A级 基础巩固
1.若斜率为的直线与双曲线-=1(a>0,b>0)恒有两个公共点,则双曲线的离心率的取值范围是
( )
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(1,)
D.(,+∞)
解析:因为斜率为的直线与双曲线-=1(a>0,b>0)恒有两个公共点,所以>,所以e==>,所以双曲线离心率的取值范围是(,+∞).
答案:D
2.过双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长FM交双曲线C1于点N,若点M为线段FN的中点,则双曲线C1的离心率为
( )
A.+1
B.
C.
D.
解析:设双曲线的右焦点为F1,由题意,
得|FN|=2b,|F1N|=2a,|FN|-|F1N|=2a,
所以b=2a,则e===.
答案:C
3.经过双曲线-y2=1的右焦点的直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线的条数为
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:由双曲线方程-y2=1,可得a=2,b=1.若直线AB只与双曲线右支相交,则AB的最小值是=1.因为|AB|=4>1,所以此时有两条直线符合条件.若直线AB与双曲线两支都有交点,则AB的最小距离是2a=4,距离无最大值.因为|AB|=4,所以此时有1条直线符合条件.综上可得,共有3条直线符合条件.
答案:B
4.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的左、右支各有一个公共点,则k的取值范围是-1
解析:由消去y,得(1-k2)x2+2kx-5=0,依题意,
得解得-15.若直线y=x-4与双曲线-=1相交于A,B两点,则|AB|=2.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).
将直线方程y=x-4代入-=1,整理,得2x2-24x+57=0,
则有x1+x2=12,x1x2=.
由弦长公式,
得|AB|=·=×=2.
6.求两条渐近线为x±2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线方程.
解:由题意,设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
联立方程组,得
消去y,得3x2-24x+(36+λ)=0(λ≠0).
设直线被双曲线截得的弦为AB,
且A(x1,y1),B(x2,y2),
则
所以|AB|==
==.
解得λ=4,经检验,λ=4符合题意,
所以所求双曲线方程是-y2=1.
B级 拓展提高
7.在双曲线-=1中,被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是
( )
A.8x-9y=7
B.8x+9y=25
C.4x+9y=6
D.不存在
解析:因为点P(2,1)为弦的中点,由双曲线的对称性,知当直线斜率不存在时,不符合题意.假设直线的斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-2),将y=k(x-2)+1代入双曲线方程,得(4-9k2)x2+(36k2-18k)x-36k2+36k-45=0,且4-9k2≠0,则Δ=(36k2-18k)2-4×(4-9k2)×(-36k2+36k-45)>0.设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2==4,解得k=,代入Δ,得Δ<0,故不存在满足条件的直线.
答案:D
8.如图,已知双曲线C:-=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直,直线l与两条渐近线分别交于点M,N,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为
( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
解析:因为|NF1|=2|MF1|,所以M为NF1的中点.又因为OM⊥F1N,所以∠F1OM=∠NOM.又因为∠F1OM=∠F2ON,所以∠F2ON=60°,所以双曲线C的一条渐近线的斜率为k=tan
60°=,即双曲线C的渐近线方程为y=±x.
答案:B
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线的左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线的离心率为+1.
解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意,知直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=.由对称性,可知x1+x2=0,x1·x2=,y1·y2=3x1·x2=.设F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故·=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边同除以a4,得-6-3=0,解得=3+2或=3-2(舍去).故离心率e===+1.
10.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与该双曲线的右支交于A,B两点,△ABF1的周长为7a,则该双曲线的离心率的取值范围是.
解析:设|AF2|=m,|BF2|=n.
由双曲线的定义可得|AF1|=2a+m,|BF1|=2a+n,
则△ABF1的周长为m+n+2a+m+2a+n=4a+2(m+n)=4a+2|AB|=7a,
所以|AB|=a.
由x=c,可得y=±b=±,则|AB|的最小值为,即有a≥,
可得≤,则e==≤
=.
又因为e>1,所以111.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1的渐近线相同,且经过点(2,3).
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过点F2,倾斜角为π,且与双曲线C交于A,B两点,求△F1AB的面积.
解:(1)设所求双曲线C的方程为-=λ(λ<0),
将点(2,3)代入方程,得-=λ,解得λ=-,
所以双曲线C的方程为-=-,即x2-=1.
(2)由(1),知F1(-2,0),F2(2,0).由题意,知直线AB的方程为y=2-x.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
消去y,得2x2+4x-7=0,且Δ=16+56>0,
所以x1+x2=-2,x1x2=-.
由弦长公式,得|AB|=×=6,
点F1(-2,0)到直线AB:x+y-2=0的距离d==2,
所以=|AB|·d=×6×2=6.
12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,右顶点为(1,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线y=-x+m与y轴交于点P,与双曲线C的左、右两支分别交于点Q,R,且=2,求m的值.
解:(1)因为e==2,a=1,所以c=2,b=.
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设点Q的横坐标为xQ,点R的横坐标为xR.
根据平行线分线段成比例定理,得==2,
联立消去y,得2x2+2mx-3-m2=0,对于任意m,Δ>0.
由题意,得xQ<0所以xQ=,xR=,
则===2,
解得m=1或m=-1(舍去).故m=1.
C级 挑战创新
13.多选题若双曲线C过点(3,),且它的渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是
( )
A.双曲线C的方程为-y2=1
B.双曲线C的离心率为
C.曲线y=ex+2-1经过双曲线C的一个焦点
D.直线x-2y-1=0与双曲线C有两个公共点
解析:A项,设双曲线C的方程为3x2-9y2=λ(λ≠0),将点(3,)代入方程,得λ=9,所以双曲线方程为-y2=1,所以该选项正确;
B项,因为双曲线C的方程为-y2=1,所以双曲线的离心率为e==,所以该选项不正确;
C项,由双曲线C的方程为-y2=1,得它的一个焦点为(-2,0),把点(-2,0)代入y=ex+2-1,得0=e0-1,等式成立,所以该选项正确;
D项,联立消去y,得x2+6x-15=0,Δ=96>0,所以直线x-2y-1=0和双曲线C有两个公共点,所以该选项正确.
答案:ACD
14.多选题已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|,且△PF1F2的最小内角为30°,则
( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为y=±x
C.∠PAF2=45°
D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点
解析:A项,因为|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.
又因为2c>2a,4a>2a,所以∠PF1F2=30°,
所以cos
∠PF1F2==,
所以c=a,所以离心率e=,故此选项正确.
B项,因为e2=1+==3,所以=2,所以=±,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,故此选项正确.
C项,因为2c=2a,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,所以∠PF2F1=90°,又因为|AF2|=c+a=(+1)a,|PF2|=2a,所以|AF2|≠|PF2|,所以∠PAF2≠45°,故此选项错误.
D项,因为c=a,所以b2=2a2.
联立消去x,
得2(2-2y)2-y2=2a2,
所以7y2-16y+8-2a2=0.
因为Δ=162-4×7×(8-2a2)=32+56a2>0,
所以直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点,
故此选项正确.
答案:ABDA级 基础巩固
1.已知A,B为抛物线y2=2x上两点,且A与B的纵坐标之和为4,则直线AB的斜率为
( )
A.
B.-
C.-2
D.2
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,由得=2,即4kAB=2,所以kAB=.
答案:A
2.若P为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为抛物线的焦点,则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为
( )
A.相交
B.相离
C.相切
D.不确定
解析:设PF的中点M(x0,y0),作MN⊥y轴于点N(图略).设P(x1,y1),则|MN|=x0=(|OF|+x1)==|PF|.故相切.
答案:C
3.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在抛物线y2=x上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由题意可得,AB=2,AB所在直线的方程为x+y-2=0.
设点C的坐标为(m2,m),则点C到直线AB的距离d=.由于△ABC的面积为2,故×2×=2,化简可得|m2+m-2|=2,
所以m2+m-2=2①,或m2+m-2=-2②.
解①求得m=或m=;
解②求得m=0或m=-1.
综上可得,使得△ABC的面积为2的点C的个数为4.
答案:D
4.(新高考山东卷)若斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=.
解析:由题意可得抛物线C的焦点为F(1,0),p=2,所以斜率为的直线的方程为y=(x-1),
把直线的方程代入y2=4x并化简,得3x2-10x+3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.
由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=+2=.
5.若正三角形的一个顶点位于原点O,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,且该正三角形的边长为8,则p=2.
解析:设正三角形的另两个顶点为A,B.根据抛物线的对称性可知,正三角形OAB的另两个顶点A,B关于x轴对称,设A,则由正三角形的边长为8,可得解得p=2.
6.根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
解:(1)将双曲线方程化为标准方程-=1,得左顶点为(-3,0).
由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0),且=-3,所以p=6,
所以抛物线方程为y2=-12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p≠0),点A的坐标为(m,-3).由抛物线定义,得5=|AF|=,结合(-3)2=2pm,得p=±1或p=±9,
故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
B级 拓展提高
7.已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若|AF|+|BF|=4,线段AB的中点到直线x=的距离为1,则p的值为
( )
A.1
B.1或3
C.2
D.2或6
解析:设A(xA,yA),B(xB,yB).由|AF|+|BF|=4,得xA++xB+=4,即xA+xB=4-p,所以2x中=4-p.因为线段AB的中点到直线x=的距离为1,所以=1,所以|2-p|=1,解得p=1或p=3.
答案:B
8.过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则+=
( )
A.2
B.1
C.
D.
解析:由题意知抛物线y2=4x的焦点为(1,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=k(x-1),
由方程组得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+2=4+.同理可得|CD|=4+4k2,所以+=+=.
答案:D
9.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点A(1,
a)(a>0)在抛物线C上,若直线AF与抛物线C交于另一点B,则|AB|的值是
( )
A.12
B.10
C.9
D.4.5
解析:因为A(1,
a)(a>0)在抛物线C:y2=8x上,所以a2=8,解得a=2或a=-2(舍去),即A(1,2),故直线AF的方程为y=-2(x-2).
由消去y,得x2-5x+4=0,
解得x1=1,x2=4,所以点B的坐标为(4,-4),
则|AB|==9.
答案:C
10.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点P(m,3)到焦点F的距离为4,直线l过点M(0,3)且与抛物线C交于A,B两点,|BF|=5,若|AM|=λ|BM|,则λ=.
解析:由题意,知3+=4,得p=2,故抛物线C的方程为x2=4y,所以F(0,1).
因为|BF|=5,所以点B的坐标为(4,4)或(-4,4),
当点B的坐标为(4,4)时,直线l的方程为y=x+3,与x2=4y联立可得x2-x-12=0,解得x=4或x=-3,
所以点A的坐标为,
所以==,所以λ=.
同理,当点B的坐标为(-4,4)时,λ=.
11.多空题抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,则a=4,m=±2.
解析:由题意,得a>0,且
所以
12.多空题已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,若它的准线过点(2,1),则该抛物线的标准方程为y2=-8x,焦点坐标为(-2,0).
解析:根据抛物线关于x轴对称,设其方程为y2=mx,又由其准线过点(2,1),得其准线为直线x=2,则-=2,解得m=-8,则该抛物线的标准方程为y2=-8x,焦点坐标为(-2,0).
13.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.
解:(1)由题意,得3+=5,所以p=4,
所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)由(1),知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),
则即
而点P(x0,y0)在抛物线C上,即=8x0,
所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),
即所求点M的轨迹方程为y2=4x-4.
C级 挑战创新
14.已知抛物线y2=2x.
(1)设点A的坐标为,求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(2)在抛物线上找一点M,使M到直线x-y+3=0的距离最小,求出M的坐标及距离的最小值.
解:
(1)设抛物线上任一点P(x,y),则
|PA|2=+y2=+2x=+,x≥0.
所以当x=0时,|PA=,所以|PA|min=,故距离点A最近的点P的坐标为(0,0).
(2)设点M(x0,y0)是抛物线y2=2x上任意一点,则点M到直线x-y+3=0的距离d===,
当y0=1时,dmin==,
所以点M的坐标为.(共31张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
重点探究知发展
读一已知椭圆形隧道及相关数据,求隧道设计的拱宽
想建立直角坐标系,求出椭圆方程再求拱宽
设椭圆隧道的标准方程为
2+b2=1(y>0,a>b>0)
建立平面直角坐标系,如图所示,
则点P(6,5)在椭圆
算将b==6与点P(6,代入椭圆方程得a
所以L=2a
√11
22
即隧道设计的拱宽l至少是22米
(1)解决关于椭圆的实际问题的基本步骤
①认真审题,理顺题中的各种关系,如等量关系
②结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系
思一③利用椭圆知识及其他相关知识求解
(2)椭圆上的点到其个焦点的距离的最大值是a+c,最
小值是a-c,其中c2=a2-b2
直线与椭圆位置
椭圆的方程
关系的判断方法
及性质
知识
中点弦问题的求解方法川方法
弦长公式
求弦长的方法
数学运算」逻辑推理」数学建模
素养或思想(共31张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
预习导学思维动
重点探究知发展
求双曲线的离心率的方法
双曲线的
知识一几何性质
方法
求双曲线的渐近线
方程的方法
直观想象数学运算(逻辑推理
素养或思想A级 基础巩固
1.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为
( )
A.y2=x
B.x2=3y
C.x2=y
D.y2=3x
解析:因为点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),所以抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为x2=3y.
答案:B
2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于a2+2a+3(a∈R),则这样的直线
( )
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有一条或两条
D.不存在
解析:
设A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=xA+xB+p=a2+2a+5=(a+1)2+4≥4,而通径的长为4,所以有1条或2条.
答案:C
3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是
( )
A.
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.[-4,4]
解析:由题意,得准线方程为x=-2,所以Q(-2,0).设直线l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,x=0,即交点为(0,0);当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0答案:C
4.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=
( )
A.4
B.8
C.8
D.16
解析:设P(x0,y0),则A(-2,y0).又因为F(2,0),所以=-,所以y0=4.由=8x0得8x0=48,所以x0=6.从而|PF|=6+2=8.
答案:B
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线l交抛物线于点M,N,交抛物线的准线于点P,若=2,则直线l的倾斜角为或.
解析:如图①②,过点M作MB⊥l,B为垂足.
由=2,知F为PM的中点,所以|BM|=2p,即|FM|=2p,
所以|PF|=2p=2|AF|,
所以∠PFA=,所以直线l的倾斜角为或.
①
②
故答案为或.
6.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线l,交抛物线于A,B两点.求:
(1)被抛物线截得的弦长|AB|;
(2)线段AB的中点到直线x+2=0的距离.
解:(1)由已知,得抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2.
所以直线l的方程为y=x-2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组得x2-12x+4=0,
所以x1+x2=12,x1x2=4,
所以|AB|=·=×=16,
所以被抛物线截得的弦长|AB|=16.
(2)设线段AB中点的坐标为(x,y),则x==6,y=6-2=4,
所以线段AB的中点坐标为(6,4),
点(6,4)到直线x+2=0的距离,即到直线x=-2的距离,为6-(-2)=8.
所以线段AB的中点到直线x+2=0的距离为8.
B级 拓展提高
7.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为
( )
A.
B.2
C.
D.3
解析:设A,B所在直线的方程为y=-x+b,代入y=2x2,得2x2+x-b=0,所以x1+x2=-,x1x2=-=-,所以b=1,即A,B所在直线的方程为y=-x+1.设AB的中点为M(x0,y0),则x0==-,代入y0=-x0+1,得y0=.又因为M在直线y=x+m上,所以=-+m,所以m=.
答案:A
8.若双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线C2:y2=2px(p>0)交于A,O,B三点(O为坐标原点),且直线AB经过抛物线C2的焦点,则该双曲线的离心率为
( )
A.
B.
C.3
D.5
解析:由题意,得A,B关于x轴对称,设点A在x轴上方,可得A,因为双曲线的两条渐近线方程为bx-ay=0,bx+ay=0,点A在双曲线的渐近线上,且在x轴上方,所以点A在直线bx-ay=0上,将点A的坐标代入得-pa=0,即b=2a,可得c2-a2=4a2,所以双曲线的离心率为e==.
答案:B
9.设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,又知点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=8.
解析:分别过点A,B,P作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,Q(图略),根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.
10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|·|BF|的最小值是4.
解析:由题意,知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),
当AB所在直线的斜率k存在时,设AB所在直线的方程为y=k(x-1),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=1.
依据抛物线的定义,得|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1,
所以|AF|·|BF|=+2=4+>4.
当AB所在直线的斜率k不存在时,|AF|·|BF|=2×2=4.
综上所述,|AF|·|BF|的最小值是4.
11.在平面直角坐标系中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)若抛物线C上存在相异的两点P和Q关于直线l对称,求p的取值范围.
解:(1)因为直线x-y-2=0与x轴的交点坐标为(2,0),
所以抛物线的焦点为(2,0),所以=2,即p=4,
故抛物线C的方程为y2=8x.
(2)设点P,Q,
故kPQ==.
又因为P,Q关于直线l对称,
所以kPQ=-1,即y1+y2=-2p,
所以(x1+x2)=(y1+y2)+2,即x1+x2=4-2p.
又因为x1+x2=,
所以+=8p-4p2,故y1y2=4p2-4p.
所以y1,y2是关于y的方程y2+2py+4p2-4p=0的两个不同的实数根,
因此Δ=(2p)2-4(4p2-4p)>0,
解得012.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点(O为坐标原点).
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
(1)证明:由消去x,得ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得
y1y2=-1,y1+y2=-.
因为点A,B在抛物线y2=-x上,
所以=-x1,=-x2,所以·=x1x2.
因为kOA·kOB=·===-1,
所以OA⊥OB.
(2)解:设直线y=k(x+1)与x轴交于点N,如图所示,显然k≠0.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+|ON||y2|
=|ON|·|y1-y2|,
所以S△OAB=×1×=.
因为S△OAB=,
所以=,解得k=±.
C级 挑战创新
13.多选题已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是
( )
A.+=1
B.|AF|=6
C.|BD|=2|BF|
D.F为AD的中点
解析:根据题意作出示意图,如图所示,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1.
因为直线l的斜率为,即∠xFA=60°,
则∠FDA1=30°.
设|BD|=x,则在Rt△DBB1,Rt△DAA1中,|BB1|=,|AA1|=4+,
所以|BB1|=|BF|=,|AA1|=|AF|=4+,
所以|AB|=|AF|+|BF|=4++=4+x=8,
解得x=4,
所以|BF|=2,|AF|=6,所以选项B正确;
+=+≠1,所以选项A不正确;
因为|BD|=4,满足|BD|=2|BF|,所以选项C正确;
而|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,所以选项D正确.故选BCD.
答案:BCD
14.多空题如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=3,则直线AB的方程为y=(x-1),|AB|=.
解析:由题意,得F(1,0),准线方程为x=-1,过点B作准线的垂线,垂足为E,则|BE|=|FB|.因为=3,所以|BC|=2|BE|,由勾股定理,得|CE|=|BE|,所以直线AB的斜率k=,所以直线AB的方程为y=(x-1),由得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=,结合抛物线方程可得,A(3,2),B,
所以|AB|==.A级 基础巩固
1.已知A(-5,0),B(5,0).动点C满足|AC|+|BC|=10,则点C的轨迹是
( )
A.椭圆
B.直线
C.线段
D.点
解析:由|AC|+|BC|=10=|AB|,知点C的轨迹是线段AB.
答案:C
2.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是
( )
A.圆
B.椭圆
C.线段
D.直线
解析:设右焦点为F2,坐标原点为O,
由题意,知|PO|=|MF2|,|PF1|=|MF1|.又因为|MF1|+|MF2|=2a,
所以|PO|+|PF1|=a>|F1O|=c,故由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆.
答案:B
3.设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
解析:由椭圆定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8,不妨设|PF1|>|PF2|,
因为|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3,
又因为|F1F2|=2c=4,所以△PF1F2为直角三角形.
答案:B
4.如果椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=
( )
A.
B.
C.3
D.5
解析:因为椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1.因为k-1=4,所以k=5.故选D.
答案:D
5.若关于x,y的方程+=1表示椭圆,则m满足的条件是.
解析:由关于x,y的方程+=1表示椭圆,
知解得m>,且m≠1.
6.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥.若△PF1F2的面积为9,则b=3.
解析:依题意,得
可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.
7.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C上一点到两焦点F1,F2的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标.
解:因为椭圆上一点到两焦点的距离之和为4,
所以2a=4,a2=4.
因为点是椭圆上的一点,
所以+=1,
所以b2=3,所以c2=1,
所以椭圆C的方程为+=1.
焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0).
B级 拓展提高
8.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m>2),则点P的轨迹是
( )
A.椭圆
B.线段
C.不存在
D.椭圆或线段
解析:因为m>2,所以m+>2=4,所以点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.
答案:A
9.下列选项中,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为
( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
解析:方法一:验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.
方法二:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),
则解得故选D.
答案:D
10.若椭圆+=1过点(-2,),则焦距等于4.
解析:因为椭圆+=1过点(-2,),所以m2=16,则c2=16-4=12,故焦距2c=4.
11.椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为4.
解析:由椭圆方程可知,a2=25,所以a=5.如图,设椭圆的另一个焦点为F2,因为|MF1|=2,所以|MF2|=2a-|MF1|=8.连接|MF2|,在△MF1F2中,N是MF1的中点,O为F1F2的中点,所以ON是△MF1F2的中位线,所以|ON|=|MF2|=4.
12.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.
解:(1)由题意,知椭圆焦点在y轴上,且c=1.
又因为3a2=4b2,所以a2-b2=a2=c2=1,
所以a2=4,b2=3,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)如图(示意图),|PF1|-|PF2|=1.
由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=4,
所以|PF1|=,|PF2|=.又因为|F1F2|=2,
所以cos
∠F1PF2==.
C级 挑战创新
13.多选题若椭圆+=1的焦距是2,则m的值是
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=4.c2=m-4.又因为2c=2,所以c=1.所以m-4=1,所以m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,所以c2=4-m=1,所以m=3.
答案:AC
14.多空题已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,设P(x0,y0)为椭圆上一点,当∠F1PF2为直角时,点P的横坐标x0=±;当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标x0的取值范围是.
解析:由椭圆的方程+y2=1,得c=2,
所以F1(-2,0),F2(2,0),所以=(-2-x0,-y0),=(2-x0,-y0).
因为∠F1PF2为直角,
所以·=0,即+=4,
①
又因为+=1,
②
①②联立消去,得=,所以x0=±.
因为∠F1PF2为钝角,所以·<0,
即+<4,
③
又因为+=1,
④
由③④,得-1.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|-|PF2|=4,则动点P的轨迹是
( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.不存在
D.双曲线或线段或不存在
解析:因为定点F1(0,-3),F2(0,3),
所以2c=6,点P满足|PF1|-|PF2|=4<|F1F2|,
所以点P的轨迹是双曲线的上支.
答案:B
2.已知双曲线-=1上的点P到点(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为
( )
A.7
B.23
C.5或25
D.7或23
解析:设F1(-5,0),F2(5,0),F1,F2正好为双曲线的焦点,则由双曲线的定义,知||PF1|-|PF2||=2a=8,而|PF2|=15,所以|PF1|=7或23.
答案:D
3.双曲线-=1的焦距是
( )
A.16
B.4
C.8
D.2
解析:由题意可得双曲线中a2=m2+12,b2=4-m2,则c2=a2+b2=16,焦距为2c=2×=8.
答案:C
4.设F1,F2是双曲线x2-4y2=4的两个焦点,P在双曲线上,且·=0,则||·||=2.
解析:将双曲线方程x2-4y2=4化为-y2=1,
不妨设||>||,则||-||=4,
故+-2||·||=16.
又因为·=0,
所以⊥,故+=(2c)2==20,
所以||·||=2.
5.若关于x,y的方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围是(-∞,-3).
解析:因为关于x,y的方程-=1表示焦点在y轴上的双曲线,所以解得m<-3.
6.在下列条件下分别求双曲线的标准方程.
(1)经过两点(3,0),(-6,-3);
(2)a=2,经过点(2,-5),焦点在y轴上.
解:(1)因为双曲线经过点(3,0),所以双曲线的焦点在x轴上.
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)因为a=2,且焦点在y轴上,
所以可设双曲线的标准方程为-=1(b>0).
又因为双曲线经过点(2,-5),所以-=1,
解得b2=16,
所以双曲线的标准方程为-=1.
B级 拓展提高
7.(
全国卷Ⅰ)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为
( )
A.
B.3
C.
D.2
解析:由题意可得a=1,b=,c=2,
所以|F1F2|=2c=4.
因为|OP|=2,
所以|OP|=|F1F2|,
所以△PF1F2为直角三角形,
所以PF1⊥PF2,
所以|PF1|2+|PF2|2=4c2=16.
因为||PF1|-|PF2||=2a=2,
所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,
所以|PF1|·|PF2|=6,
所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=3.
故选B.
答案:B
8.已知双曲线C:-y2=1(a>0)与圆x2+y2=4恰好有2个不同的公共点,F是双曲线C的右焦点,过点F的直线与圆x2+y2=4切于点A,则点A到双曲线C的左焦点的距离为
( )
A.
B.
C.
D.
解析:如图,设双曲线的左焦点为H,连接AO,过点A作AB⊥x轴于点B.
因为双曲线C:-y2=1(a>0)与圆x2+y2=4恰好有2个不同的公共点,
所以a2=4,所以-y2=1,
所以F(,0),H(-,0).
因为过点F的直线与圆x2+y2=4切于点A,
所以|AF|==1,
所以S△AOF=|AO|·|AF|=×2×1=1.
又因为S△AOF=|AB|·|OF|,
所以|AB|=,|OB|=,即A,
所以点A到左焦点的距离为=.
答案:D
9.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16外切,则动圆圆心的轨迹方程为-=1(x≤-2).
解析:设动圆圆心为P,由题意,知|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|,则动圆圆心P的轨迹是以点A,B为焦点的双曲线的左支.
又因为a=2,c=4,所以b2=12,故动圆圆心的轨迹方程为-=1(x≤-2).
10.已知F是双曲线-=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为9.
解析:如图,设右焦点为F',连接PF'.
依题意,得|PF|=|PF'|+4,
所以|PF|+|PA|=|PF'|+4+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4.
因为|AF'|==5,
所以|PF|+|PA|≥5+4=9,即|PF|+|PA|的最小值为9.
11.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且|MF1|=2|MF2|,试求△MF1F2的面积.
解:(1)椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c=,
故可设双曲线方程为-=1,因为点(3,-2)在双曲线上,所以解得或
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)因为点M在双曲线上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,|MF1|=2|MF2|,
所以点M在双曲线的右支上,
则有|MF1|-|MF2|=2,
解得|MF1|=4,|MF2|=2.
又因为|F1F2|=2,
所以在△MF1F2中,
cos
∠F1MF2==,
所以sin
∠F1MF2=,
所以=|MF1|·|MF2|·sin
∠F1MF2=×4×2×=2.
12.A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东方向6
km处,C在B北偏西30°方向上,相距4
km,P为敌炮阵地,某时刻在A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A地距P地远,因此4
s后,B,C两地才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1
km/s,A若炮击P地,求炮击的方向角.
解:如图,以直线BA为x轴,线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,每个单位长度代表1
km.
则B(-3,0),A(3,0),C(-5,2).
由题意,知|PB|=|PC|,
所以点P在线段BC的垂直平分线上.
设敌炮阵地P的坐标为(x,y),BC的中点为D,连接PD,PA,如图,则D点的坐标为(-4,).
因为kBC=-,
所以直线lPD的方程为y-=(x+4).
①
又因为|PB|-|PA|=4<6,
故P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.
所以双曲线方程为-=1(x≥2).
②
联立①②两式,得x=8,y=5,
所以P点的坐标为(8,5).
所以kPA==.故炮击的方向角为北偏东30°.
C级 挑战创新
13.多选题若关于x,y的方程+=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是
( )
A.若1B.若t<1,则C为双曲线
C.若C为双曲线,则焦距为4
D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则3解析:若关于x,y的方程+=1表示椭圆,则满足解得1当t=3时,方程x2+y2=2表示圆,所以A项不正确.
若关于x,y的方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则满足解得3当t<1时,5-t>0,t-1<0,此时C表示焦点在x轴上的双曲线,所以B项正确.
当t=0时,C为双曲线,则双曲线的焦距为2=2,所以C项不正确.
答案:BD
14.多空题若F1,F2是双曲线C:x2-=1(y≠0)的左、右焦点,点P是双曲线C上一点,若|PF1|=6,则|PF2|=8,△PF1F2的面积=24.
解析:根据双曲线的定义,若|PF1|=6,则||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF2|=4或8.因为y≠0,而只有当P点落在x轴上时才会有|PF2|=4,故舍去此种情况,所以|PF2|=8.因为|PF1|2+|PF2|2=62+82=102=|F1F2|2,所以△PF1F2是直角三角形,故=×6×8=24.(共28张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
重点探究知发展
读
已知三点在抛物线上,PA,PB的斜率存在且倾斜角互补
想
(1)待定系数法
(2)表示出斜率,化简
(1)由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)
由点P(1,2)在抛物线上,得22=2p×1,解得p=2
故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1
(2)因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,
所以k
算
又因为A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,
所
从而有
y2+2
4
4
得y1+
故直线AB的斜率kAB
规律方法
(1)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过
定点问题解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法
思一向量法等解决这些问题的关键是代换和转化
(2)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表
示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说
明与参数无关,也常用“特值探路”法,找定点、定值
判断直线与抛物线
知识抛物线的方程位置关系的方法
方法
及性质
中点弦”所在直线
问题的两种解法
逻辑推理)(数学运算
素养或思想(共27张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
预习导学思维动
重点探究知发展
知识物线的简单抛物线焦点弦
问题的解法方法
数学运算)(直观想象(逻辑推理
素养或思想A级 基础巩固
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则
( )
A.a2=2b2
B.3a2=4b2
C.a=2b
D.3a=4b
解析:因为椭圆的离心率e==,所以a2=4c2.又因为a2=b2+c2,所以3a2=4b2.
答案:B
2.椭圆+=1的左顶点到右焦点的距离为
( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析:由椭圆方程+=1,可得a=4,b=2,c=2,椭圆+=1的左顶点(-4,0)到右焦点(2,0)的距离为2-(-4)=6.
答案:D
3.已知椭圆C:+=1(a>0)的一个焦点为(2,0),则椭圆C的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意,知c=2.因为a2=4+22=8,
所以a=2,所以e===.
答案:C
4.若椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,P是椭圆上一点,P到F的距离的最大值为5,最小值为3,则该椭圆的方程为
( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
解析:由题意,得解得所以b=,所以椭圆方程为+=1.
答案:A
5.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点B是椭圆C的上顶点,若△BF1F2为等边三角形,则椭圆的离心率为.
解析:因为△BF1F2为等边三角形,所以a=2c,所以e==.
6.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,在椭圆C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为2.
解析:由题意,得F1(-2,0),F2(2,0).
设P(x,y),则=(x+2,y),=(x-2,y).
因为PF1⊥PF2,所以·=0,所以(x+2,y)·(x-2,y)=x2-4+y2=0,
即x2-4+4=0,解得x=0.
这时点P为短轴的两顶点,坐标分别为(0,2),(0,-2),故答案为2.
7.求经过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同离心率的椭圆的标准方程.
解:设所求椭圆方程为+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0),
将点M的坐标代入可得+=k1或+=k2,
解得k1=,k2=,故+=或+=,
即所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
8.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点M,求椭圆C的离心率.
解:由题意,
得2a=|MF1|+|MF2|=+=2.
所以a=.
由已知得c=1,所以椭圆C的离心率e===.
B级 拓展提高
9.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆+y2=相切于点Q(其中c为椭圆的半焦距),且=
2,则椭圆C的离心率等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析:设椭圆的左焦点为F',圆+y2=的圆心为E,
连接PF',QE,如图.
因为|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,
所以===,
所以△FQE∽△FPF',PF'∥QE,
所以=,且PF'⊥PF.
又因为|QE|=,所以|PF'|=b.
根据椭圆的定义,知|PF'|+|PF|=2a,
所以|PF|=2a-b.
因为PF'⊥PF,
所以|PF'|2+|PF|2=|F'F|2,
所以b2+(2a-b)2=(2c)2,
所以2(a2-c2)+b2=2ab,所以3b2=2ab,
所以b=,c==a,=,
所以椭圆的离心率为.
答案:A
10.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是.
解析:由=2,BF⊥x轴,得|AO|=2|FO|(O为坐标原点),即a=2c,则离心率e=.
11.已知P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,则m2+n2的取值范围是[1,2].
解析:
因为P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,所以m2+=1,
即n2=2-2m2,所以m2+n2=2-m2.
又因为-1≤m≤1,所以1≤2-m2≤2,所以1≤m2+n2≤2.
12.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.
(1)求椭圆E的离心率e.
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.
(1)解:由题意,知M,kOM=,
所以=.
所以a=b,c==2b,故e==.
(2)证明:由N是AC的中点,知N,
可得=.
又因为=(-a,b),从而有·=-a2+b2=(5b2-a2),
由(1),知a2=5b2,所以·=0,
故MN⊥AB.
13.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围.
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.
(1)解:不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos
60°
=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3
=4a2-3a2
=a2(当且仅当m=n时取等号).
所以≥,即e≥.
又因为0(2)证明:由(1)知mn=b2,
所以=mnsin
60°=b2,
即△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.
C级 挑战创新
14.多选题已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈,则下列选项中,在实数m的取值范围内的是
( )
A.
B.
C.
D.
解析:在椭圆方程x2+my2=1中,
当0所以e2===1-m.又因为所以<1-m<1,解得0当m>1时,a2=1,b2=,c2=1-,e2===1-.
又因为.
综上可知,实数m的取值范围是∪.
答案:AB
15.多选题已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F和坐标原点O是某正方形的两个顶点,若该正方形至少有一个顶点在椭圆C上,则椭圆C的离心率可能为
( )
A.
B.
C.
D.
解析:如图,椭圆C有C1,C2,C3三种情况.
不妨设F(2,0),则b2=a2-4,e2=.
①对于C1,点(2,2)在椭圆上,则+=1,解得a2=6±2.由题意,知a2>4,所以a2=6+2,则e2==,所以e=,故B成立.
②对于C2,点(0,2)在椭圆上,b=2,a==2,所以e=,故C成立.
③对于C3,点(1,1)在椭圆上,+=1,解得a2=3±.又因为a2>4,所以a2=3+,所以e2==3-,所以e=,故D成立.
答案:BCD
16.多空题已知F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,则该椭圆的离心率是;△ABF2的周长是8.
解析:由题意,得a=2,c==1,
所以e==,△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=4a=8.(共24张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
重点探究知发展
读一已知半焦距、点到直线的距离等
想
(1)列关于a,b,c的方程组
(2)先求出M,N的坐标,写出直线MN的方程,再求定点
(1)由题意,可得
解得
所以双曲线C的标准方程为
算
(2)设过点F(2,0)的弦AB所在的直线方程为x
ky+2,A(x1,y1),B(x2,y2)
则中点M
k(y1+y2)
2
联立直线AB与双曲线C的方程lx
整理
可得(k2-3)y2+4ky+1=0
因为弦AB与双曲线有两个交点,所以k2-3≠0
且△>0
k
所以y1+y=3-所以M(=“3k)
当k=0时,点M即点F,此时直线MN为x轴;
当k≠0时,将点M坐标中的k换成
同理可得点N的坐标为
1,-a2
①当直线MN不垂直于x轴时,
zk
2k
3-k23k2
直线MN的斜率kMN66k
2,直
3(k2-1)
3一k23k2-1
线MN的方程为
k23(k2-1)(3一k2
2k
化简可得y-3(k2-1)
所以直线MN恒过定点(3,0);
②当直线MN垂直于x轴时,由
6k,可
得k=士1,此时直线也过定点(3,0)
综上所述,直线MN恒过定点P(3,0)
规律方法:与双曲线有关的综合问题
双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、
范围等性质,与向量、三角函数、不等式等知识相结合
思一考查综合运用数学知识的能力
(1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将
向量间的关系转化为点的坐标问题,再根据根与系数的
关系,将所求问题与条件建立联系并求解
(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程
消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构
造相关数量关系求解
直线与双曲线交点
个数的判断方法
知识双曲线的几何
性质及应用
求弦长的方法
方法
数学建模(数形结合求解思除问题的
双曲线综合
素养或思想(共27张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
预习导学思维动
重点探究知发展
范围
由性质求椭圆标
知识」椭圆的几何对称性
准方程的方法
方法
性质
离心率
求椭圆离心率的
方法
顶点(直观想象
数学运算川素养或思想
逻辑推理A级 基础巩固
1.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是
( )
A.m>
B.m≥1
C.m>1
D.m>2
解析:由题意,知a=1,b=,则c=.
因为e==>,所以m>1.
答案:C
2.若双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于
( )
A.
B.
C.2
D.4
解析:双曲线x2-my2=1的实轴长为2,虚轴长为2.由题意,可得2=4,解得m=4.
答案:D
3.若双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为
( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
解析:由题意,知所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,所以双曲线方程为x2-y2=16,即-=1.
答案:D
4.若0( )
A.相同的虚轴
B.相同的实轴
C.相同的渐近线
D.相同的焦点
解析:对于双曲线-=1有c2=a2-k+b2+k=a2+b2,对于双曲线-=1也有c2=a2+b2,所以两双曲线的半焦距相同,且焦点都在x轴上,所以两双曲线有相同的焦点.
答案:D
5.(全国卷Ⅲ)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则双曲线C的离心率为.
解析:由双曲线C的方程可得其渐近线的方程为y=±x,由题意可得=,所以离心率e===.
6.焦点为(0,6),且与双曲线-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是-=1.
解析:由待求双曲线与-y2=1有相同的渐近线,且焦点在y轴上,可设所求双曲线方程为-y2=λ(λ<0),即-=1(λ<0).所以-λ-2λ=36,所以λ=-12.故所求双曲线方程为-=1.
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,求此双曲线的离心率e的最大值.
解:因为点P在双曲线的右支上,所以由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a.因为|PF1|=4|PF2|,所以4|PF2|-|PF2|=2a,所以|PF2|=a.根据点P在双曲线的右支上,可得|PF2|=a≥c-a,所以a≥c,即e≤,所以双曲线的离心率e的最大值为.
B级 拓展提高
8.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,
0)到双曲线C的渐近线的距离为
( )
A.
B.2
C.
D.2
解析:由题意,得e==.又因为c2=a2+b2,所以a2=b2.因为a>0,b>0,所以a=b,所以双曲线C的渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2.
答案:D
9.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则双曲线C的方程为
( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.由题意,知椭圆的焦点为(3,0),(-3,0),即双曲线C的焦点为(3,0),(-3,0),据此可得解得所以双曲线C的方程为-=1.
答案:B
10.已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为双曲线C的右焦点,过F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=
( )
A.
B.3
C.2
D.4
解析:由已知,得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,所以点F的坐标为(2,0),双曲线C的渐近线方程为y=±x.如图,设两条渐近线的夹角为2α,则有tan
α=,所以α=30°,所以∠MON=2α=60°.又因为△OMN为直角三角形,双曲线具有对称性,不妨设MN⊥ON.
在Rt△ONF中,|OF|=2,则|ON|=.
在Rt△OMN中,|MN|=|ON|·tan
2α=×tan
60°=3.
答案:B
11.(全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C的右顶点,B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则双曲线C的离心率为2.
解析:因为F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点(c,0),A为C的右顶点(a,0),
B为双曲线C上的点,且BF垂直于x轴,所以B.
由AB的斜率为3,可得=3.
把b2=c2-a2代入上式化简可得c2=3ac-2a2,
结合e=,可得e2-3e+2=0,且e>1,
解得e=2.
12.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5)2+y2=16相切.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若P(3,-4)是渐近线上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,且
PF1⊥PF2,求双曲线的方程.
解:(1)设经过第一、三象限的双曲线的渐近线的方程为y=kx,则=4,且k>0,解得k=.
若双曲线的焦点在x轴上,则=,e=;
若双曲线的焦点在y轴上,则=,e=.
故所求双曲线的离心率为e=或e=.
(2)由题意,设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).
由PF1⊥PF2,得·=0.
所以(3+c)(3-c)+16=0,解得c=5.
由(1),知=,又因为a2+b2=c2=25,
所以a=3,b=4,所以双曲线的方程为-=1.
13.双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线的离心率e的取值范围.
解:由题意,知直线l的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.
因为a>1,所以点(1,0)到直线l的距离d1=,
点(-1,0)到直线l的距离d2=,
所以s=d1+d2==.
由s≥c,得≥c,
即5a≥2c2,于是有5≥2e2,
即4e4-25e2+25≤0,解得≤e2≤5.
因为e>1,所以离心率e的取值范围是≤e≤.
C级 挑战创新
14.多选题若F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且向量·=0,则下列结论正确的是
( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
解析:A项,由题意,得双曲线C的渐近线方程为y=±x,正确.
B项,由题意,得F1(-,0),F2(,0),则以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=2,错误.
C项,F1(-,0)到渐近线y=±x的距离为1,正确.
D项,由题意,得F1(-,0),F2(,0),设P(x0,y0),根据点P在双曲线上,及·=0,得
解得所以△PF1F2的面积为×2×=1,正确.
答案:ACD
15.多选题若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线上的点M(-1,)关于另一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点F,P是双曲线上的动点,则|PM|+|PF|的值可能为
( )
A.4
B.4
C.2
D.2
解析:由双曲线方程得渐近线方程为y=±x.
因为点M(-1,)在渐近线上,
所以渐近线方程为y=±x.
设坐标原点为O,则|OM|=|OF|,
所以c==2.
当P,M,F三点共线且P在双曲线的右支上时,|PM|+|PF|最小,
所以(|PM|+|PF|)min=|MF|==2.
又因为P为双曲线上的动点,
所以|PM|+|PF|无最大值.
因为A,B,D选项中的值均不小于2,C选项中的值小于2,所以A,B,D选项中的值均有可能取得.
答案:ABD
16.多空题若双曲线C的两个焦点为(-,0),(,0),一个顶点是(1,0),则双曲线C
的方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=±x.
解析:根据已知条件可判断双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,所以a=1,c=,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为x2-y2=1,渐近线方程为y=±x.(共37张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
预习导学思维动
重点探究知发展
抛物线的定义
数学抽象
知识(数学运算上素养或悬想
抛物线的求抛物线标准
标准方程
方程的方法方法(共35张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
预习导学思维动
重点探究知发展
椭圆的定义
与椭圆有关的轨
迹问题的解法
直观想象
知识
素养或思想
数学运算
方法
椭圆的标准方程
求椭圆标准
方程的方法A级 基础巩固
1.若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则斜率k的值是
( )
A.
B.-
C.±
D.±
解析:由得(3k2+2)x2+12kx+6=0.
由题意,知Δ=144k2-24(3k2+2)=0,解得k=±.
答案:C
2.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.0或1
解析:因为直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,所以>2.所以0答案:C
3.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为
( )
A.
B.
C.
D.
解析:椭圆x2+2y2=4的左焦点为(-,0),所以直线的方程为y=(x+).由消去y,整理得7x2+12x+8=0,由弦长公式,得|AB|=×
=.
答案:B
4.椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上,且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意,知A1(-2,0),A2(2,0).
设点P的坐标为(x0,y0),则+=1,=,=,
于是·===-,故=-×.
因为∈[-2,-1],所以∈.
答案:B
5.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为6.
解析:由椭圆方程+=1可得F(-1,0).
设P(x,y),-2≤x≤2,则=(x,y),=(x+1,y),
所以·=x2+x+y2=x2+x+3=x2+x+3=(x+2)2+2,
当x=2时,·取得最大值6.
6.已知点P(x,y)是椭圆+=1上的任意一点,则点P到直线l:y=x+5的最大距离为.
解析:设直线y=x+m与椭圆相切,由
得13x2+18mx+9m2-36=0.
因为Δ=(18m)2-4×13×(9m2-36)=0,
所以m=±,
所以切线方程为y=x+和y=x-,与l距离较远的是直线y=x-,所以所求最大距离为d==.
7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
解:(1)由题意,得解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.
设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=,
所以|MN|=
=
=.
又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=,
所以△AMN的面积为S=|MN|·d=,
由=,
化简,得7k4-2k2-5=0,解得k=±1.
B级 拓展提高
8.若AB是过椭圆+=1中心O的弦,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值是
( )
A.6
B.12
C.24
D.48
解析:设A(xA,yA),B(xB,yB).因为△F1AB的面积可以看成△OF1A与△OF1B的面积之和,所以=c·|xA-xB|,故当直线AB垂直于y轴时,|xA-xB|max=2b=8,所以△F1AB面积的最大值为×3×8=12.
答案:B
9.已知椭圆+=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若=3,则k=
( )
A.1
B.
C.
D.2
解析:由题意,得右焦点F(2,0),过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线为x=my+2,m=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组得(4+m2)y2+4my-4=0,
则y1+y2=,y1y2=.
因为=3,所以(2-x1,-y1)=3(x2-2,y2),
所以解得m2=,
即k2=2.因为k>0,所以k=.
答案:B
10.已知椭圆C:+=1(a>b>0),A,B是椭圆C的长轴的两个端点,点M是椭圆C上的一点,且满足∠MAB=30°,∠MBA=45°,设椭圆C的离心率为e,则e2=1-.
解析:设M(x0,y0),A(-a,0),B(a,0).因为∠MAB=30°,∠MBA=45°,
所以kBM==-1,kAM==,两式联立
解得
又因为M在椭圆C上,所以+=1,即+=1,
所以=,所以e2=1-.
11.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,过AB的中点M与坐标原点的连线的斜率为,则=.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
由题意可得,kOM==,kAB==-1.由AB的中点为M,可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.由A,B在椭圆上,可得两式相减,得m(x1-x2)·2x0+n(y1-y2)·2y0=0,整理,得=.
12.已知动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-.
(1)试求动点P的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=时,求直线l的方程.
解:(1)设动点P的坐标是(x,y),
由题意,得kPA·kPB=-.
所以·=-,化简整理,得+y2=1.
故动点P的轨迹C的方程是+y2=1(x≠±).
(2)设直线l与曲线C的交点M(x1,y1),N(x2,y2),
由
得(1+2k2)x2+4kx=0(x≠±).
所以x1+x2=,x1·x2=0.
所以|MN|=·=,
整理,得k4+k2-2=0,解得k2=1或k2=-2(舍去).
所以k=±1,经检验符合题意.
所以直线l的方程是y=x+1或y=-x+1,
即x-y+1=0或x+y-1=0.
13.椭圆的两个焦点分别为F1(-,0)和F2(,0),且椭圆过点.
(1)求椭圆方程;
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由.
解:(1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0),
由c=,a2=b2+c2,得+=1.
又因为椭圆过点,所以+=1,
解得b2=1或b2=-(舍去),所以a2=4.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)是定值.理由:设直线l的方程为x=ky-,
联立直线l和椭圆的方程可得
消去x,得(k2+4)y2-ky-=0.
由题意,知A(-2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),
则y1y2=-,y1+y2=,
则·=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(k2+1)y1y2+k(y1+y2)+=0,
即可得∠MAN=(定值).
C级 挑战创新
14.多选题已知直线y=3x+2被椭圆+=1(a>b>0)截得的弦长为8,则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是
( )
A.y=3x-2
B.y=3x+1
C.y=-3x-2
D.y=-3x+2
解析:因为椭圆关于原点和坐标轴对称,所以与直线y=3x+2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆+=1(a>b>0)截得的弦长也为8.直线y=3x+2关于原点对称的直线为y=3x-2,关于x轴对称的直线为y=-3x-2,关于y轴对称的直线为y=-3x+2,故应选ACD.
答案:ACD
15.多选题如图,某月球探测卫星发射后,该卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则给出下列式子中,正确的是
( )
A.a1+c1=a2+c2
B.a1-c1=a2-c2
C.<
D.c1a2>a1c2
解析:观察图形可知a1+c1>a2+c2,即A项不正确;a1-c1=a2-c2=|PF|,即B项正确;由a1-c1=a2-c2>0,c1>c2>0,知<,即<,从而c1a2>a1c2,>,即D项正确,C项不正确.
答案:BDA级 基础巩固
1.顶点在原点,焦点是F(0,3)的抛物线的标准方程是
( )
A.y2=21x
B.x2=12y
C.y2=x
D.x2=y
解析:由焦点是F(0,3),可设标准方程为x2=2py(p>0),由题意,得=3,即p=6,所以抛物线标准方程为x2=12y.
答案:B
2.若抛物线y=的焦点坐标为(0,-1),则a的值等于
( )
A.4
B.-4
C.
D.-
解析:抛物线y=的标准方程为x2=ay,其焦点坐标为.由题意可知=-1,解得a=-4.
答案:B
3.(全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到抛物线C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=
( )
A.2
B.3
C.6
D.9
解析:因为A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到抛物线C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,且抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,
所以9+=12,解得p=6.故选C.
答案:C
4.以双曲线-=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A.y2=16x
B.y2=-16x
C.y2=8x
D.y2=-8x
解析:由双曲线的方程-=1可得,其右顶点坐标为(4,0),
所以可设所求抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),
因为(4,0)为抛物线的焦点,所以=4,因此p=8,
故抛物线的标准方程为y2=16x.
答案:A
5.已知抛物线y=mx2(m>0)的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合,则m=.
解析:将抛物线y=mx2(m>0)的方程化为标准方程是x2=y,所以其焦点是.因为抛物线的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合,因此-2=,结合m>0,得m=.
6.已知抛物线y2=4x上一点M(x0,2),则点M到抛物线焦点的距离等于4.
解析:把点M(x0,2)代入抛物线方程可得,(2)2=4x0,解得x0=3
.所以点M到抛物线焦点的距离为x0+1=4.
7.已知抛物线的焦点是双曲线-=1的右焦点,它的准线过双曲线-=1的左焦点,抛物线与此双曲线交于点,求抛物线和双曲线的标准方程.
解:设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),将点代入方程,得p=2,
所以抛物线的标准方程为y2=4x.
因为抛物线的准线为直线x=-1,
所以双曲线的焦点为(-1,0),(1,0).
因为点到两焦点距离之差为1,所以2a=1,即a=.
又因为a2+b2=,所以b2=.
所以双曲线的标准方程为-=1.
B级 拓展提高
8.过点A(1,0),且与直线l:x=-1相切的动圆的圆心的轨迹是
( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析:如图,设动圆的圆心为M.由题意,知M到直线l的距离等于圆的半径|MA|.由抛物线的定义,知点M的轨迹是以A(1,0)为焦点,以直线l为准线的抛物线.
答案:D
9.已知点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,
M(1,2)为平面上一点,则|PM|+|PF|的最小值为
( )
A.3
B.2
C.4
D.2
解析:如图,在平面直角坐标系中作出图象,并作PN垂直准线于点N.由题意可得|PM|+|PF|=|PM|+|PN|≥|MN|,
显然,当P,M,N三点共线时,|PM|+|PF|的值最小.
因为点M(1,2),F(0,1),准线方程为y=-1,
所以当P,M,N三点共线,
即点N的坐标为(1,-1)时,(|PM|+|PF|)min=|MN|=3.
答案:A
10.抛物线形拱桥的示意图如图所示,当水面在AB时,拱顶距离水面2
m,水面宽4
m,当水位上升0.5
m后,水面宽
( )
A.
m
B.
m
C.2
m
D.2
m
解析:如图,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=my,将点A的坐标(-2,-2)代入x2=my,得m=-2,可得抛物线方程为x2=-2y,水位上升0.5
m后,将y=-代入抛物线方程可得,x=±,故此时水面宽度为2
m.
答案:C
11.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是抛物线C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=6.
解析:设点N的坐标为(0,a),由点F(2,0),M为FN的中点,可得点M的坐标为.因为点M在抛物线上,所以=8,解得a=±4.所以点N的坐标为(0,4)或(0,-4),那么|FN|==6.
12.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为以点P为直角顶点的等腰直角三角形时,其面积为2.
解析:画出草图,过P作准线l的垂线,垂足为M'(图略),则|PM'|=|PF|.又因为|PM|=|PF|,所以|PM|=|PM'|,M与M'重合,此时PM⊥PF,PM⊥l,所以PF∥l,|PM|=|PF|=2,所以S△FPM=×2×2=2.
13.动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解:如图,设动圆圆心P(x,y),过点P作PD⊥l于点D,作直线l':x=2,过点P作PD'⊥l'于点D',连接PA.
设圆A的半径为r,动圆P的半径为R,可知r=1.
因为圆P与圆A外切,所以|PA|=R+r=R+1.
又因为圆P与直线l:x=1相切,
所以|PD'|=|PD|+|DD'|=R+1.
因为|PA|=|PD'|,即动点P到定点A的距离与到定直线l'的距离相等,所以点P的轨迹是以A为焦点,以直线l'为准线的抛物线.设抛物线的方程为y2=-2px(p>0),可知p=4,所以所求的轨迹方程为y2=-8x.
14.如图所示,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,点A到抛物线准线的距离等于5,过点A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.
解:(1)抛物线y2=2px的准线方程为x=-,
由4+=5,得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
(2)由题意,得A(4,4),B(0,4),M(0,2).
又因为点F的坐标为(1,0),所以kAF=,
则FA的方程为y=(x-1).
因为MN⊥FA,所以kMN=-,
则MN的方程为y=-x+2.
解方程组得
所以点N的坐标为.
C级 挑战创新
15.多选题对于标准形式的抛物线,给出下列条件,其中满足抛物线方程为y2=10x的是
( )
A.焦点在y轴上
B.焦点在x轴上
C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标可能为(2,1)
解析:抛物线y2=10x的焦点在x轴上,B项满足,A项不满足;设M(1,y0)是抛物线y2=10x上的一点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以C项不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,故可设过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足为点(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以D项满足.
答案:BD
16.多选题
如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.设l与x轴的交点为K,P为抛物线C上异于O的任意一点,PE⊥l于点E,∠EPF的邻补角的平分线交x轴于点Q,过Q作QN⊥PE交EP的延长线于点N,作QM⊥PF交线段PF于点M,则
( )
A.|PE|=|PF|
B.|PF|=|QF|
C.|PN|=|MF|
D.|PN|=|KF|
解析:由抛物线的定义,得|PE|=|PF|,A项正确;因为PN∥QF,PQ是∠FPN的平分线,所以∠FQP=∠NPQ=∠FPQ,所以|PF|=|QF|,B项正确;由PQ是∠FPN的平分线,QN⊥PE,QM⊥PF,得|QM|=|QN|,从而有|PM|=|PN|,若|PN|=|MF|,则|PM|=|FM|,这样就有|QP|=|QF|,△PFQ为等边三角形,∠FPQ=60°,则∠FPE=60°,这只是在特殊位置才有可能,因此C项错误;连接EF,如图,由选项A,B,知|PE|=|QF|,又因为PE∥QF,所以四边形EPQF是平行四边形,所以|EF|=|PQ|,显然|EK|=|QN|,所以|KF|=|PN|,D项正确.
答案:ABD(共33张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
预习导学思维动
重点探究知发展
双曲线的「与双曲线有关的
定义
轨迹方程的求法
数学抽象
知识(直观想象)素养或
思想
数学运算
方法
双曲线的双曲线标准方程
标准方程的求法