存
在定理的导出过程中，涉及到将形转化为数、从几何直观到代数表达的过程，
这是学生学习的一个难点.
同时，如何在初学函数零点存在定理后对其加以正确应用也具备一定难度.
（六）课型
新授课，1
课时
（七）教学时间分配
课前准备：微课学习（6
分钟）
作业完成（20
分钟）
教学过程：复习回顾，概念生成（10
分钟）
追溯历史，问题提出（2
分钟）
活动探究，归纳概括（12
分钟）
定理辨析，应用升华（18
分钟）
课堂小结，升华理解（3
分钟）
（八）教学准备
师生平板，教学设计，教学课件，教学微课，预习案，彩线，活动探究任务卡
（九）教学方法
教法上，主要采用引导式发现法、讲授法、直观演示法等.
学法上，主要采用讨论法、探究法、练习法以及自主学习法等.
（十）教学过程设计
引言：
同学们，近段时间第三章和第四章的学习内容，我们是以函数为主线展开的.
首先用数集给出了函数更为精确的定义，然后研究了函数的性质：单调性、奇偶性，接着学习了几个基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，最后我们还感受到了分段函数、幂函数等数学模型在现实世界中的应用.今天让我们接着来探究函数在数学的内部世界又有哪些应用——请看本节
4.5.1
函数的零点与方程的解.
【复习回顾，概念生成】
回顾二次函数的零点的定义：对于二次函数?
=
??2
+
??
+
?(?
≠
0)，我们把使??2
+
??
+
?=0
的实数
x
叫做二次函数?
=
??2
+
??
+
?的零点.
问题一：你能类比二次函数零点的定义，给出一次函数?
=
??
+
?(?
≠
0)零点的定义吗？
师生活动：（随机提问）学生齐声朗读复习二次函数的零点的定义，教师通过平板随机选择一位学生回答一次函数的零点，学生回答完问题后，教师总结其实就是将二次函数的解析式替换为一次函数的解析式.
预设答案：一次函数零点的定义为：对于一次函数?
=
??
+
?(?
≠
0)，我们把使
??
+
?=0
的实数
x
叫做一次函数?
=
??
+
?的零点.
设计意图：虽然前面学生已经学习过二次函数零点的定义，但让学生直接由二次函数零点的定义类比得到一般函数零点的定义，即将函数零点的概念直接抽象化对学生而言是比较困难的.从学生熟悉的一次函数入手，贴近学生的“最近发展点”，为后面的抽象化做铺垫.
问题二：对于一般函数?
=
f(x)，你能给出?
=
f(x)零点的定义吗？
师生活动：教师提问，学生快速做出回答后，教师将一般函数?
=
f(x)零点的定义板书在白板上.
预设答案：一般函数零点的定义为对于一般函数?
=
f(x)，我们把使f(x)=0
的实数
x
叫做函数?
=
f(x)的零点(zero
point).
设计意图：经过前面一次函数零点的过渡，学生由特殊到一般、由浅入深、循序
渐进自然地类比得到一般函数零点的定义.
课前自测评析与讲解
例
1：函数
f(x)=x2-2x-3
的零点是（
）.
A.
(-1,0),(3,0)
B.
(1,0),(-3,0)
C.
-1,3
D.
1,-3
师生活动：教师选取课前预习本题出错的一位同学，回答本题的正确解法，并自
己总结预习时出错的原因.
师生共同总结出实际上就是解对应的方程
x2-2x-3=0，
同时就是函数的图象与
x
轴交点的横坐标，最后总结“零点非点”.
预设答案：函数
f(x)=x2-2x-3
的零点就是使
x2-2x-3=0
的实数
x，
求该函数的零点就是求方程
x2-2x-3=0
的实数解；
画出函数的图象后，就是函数图象与与
x
轴交点的横坐标：
错误的原因是将函数的零点当成了点，认为所求结果就是点坐标,需要注意到“零点非点”.
例
2:求下列函数的零点：
（1）
f(x)=
2x+3
（2）
f(x)=
2x－4
师生活动：教师带领学生一起梳理例
2
中一次函数、指数型函数零点的求解，并展示一次函数、指数型函数的图象.针对例
2
第（2）题求解过程中指数型方程的求解除了强调基本思路“化为同底”、画
y=2x－4
的图象即将同时回顾判断该方程解的个数时可以转化为两个函数图象的交点问题.
预设答案：（1）函数
f(x)=2x+3
的零点就是使
2x+3=0
的实数
x，求该函数的零点就是求方程
2x+3=0
的实数解；
画出函数的图象后，就是函数图象与与
x
轴交点的横坐标：
（2）函数
f(x)=2x－4
的零点就是使
2x－4=0
的实数
x，
求该函数的零点就是求方程
2x－4=0
的实数解；
画出函数的图象后，就是函数图象与与
x
轴交点的横坐标：
教师补充：判断方程
2x－4=0
实数解的情况时，先将
2x－4=0
变形为
2x=4，
判断该方程解的个数，
即判断两个函数
f(x)=2x
与
g(x)=4
图象交点的个数.
设计意图：例
1
和例
2
中的三道题目总得来说都是求函数零点问题，涉及到了二次函数、一次函数、指数型函数的零点问题，通过对应方程的求解、函数图象的画出，让学生直观感受到三者之间的等价关系.
再者，例
1
向同学们强调了“零
点非点”，例
2
的（2）为后面习题的一种思路做了铺垫.
例
3：求解函数的零点，你认为有哪些方法？
师生活动：教师向学生反馈这道题正确率偏低的原因——部分同学在预习时没能总结出求函数零点的方法本题直接提交空白，部分同学归纳了方法但不够全面、不够精炼；接着，教师引导学生回过头来看前面三个零点的求解问题，归纳总结得函数的零点、对应方程的实数解、函数图象与
x
轴交点横坐标三者之间的等价关系，并将相应关系板书于白板上.最后老师提问这道题完成较好的同学，分享求函数零点的常用方法.
预设答案：利用函数零点的等价关系
(
函数
y=
f
(
x
)
的零点
函数
y=f
(
x
)
的图与
x
轴
交点的横坐标
)
(
函数
y=
f
(
x
)
的零点
)数的角度，可以求对应方程的实数解；形的角度，可以画函数图象，看函数图象与
x
轴交点的横坐标.
综上所述，可以采用数形结合的方式去求解函数的零点.
设计意图：通过前面习题的评析讲解，学生们再次感受到从特殊到一般的归纳过程，培养学生数学抽象素养，感受数形结合的魅力.
【追溯历史，问题提出】
师生活动：教师带领学生回顾前面的问题中求解零点都可以通过解方程得到，但对于没有求根公式的方程有哪些性质是值得研究的，我们又应该如何研究这是值得思考的问题.
这里采用学生群体回答的形式，总结得到“可以应用函数的图象与性质去研究方程的解”且可以关注“是否有解，解的个数，解的范围，解的近似值…”.
设计意图：前面涉及到的方程可以直接求解，但ln
?
+
2?
?
6
=
0这个方程不能直接求解，结合前面课前微课对方程求解历史的介绍，引发学生产生疑问对于没有求根公式的的方程应该如何研究其性质，激发学生学习兴趣和探究热情，通过后继学习，进一步领会将方程问题转化为函数问题处理的必要性．
【活动探究，归纳概括】
方程的解存在不存在，就是对应函数的零点存在不存在.
换句话说，函数的零点存在就能推出对应方程有实数解，那现在就让我们从一个特殊的、有零点存在的二次函数
f(x)=x2-2x-3
出发，展开探究.
二次函数：对于二次函数
f(x)=x2
-2x-3，观察它的图象，思考零点附近函数值的变化规律：
这个函数共有两个零点，两个零点所在
的区间分别为
和
.
在区间[-2,0]上有零点，f(-2)·f(0)
0.
在区间[2,4]上有零点，f(2)·f(4)
0.
师生活动：学生根据图象，直接口头回答上述问题答案，教师再引导学生反向思考对于一个二次函数，如果给定区间端点的函数值是异号的，那二次函数的图象一定会在该区间内“穿过”x
轴,即在区间内一定有零点存在.
预设答案：两个零点所在的区间分别为
[-2,0]
、
[2,4]
.
在区间[-2,0]上有零点，f(-2)·f(0)
<
0.
在区间[2,4]上有零点，f(2)·f(4)
<
0.
设计意图：通过观察和分析特殊的二次函数图象，先引导学生把零点附近函数值的变化情况用数学符号语言表达出来，让学生对零点存在的相关规律有一个直观感知；也对学生后面利用细线探究一般函数零点存在规律的活动起到一个导向作用.
对于二次函数而言，如果给定区间对应函数值的乘积是异号的，则可以得到在该区间内函数一定有零点存在.那对于一般函数是否有类似的规律，我们又可否借助该规律给出判定一般函数给定区间存在零点的条件呢？
一般函数：用细线模拟函数的图象:把细线的一端固定在
A
点，另一端在直线上
B
点或?′点并随意摆放（不回折）细线，合作探究以下问题:
另一端在
B
点时,细线在[a,b]上是否与
x
轴一定有交点?
另一端在?′点时,细线在[a,b]上是否与
x
轴一定有交点?
通过细线模拟函数图象，函数图象的端点在什么情况下,函数必存在零点?
如何用
f(a)、f(b)的值刻画(3)中的情况?
剪断细线,(3)中的结论是否还成立?
师生活动：（实物展台）教师在学生开始探究前，让学生明确知道以下活动是针对一般函数在给定区间内探究零点存在条件展开的，因为是利用细线模拟一般函数的图象，所以在摆动细线的过程中要注意细线是不回折的.学生明白操作过程、注意事项后，同桌之间合作完成探究.教师在学生探究过程中来回视察，给予适当指导.
探究结束后，一组同桌作为代表，展示探究的过程，并回答探究问题.
预设答案：
(1)一定，并且与
x
轴交点的个数不唯一确定，但至少为
1.
(2)不一定，与
x
轴交点的个数不唯一确定，但可以为
0.
(3)异侧，即端点分别在
x
轴的两侧.
(4)
f(a)·f(b)<0.
(5)不成立.
设计意图：教材设置让学生先是观察和分析二次函数的图象，然后让学生任意画几个函数的图象，最后归纳定理.
对部分学生而言跨度较大，他们会感到“无从下笔”而不参与到活动；部分学生虽能画图，但很难会想到分段函数；因此这里采用了这样的方式让学生进行探究，首先尽力让每个学生都参与进来，再者通过细线模拟函数图象让学生再动手中直观感受到函数图象何时必然穿过
x
轴.同时问题（2）和（5）的问题为学生后期对函数零点存在定理辨析找反例提供了思路.
问题三：利用上述的探究互动，你能抽象出在何条件下可以确定函数零点必然存在的条件？
师生活动：学生通过上述探究活动，尝试用数学化的语言归纳出可以判断一般函数?
=
f(x)，?
∈
[?,
?]零点存在的条件，教师在引导过程中注意学生语言的表达以及最后零点存在区间可以精确到(a,b).
预设答案：如果函数
y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数
y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个有零点，即存在
c∈(a，
b)，使得
f(c)=0，这个
c
也就是方程
f(x)=0
的解．
设计意图：锻炼学生的数学语言表达能力，培养学生认真思考、严谨推理、善于归纳的学习习惯.
【定理辨析，应用升华】
问题四：判断下列说法是否正确，如果不正确，请举出反例.
(1)若函数
y=f(x)在区间[a,b]满足
f(a)f(b)
<0，则
y
=f(x)在区间(a,b)内一定有零点;
(2)若函数
y=f(x)在区间(a,b)内一定有零点，则
f(a)f(b)
<
0;
若函数
y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且
f(a)f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内没有零点;
若函数
y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且
f(a)f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点.
师生活动：（全班作答，大数据分析）教师通过平板发布任务后，学生限时一分半的时间迅速提交.根据大数据反馈与学生画出的反例，进行应用函数零点存在定理时易错点的交流与辨析.
如果根据提交,本题学生回答情况良好，教师补充介绍“变号零点”与“不变号零点”.
预设答案：
(1)错误，分段函数?(?)
=
{?
?
1,
?
<
0…
?
+
2,
?
≥
0
(2)错误，二次函数
f(x)=x2…
(3)错误，二次函数
f(x)=-x2…
(4)错误，分段函数?
(?)
?2
+
3?,
?
<
0
=
{??2
+
3?,
?
≥
0…
设计意图：在利用细线模拟函数进行探究的过程中,大部分的反例学生已经摆出过，这里让学生们通过自己作图画反例再次加深对于定理的辨析与理解.
问题五：判断方程ln
?
+
2?
?
6
=
0是否有解？如果有解，请问有几个解？
师生活动：(拍照讲解)
预设答案：
思路
1：想通过画对应函数?(?)
=
ln
?
+
2?
?
6图象，进而确定方程解的个数，
但在作图过程中发现遇到困难，此时需要借助于信息技术工具：
解：画出函数?(?)
=
ln
?
+
2?
?
6的图象
由图象知函数?(?)
=
ln
?
+
2?
?
6只有一个零点，
即方程ln
?
+
2?
?
6
=
0有解且只有一个实数解.
思路
2：函数零点存在定理+单调性
解：对函数?(?)
=
ln
?
+
2?
?
6，?
∈
(0,
+∞).
?(1)
=
ln
1
+
2
×
1
?
6
=
?4
<
0,
?(2)
=
ln
2
+
2
×
2
?
6
=
ln
2
?
2
<
0,
?(3)
=
ln
3
+
2
×
3
?
6
=
ln
3
>
0,
所以?(2)
?
?(3)
<
0.
又因为函数图象是连续不断的，
由函数零点存在定理知?(?)
=
ln
?
+
2?
?
6在区间(2,3)内至少有一个零点.
易得，?(?)
=
ln
?
+
2?
?
6，?
∈
(0,
+∞)是增函数,
所以函数?(?)
=
ln
?
+
2?
?
6只有一个零点，
即方程ln
?
+
2?
?
6
=
0有解且只有一个实数解.
思路
3：结合前面关于方程
2x－4=0
实数解情况判断的补充思路，转化为两个函数图象的交点问题
解：判断方程ln
?
+
2?
?
6
=
0的解的情况，
即判断方程ln
?
=
?2?
+
6的解的情况，
即判断函数?(?)
=
ln
?与函数?(?)
=
?2
?
+
6图象交点的情况，
由交点个数为
1，得到方程ln
?
+
2?
?
6
=
0有解且只有一个实数解.
设计意图：利用函数的图象与性质回过头来解决前面抛出的问题，选取学生代表讲出解题思路，针对学生遇到的困难加以适当引导，
让学生真实感受到函数的图象与性质在研究方程解的妙用.
并在提问学生解存在的范围能否再精确时，为下节课“二分法的教学埋下伏笔”.
【课堂小结，提升理解】
问题六：通过本节课的学习，你学会了哪些数学知识，领悟到了哪些数学思想方法？
师生活动：学生思考结束后，请学生代表发言，教师补充完善.
预设答案：
知识和内容：掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程解的关系；学会图象连续的函数在某区间上存在零点的判定方法;函数图象与性质的应用.
数学思想方法：由特殊到一般的归纳思想，数形结合的思想，函数与方程的思
想.
设计意图：引领学生进行回顾总结，归纳本课内容、提炼思想方法、总结学习经验，将所学知识纳入已有知识体系，使学生在上完一节课后能形成关于本节课内容的清晰认知结构
(
3.
判断方程
ln
?
+
2?
?
6
=
0
是否有解？如果有解，请问有几个解？
(1)图象法
?
(
?
)
=
ln
?
+
2?
?
6
定理
+
单调性
两个图象交点
唯一确定
+
4.5.1
函数的零点与方程的解
1.零点：对于一般函数
?
=
f
(
x
)
，使
f
(
x
)
=0
的实数
x
.
2.定理：函数
?
=
f
(
x
)
，
?
∈
[
?,
?
]
(
a
,
b
)
内至少有一个零点存在
)（十一）板书设计
（十二）目标检测设计
1.
求函数?(?)
=
??
?
?
1的零点.
设计意图：考察学生对函数零点定义的理解.
2.
函数?(?)在区间（0，2）内有零点，则（）.
A．
?(0)
>
0，?(2)
<
0
B．?(0)
·
?(2)
<
0
C．在区间（0，2）内，存在?1,
?2使?(?1)
?
?(?2)
<
0
D．以上说法都不正确
设计意图：考察学生对函数零点存在定理的理解.
3.判断函数?(?)
=
?
?
3
+
??
?的零点个数，并判断该零点所在区间.
设计意图：考察学生对应用函数的图象和性质去研究方程的解的理解