2021—2022学年人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题 教学课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
最短路径问题
学校：
教师：
最短路径问题：
是生活中的实际问题，在解决修路、铺管道等问题的时候可以起到节约人力、物力、财力的作用，这就需要把实际问题转化为数学问题来解决。
今天我们就通过几个实际问题学习如何设计最短路径。
相传，古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题:
如图，从点A
地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B
地，到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”。
A
B
l
导：
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
知识回顾：
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小
的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A
′
C
抽象成
A
B
l
数学问题
实际问题
A
B
l
作图：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”
C′
思：
“两边之和大于第三边”。
问题
如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
思：1.如何把“同侧”转换“异侧”？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
C
B
′
2.满足直线l
上的任意一点C，使CB
与CB′的长度相等？
3.在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
A
B
l
C′
C
B
′
议：你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
证明：由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′．
∴　AC
+BC=
AC
+B′C
=
AB′，
∴
AC′+BC′=
AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC
+BC＜AC′+BC′．
即　AC
+BC
最短．
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交于点C．
则点C
即为所求．
A
B
l
B
′
C
1.将“同侧”问题转换“异侧”问题；
2.利用的轴对称的性质将相等线段进行转换；
3.将求线段长的和转化为求某一线段的长。
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，
变式1：
如图:M、N为
ABC边AB、AC上的两点，在BC上求作一点P,使
PMN的周长最小。
A
B
C
M
N
如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
F
A
O
B
D
·
·
C
E
G
H
变式2：
作法：
1.作点C关于直线
OA
的
对称点点F,
2.
作点D关于直线
OB
的对称点点E,
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
则CG+GH+DH最短
限时练：
1.如图.P为
AOB内一点，P1，
P2分别是P关于OA，OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，若
P1
P2
=8cm.则
PMN的周长是（
）.
O
A
B
P2
P1
P
M
N
A.7cm
B.5cm
C.8cm
D.10cm
2.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和(3，0)，点C是y轴上一个动点，当
ABC的周长最小时，则求此时点C的坐标.
y
A
B
C
O
x
B
′
评：
这节课我们学习了哪些知识，运用了哪些数学思想？还存在哪些疑问？
本节课结束
同学们再见