第三章测试卷
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a(a>0),当a=3和a=5时,点P的轨迹分别为
( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和两条射线
C.双曲线的一支和一条直线
D.双曲线的一支和一条射线
解析:当2a<|AB|时,表示双曲线的一支;当2a=|AB|时,表示一条射线.
答案:D
2.抛物线x2=4y的焦点坐标是
( )
A.(0,2)
B.(2,0)
C.(0,1)
D.(1,0)
解析:因为抛物线x2=4y
中,p=2,=1,焦点在y轴上,开口向上,所以焦点坐标为(0,1).
答案:C
3.已知双曲线的实轴长为2,焦点为(-4,0),(4,0),则该双曲线的标准方程为
( )
A.-=1
B.-=1
C.x2-=1
D.-x2=1
解析:由题意,得c=4,a=1,所以b2=c2-a2=16-1=15.因为双曲线以(-4,0),(4,0)为焦点,所以双曲线的标准方程是x2-=1.
答案:C
4.若a>1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是
( )
A.(,2)
B.(,)
C.(2,5)
D.(2,)
解析:由题意,得e2===1+.因为是随着a的增大而减小的,所以当a>1时,0<<1,所以2答案:B
5.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为
( )
A.(-3,0)
B.(-4,0)
C.(-10,0)
D.(-5,0)
解析:因为圆的方程可化为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.由题意,知b=4,所以a==5.因为椭圆的一个焦点为(3,0),所以椭圆的左顶点为(-5,0).
答案:D
6.若椭圆+=1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦AB的长为
( )
A.
B.
C.
D.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2,y1+y2=-2.因为点A,B在椭圆上,
所以解得弦AB所在直线的斜率为-,所以弦AB所在直线的方程为y=-(x+1)-1,联立椭圆方程消去y得到3x2+6x+1=0,根据弦长公式得|AB|=.
答案:A
7.设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则双曲线C的离心率为
( )
A.
B.2
C.
D.
解析:设渐近线的方程为bx-ay=0,则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,
由可得P.
由F1(-c,0)及|PF1|=|OP|,得=×,
化简可得3a2=c2,则e=.
答案:C
8.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2|,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+的最小值为
( )
A.
B.3
C.6
D.
解析:如图,设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,由题意可知,|F1F2|=|F2P|=2c.
因为|F1P|+|F2P|=2a1,|F1P|-|F2P|=2a2,所以|F1P|+2c=2a1,|F1P|-2c=2a2,
两式相减,可得a1-a2=2c.
因为+=+=,
所以+===
4++.
因为+≥2=2,当且仅当=时成立,所以+的最小值为6.
答案:C
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知曲线C:mx2+ny2=1,下列说法正确的是
( )
A.若m=0,n>0,则C是两条直线
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上
D.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
解析:已知曲线C:mx2+ny2=1,
若m=0,n>0,则C是两条直线:y=和y=-,所以A项正确;
若m=n>0,则C是圆,其半径为,所以B项错误;
若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上,所以C项错误;
若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x,所以D项正确.
故选AD.
答案:AD
10.已知双曲线的方程为-=1,则下列说法正确的是
( )
A.焦点坐标为(±,0)
B.渐近线方程为x±3y=0
C.离心率为
D.焦点到渐近线的距离为
解析:由双曲线的方程为-=1,可知a=3,b=,c=4,所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为x±3y=0,离心率为,焦点到渐近线的距离为=,所以A项错误,B项正确,C项正确,D项错误.故选BC.
答案:BC
11.已知椭圆C:+=1内一点M(1,2),直线l与椭圆C交于A,B两点,且M为线段AB的中点,则下列结论正确的是
( )
A.椭圆的焦点坐标为(2,0),(-2,0)
B.椭圆C的长轴长为2
C.直线l的方程为x+y-3=0
D.|AB|=
解析:由椭圆C的方程可得a2=8,b2=4,
所以c==2,
所以椭圆C的焦点坐标为(0,-2),(0,2),所以A项错误;
因为椭圆C的长轴长为2a=4,所以B项错误;
设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,
两式作差,得=-,
即=-.
因为M(1,2)为线段AB的中点,
所以=-=-1,即直线l的斜率为-1,
所以直线l的方程为y-2=-1×(x-1),即x+y-3=0,所以C项正确;
由方程组可得3x2-6x+1=0.
所以x1+x2=2,x1x2=,
所以|AB|=×=×=,所以D项正确.
故选CD.
答案:CD
12.已知抛物线y2=8x的焦点为F,点A是抛物线上的动点,设点B(-2,0),当取得最小值时,满足
( )
A.AB的斜率为±
B.|AF|=4
C.△ABF内切圆的面积为π
D.△ABF内切圆的面积为(24-16)π
解析:显然B为抛物线的准线与x轴的交点,
如图,过点A作抛物线的准线的垂线,垂足为M,则|AM|=|AF|,
于是==sin∠ABM.
显然当AB与抛物线相切时,∠ABM最小,即取得最小值.
设AB与抛物线相切时,直线AB的方程为y=k(x+2),
把直线AB的方程代入抛物线方程,化简可得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
①
令Δ=0,可得-16k4=0,解得k=±1,故A项错误;
把k=±1代入方程①,可得x2-4x+4=0,解得x=2,即取得最小值时,点A的横坐标为2,
故|AF|=|AM|=2+2=4,故B项正确;
不妨设点A在第一象限,则A(2,4),所以|AB|=4,|BF|=4,|AF|=4.显然AF⊥BF.
设△ABF的内切圆半径为r,则S△ABF=×(4+4+4)×r=×4×4=8,
解得r=4-2,
所以△ABF的内切圆面积为π×=(24-16)π,故C项错误,D项正确.
故选BD.
答案:BD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若抛物线y2=2px(p>0)经过点(2,1),则p=.
解析:因为抛物线y2=2px(p>0)经过点(2,
1),所以1=4p,即p=.
14.直线l:y=kx+2与椭圆C:+y2=1有公共点,则k的取值范围是∪.
解析:由消去y,整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0.因为直线l与椭圆C有公共点,所以Δ=(8k)2-24×(2k2+1)≥0,解得k≥或k≤-.
15.在平面直角坐标系Oxy中,设P为两动圆(x+2)2+y2=(r+2)2,(x-2)2+y2=r2(r>1)的一个交点,记动点P的轨迹为C,给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于x轴对称;
③设点P(x,y),则有|y|<2|x|.
其中,正确结论的序号是②③.
解析:①设A(-2,0),B(2,0),动点P(x,y),根据题意,得|PA|-|PB|=2,所以根据双曲线的定义判定,点P的轨迹是双曲线的右支,方程为-=1(x>0).因为(0,0)不在曲线C上,所以①不正确;②设M(x0,y0)为曲线上任一点,则M(x0,y0)
关于x轴的对称点为N(x0,-y0).因为N也在曲线C上,所以曲线C关于x轴对称,所以②正确;③因为4x2=4=4+y2>y2,所以|y|<2|x|,所以③正确.
16.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+=
4.
解析:椭圆和双曲线的位置示意图如图所示,
设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,由定义得
所以|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.设|F1F2|=2c,由∠F1PF2=,结合余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)·(a1-a2)×cos
∠F1PF2,化简得+3=4c2,
所以+=4,即+=4.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)求与椭圆+=1有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.
解:由题意,知椭圆+=1的焦点是(0,-5),(0,5),焦点在y轴上,
所以设双曲线方程是-=1(a>0,b>0).
因为双曲线过点(0,2),所以c=5,a=2.
所以b2=c2-a2=25-4=21.
所以双曲线的标准方程是-=1,实轴长为4,焦距为10,离心率e==,渐近线方程是y=±x.
18.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的通径长为4.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若直线l与抛物线C交于P,Q两点,M(3,2)是线段PQ的中点,求直线l的
方程.
解:(1)由抛物线的性质,知2p=4,所以p=2,
所以所求抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)由题意易知直线l不与x轴垂直.
设所求方程为y-2=k(x-3),P(x1,y1),Q(x2,y2).
由P,Q在抛物线C上,得
两式相减,化简得(y2+y1)(y2-y1)=4(x2-x1).
因为=2,=k,代入上式解得k=1,
所以所求直线l的方程为y-2=1×(x-3),即x-y-1=0.
19.(12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点,直线l:y=x+m与y轴交于点P,与椭圆E交于M,N两点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若=3,求实数m的值.
解:(1)由椭圆E的离心率e==,且过点,即+=1,解得a2=4,b2=1,
所以所求椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
由题意,得P(0,m),
由得5x2+8mx+4m2-4=0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
因为=3,所以(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m),所以x1=-3x2.把x1=-3x2与x1+x2=-m联立,解得x2=m,x1=-m.
把x1=-m,x2=m代入x1x2=,解得m2=,
所以m=±.
验证:当m=±时,Δ>0成立,符合题意.
所以m=±.
20.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M为抛物线C上一点,|MF|=8,且∠OFM=(O为坐标原点).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,求△AOB面积的最小值.
解:(1)由抛物线的定义,知点M到准线的距离为8,
由|MF|=p+|MF|cos
60°,得8=p+4,即p=4.
所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)由(1)知焦点F(2,0).
由题意知直线l的斜率不为0,所以设直线l的方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
将直线l的方程与抛物线C的方程联立,得
消去x整理得y2-8ty-16=0.
所以y1+y2=8t,y1y2=-16.
坐标原点到直线l的距离d=.
因为|AB|=|y1-y2|,
所以S△AOB=d|AB|=|y1-y2|==≥8,
当t=0时,取到最小值8.
所以△AOB面积的最小值为8.
21.(12分)(全国卷Ⅱ)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,椭圆C1的中心与抛物线C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交椭圆C1于A,B两点,交抛物线C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.
(1)求椭圆C1的离心率;
(2)若椭圆C1的四个顶点到抛物线C2的准线距离之和为12,求椭圆C1与抛物线C2的标准方程.
解:(1)由题意可设抛物线C2的方程为y2=4cx(c>0),则焦点为F(c,0).
因为CD⊥x轴,将x=c代入抛物线C2的方程可得y2=4c2,所以|y|=2c,
所以|CD|=4c.
因为AB⊥x轴,将x=c代入椭圆C1的方程可得y2=b2=,所以|y|=,
所以|AB|=.
由|CD|=|AB|,得4c=·,即3ac=2b2=2(a2-c2),
整理可得2c2+3ac-2a2=0,即2e2+3e-2=0,e∈(0,1),解得e=.
所以椭圆C1的离心率为.
(2)由题意可得椭圆C1的四个顶点的坐标分别为(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b),抛物线C2的准线方程为x=-c.
所以2c+a+c+a-c=12,即a+c=6.
由(1)可得=,所以解得a=4,c=2,所以b2=a2-c2=16-4=12,
所以椭圆C1的标准方程为+=1,抛物线C2的标准方程为y2=8x.
22.(12分)已知三个条件:①离心率e=;②椭圆C过点;③△PF1F2面积的最大值为.在这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,并解决下面两个问题.
设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P,Q两点,已知椭圆C的短轴长为2,选法不唯一,以选①为例.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点N,求证:为定值.
(1)解:由题意可得解得
所以所求椭圆C的方程为+=1.
(2)证明:①当k=0时,|PQ|=2a=4,|NF1|=c=1,所以==4.
②当k≠0时,由题意可得F1(-1,0).
设直线PF1的方程为y=k(x+1),P(x1,y1),Q(x2,y2).
由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
可求得Δ>0,且x1+x2=-,x1x2=,
所以|PQ|==·=.
所以y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=+2k=,
所以线段PQ的中点为,
所以线段PQ的垂直平分线方程为
y-=-.
令y=0,得x=-,即N.
所以|NF1|=-+1=,
所以==4.
综上可得=4.第三章测试卷
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a(a>0),当a=3和a=5时,点P的轨迹分别为
( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线和两条射线
C.双曲线的一支和一条直线
D.双曲线的一支和一条射线
2.抛物线x2=4y的焦点坐标是
( )
A.(0,2)
B.(2,0)
C.(0,1)
D.(1,0)
3.已知双曲线的实轴长为2,焦点为(-4,0),(4,0),则该双曲线的标准方程为
( )
A.-=1
B.-=1
C.x2-=1
D.-x2=1
4.若a>1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是
( )
A.(,2)
B.(,)
C.(2,5)
D.(2,)
5.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为
( )
A.(-3,0)
B.(-4,0)
C.(-10,0)
D.(-5,0)
6.若椭圆+=1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦AB的长为
( )
A.
B.
C.
D.
7.设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则双曲线C的离心率为
( )
A.
B.2
C.
D.
8.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2|,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+的最小值为
( )
A.
B.3
C.6
D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知曲线C:mx2+ny2=1,下列说法正确的是
( )
A.若m=0,n>0,则C是两条直线
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上
D.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
10.已知双曲线的方程为-=1,则下列说法正确的是
( )
A.焦点坐标为(±,0)
B.渐近线方程为x±3y=0
C.离心率为
D.焦点到渐近线的距离为
11.已知椭圆C:+=1内一点M(1,2),直线l与椭圆C交于A,B两点,且M为线段AB的中点,则下列结论正确的是
( )
A.椭圆的焦点坐标为(2,0),(-2,0)
B.椭圆C的长轴长为2
C.直线l的方程为x+y-3=0
D.|AB|=
12.已知抛物线y2=8x的焦点为F,点A是抛物线上的动点,设点B(-2,0),当取得最小值时,满足
( )
A.AB的斜率为±
B.|AF|=4
C.△ABF内切圆的面积为π
D.△ABF内切圆的面积为(24-16)π
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若抛物线y2=2px(p>0)经过点(2,1),则p=
14.直线l:y=kx+2与椭圆C:+y2=1有公共点,则k的取值范围是
15.在平面直角坐标系Oxy中,设P为两动圆(x+2)2+y2=(r+2)2,(x-2)2+y2=r2(r>1)的一个交点,记动点P的轨迹为C,给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点;
②曲线C关于x轴对称;
③设点P(x,y),则有|y|<2|x|.
其中,正确结论的序号是.
16.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则+=
.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)求与椭圆+=1有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.
18.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的通径长为4.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若直线l与抛物线C交于P,Q两点,M(3,2)是线段PQ的中点,求直线l的
方程.
19.(12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点,直线l:y=x+m与y轴交于点P,与椭圆E交于M,N两点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若=3,求实数m的值.
20.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M为抛物线C上一点,|MF|=8,且∠OFM=(O为坐标原点).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,求△AOB面积的最小值.
21.(12分)(全国卷Ⅱ)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,椭圆C1的中心与抛物线C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交椭圆C1于A,B两点,交抛物线C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.
(1)求椭圆C1的离心率;
(2)若椭圆C1的四个顶点到抛物线C2的准线距离之和为12,求椭圆C1与抛物线C2的标准方程.
22.(12分)已知三个条件:①离心率e=;②椭圆C过点;③△PF1F2面积的最大值为.在这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,并解决下面两个问题.
设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P,Q两点,已知椭圆C的短轴长为2,
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点N,求证:为定值.
