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专题02
常用逻辑用语
一、单选题
1．（四川省成都市第七中学2020-2021学年高三下学期二诊模拟考试数学试题）命题“x>1，x2≥1”的否定是（
）
A．x≤1，x2≥1
B．x≤1，x2<1
C．x≤1，x2≥1
D．x>1，x2<1
【答案】D
【解析】命题“x>1，x2≥1”的否定是“x>1，x2<1”，故选D.
2．（山东省泰安肥城市2021届高三三模数学试题）命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是（
）
A．所有奇函数的图象都不关于原点对称
B．所有非奇函数的图象都关于原点对称
C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称
D．存在一个奇函数的图象关于原点对称
【答案】C
【解析】全称命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是特称命题，
所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”.故选:C
3．（百师联盟全国卷2021届高三开年摸底联考数学试题）命题对任意，，则命题的否定是（
）
A．当时，
B．存在，使得
C．存在，使得
D．当时，
【答案】B
【解析】由全称命题的否定可知，命题的否定为：存在，使得.故选B.
4．（山东省潍坊市2021届高三三模数学试题）“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】等价于等价于或，∴是的充分不必要条件，故选A.
5．（安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学模拟试题）“直线与直线平行”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当直线与直线平行,，解得或，
当，直线和直线重合，舍去，所以.
根据充分条件、必要条件的定义可得，“直线与直线平行”是“”的充分必要条件.故选C.
6．（浙江省宁波中学2021届高三下学期适应性考试数学试题）△中，“△是钝角三角形”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在△中，若∠为锐角，如图画出平行四边形，∴，
易知，
∴“△是钝角三角形”不一定能推出“”；
在△中，三点不共线，∵，∴，
∴，∴，∴∠为钝角，∴△为钝角三角形，
∴“”能推出“△是钝角三角形”.
故“△是钝角三角”是“”的必要不充分条件,故选B.
7．（浙江省杭州市高级中学2021届高三下学期高考仿真模拟数学试题）设，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，所以与有交点，即方程在有解，
所以，所以，故“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
8．（河南省新安县第一高级中学2021届高三下学期二练热身练数学试题）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，条件“l，m，n共面”成立的一个充分不必要条件是（
）
A．l∩m=P，l∩n=Q
B．l，m，n两两相交
C．lm，ln
D．lm，m∩n=P
【答案】B
【解析】对于A：由“l∩m=P，l∩n=Q”不能判断“l，m，n共面”，充分性不满足，故A错误；
对于B：充分性：“l，m，n两两相交”，所以“l，m，n共面”，故充分性满足；
必要性：“l，m，n共面”不能推出“l，m，n两两相交”，故必要性不满足.所以B正确.
对于C：由“lm，ln”不能推出“l，m，n共面”，充分性不满足，故C错误；
对于D：由“lm，m∩n=P”
不能推出“l，m，n共面”，充分性不满足，故D错误；
故选B.
9．（山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二））已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为：，所以，
记；，记为．
因为是的必要不充分条件，所以A，所以，解得．
故选A．
10．（湖南省永州市2021届高三高考押题卷数学试题（二））已知实数，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】令，，可得当时，；当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
因为，所以，所以，即，所以；
可得当，时，可得，可得，而，
综上可得当实数，时，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.
11．（辽宁省2021届高三高考压轴试卷数学试题（一））“”是“直线与圆相切”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】直线与圆相切圆心到直线的距离等于半径，
即，∴，∴，∴是直线与圆相切的充要条件.故选C.
12．（浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟数学试题）已知x，y为实数，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，所以
，所以时，，
所以“”是“”的充分条件，
当时，如，则不成立，所以“”不是“”的必要条件.
故选A.
13．（江西省南昌二中、河南省实验中学2021届高三5月冲刺联考数学试题）已知、，则“”是“”的（
）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】充分性：若，则，所以，充分性成立；
必要性：取，，则，但，必要性不成立.
因此，“”是“”的充分不必要条件.故选A.
14．（黑龙江省哈尔滨九中2021届高三五模数学试题）已知，，，则“”是“”（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为
而，反之，时，不一定成立，
所以“”是“”
的充分不必要条件.故选A
15．（江苏省连云港市2021届高三下学期高考考前一模数学试题）设均为单位向量，则“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，，
当时，与不一定相等，即充分性不一定成立；
反之：由，可得，即，
可得，所以成立，即必要性成立.
所以“”是“”的必要而不充分条件.故选B.
16．（北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身练习数学试题）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（
）
A．充分不必要件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，
由的图像经过，则的值为，此时为奇函数.
又当为奇函数时，则的值为，此时的图象经过.
所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件.故选C.
17．（黑龙江省哈尔滨九中2021届高三三模数学试题）若，，直线：，圆：．命题：直线与圆相交；命题：．则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】直线：，圆：，
命题为真：即直线与圆相交，则，即.
当命题成立时，即，则成立，命题成立，是的必要条件；
而当命题成立时，取，此时命题不成立，不是的充分条件.
所以是的必要不充分条件.故选B.
18．已知双曲线，则“的渐近线的方程为”是“的方程为”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：的渐近线的方程为，则，即，此时，的方程为，充分性不成立；
必要性：若的方程为，则的渐近线方程为，必要性成立.
因此，“的渐近线的方程为”是“的方程为”的必要不充分条件.故选B.
19．（宁夏银川唐徕回民中学2021届高三一模数学试题）下列命题中假命题是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】恒成立，，所以A正确；
，所以，所以B正确；
，所以，所以C正确；
，所以不正确，所以D是假命题．
故选D．
20．（安徽师范大学附属中学2021届高三下学期5月最后一卷数学试题）在中，、是角，所对的两条边．下列六个条件中，是“”的充分必要条件的个数是（
）．
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥．
A．5
B．6
C．3
D．4
【答案】A
【解析】依题意，
在三角形中，大角对大边，所以③正确.
由正弦定理得，即①正确.
由于,，所以④正确.
故，，⑤正确.
在区间是减函数，所以②正确.
当时，⑥不成立，错误.
所以充分必要条件的个数有个.故选A
21．（北京市北京大学附属中学2021届高三5月阶段性检测数学试题）已知无穷数列满足(为常数)，为的前项和，则“”是“和都有最小项”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】数列满足(为常数)，即(为常数).
所以数列是以为公差的等差数列.
当，时，，此时无最小值.
所以由，不能得出和都有最小项.
若有最小值，则为常数列和单调递增数列，则.
若有最小值，
若时，，当时，满足有最小值.
若时，是关于的二次函数，要使得有最小值，则开口向上，;
所以和都有最小项，则
所以“”是“和都有最小项”的必要不充分条件.故选B.
二、多选题
22．（湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2021届高三下学期第四次模拟数学试题）已知命题，，，则（
）
A．是真命题
B．是真命题
C．是真命题
D．的否定为“，”
【答案】ACD
【解析】对于命题，，所以为真命题，
对于命题，在上递减，所以为假命题.则为真命题，
的否定为“”,正确.故选ACD.
23．（辽宁省实验中学2021届高三二模考试数学试题）下列四个选项中，是的充分必要条件的是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABC
【解析】A．由，，可得，，反之也成立，∴是的充分必要条件；
B．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件；
C．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件；
D．由，，可得，；反之不成立，例如取，．∴是的必要不充分条件．
故选ABC．
24．已知，则使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】，令，则，则函数在上单调递增，，，所以原命题为真命题的充要条件为，
而，则满足A选项、C选项的a均有，时和都不一定成立，
所以所求的一个充分不必要条件是选项A，C.故选AC.
25．下列命题的否定为真命题的是（
）
A．，
B．正切函数的定义域为
C．函数的单调递减区间为
D．矩形的对角线相等且互相平分
【答案】ABC
【解析】对于A中，由方程，因为，
所以恒成立，故A为假命题，其否定为真命题；
对于B中，正切函数的定义域为，所以B为假命题，其否定为真命题；
对于C，函数的单调递减区间为，，所以C为假命题，其否定为真命题；
根据平行四边形的性质，可得矩形的对角线相等且互相平分，所以D为真命题，其否定为假命题.
故选ABC.
26．（重庆市九龙坡区2021届高三下学期4月二诊数学试题）若，则下列叙述中正确的是（
）
A．“”的充要条件是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“对恒成立”的充要条件是“”
D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
【答案】BD
【解析】，则一定有，但是时，若，则，A错；
时有成立，充分的，但当时有或，不必要，B正确；
若，但，则恒成立，C错；
方程有一正一负两实根的的充要条件是，因此D正确．
故选BD．
27．（广东省仲元中学、中山一中等七校联合体2021届高三上学期第一次联考试题）下列四个条件中，是的充分条件的是（
）
A．，
B．为双曲线，
C．，
D．，
【答案】BC
【解析】对于A，若，则，故
p不是q的充分条件；
对于B，若为双曲线，则异号，即，故
p是q的充分条件；
对于C，单调递增，当时，，故
p是q的充分条件；
对于D，当时，成立，不成立，故不是q的充分条件.
故选BC.
28．（湖北省武汉一中2021届高三下学期二模数学试题）下列命题正确的是（
）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】A.若“”，则或，“”是“”的充分不必要条件.
B.根据存在量词命题的否定是全称量词命题可知，B正确.
C.设，若“且”，则“”，若，不一定有且，比如也可，“且”是“”的充分不必要条件.
D.
若，不一定有，若，则一定有，“”是“”的必要不充分条件.
三、填空题
29．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）能够说明“若，，则”是假命题的一组整数，的值依次为___________.
【答案】，（答案不唯一）
【解析】当，，可得，
①当，同号时，可得，
②当，异号时，.
故取整数，满足即可．故答案为:
，
．
30．（广东省佛山市石门中学2021届高三高考模拟数学试题）若“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为“”为假命题，所以恒成立，即在恒成立，所以且，又因为在上是增函数，所以，所以.故答案为：.
31．（江西省临川一中暨临川一中实验学校2021届高三高考模拟押题预测卷数学试题）已知命题，，命题，则是的___________条件.
【答案】充分不必要
【解析】，，即，，
所以，即是的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.
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专题02
常用逻辑用语
一、单选题
1．（四川省成都市第七中学2020-2021学年高三下学期二诊模拟考试数学试题）命题“x>1，x2≥1”的否定是（
）
A．x≤1，x2≥1
B．x≤1，x2<1
C．x≤1，x2≥1
D．x>1，x2<1
2．（山东省泰安肥城市2021届高三三模数学试题）命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是（
）
A．所有奇函数的图象都不关于原点对称
B．所有非奇函数的图象都关于原点对称
C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称
D．存在一个奇函数的图象关于原点对称
3．（百师联盟全国卷2021届高三开年摸底联考数学试题）命题对任意，，则命题的否定是（
）
A．当时，
B．存在，使得
C．存在，使得
D．当时，
4．（山东省潍坊市2021届高三三模数学试题）“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学模拟试题）“直线与直线平行”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（浙江省宁波中学2021届高三下学期适应性考试数学试题）△中，“△是钝角三角形”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（浙江省杭州市高级中学2021届高三下学期高考仿真模拟数学试题）设，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（河南省新安县第一高级中学2021届高三下学期二练热身练数学试题）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，条件“l，m，n共面”成立的一个充分不必要条件是（
）
A．l∩m=P，l∩n=Q
B．l，m，n两两相交
C．lm，ln
D．lm，m∩n=P
9．（山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二））已知：，：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（湖南省永州市2021届高三高考押题卷数学试题（二））已知实数，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（辽宁省2021届高三高考压轴试卷数学试题（一））“”是“直线与圆相切”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．（浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟数学试题）已知x，y为实数，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
13．（江西省南昌二中、河南省实验中学2021届高三5月冲刺联考数学试题）已知、，则“”是“”的（
）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
14．（黑龙江省哈尔滨九中2021届高三五模数学试题）已知，，，则“”是“”（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．（江苏省连云港市2021届高三下学期高考考前一模数学试题）设均为单位向量，则“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
16．（北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身练习数学试题）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（
）
A．充分不必要件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
17．（黑龙江省哈尔滨九中2021届高三三模数学试题）若，，直线：，圆：．命题：直线与圆相交；命题：．则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
18．已知双曲线，则“的渐近线的方程为”是“的方程为”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
19．（宁夏银川唐徕回民中学2021届高三一模数学试题）下列命题中假命题是（
）
A．
B．
C．
D．
20．（安徽师范大学附属中学2021届高三下学期5月最后一卷数学试题）在中，、是角，所对的两条边．下列六个条件中，是“”的充分必要条件的个数是（
）．
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥．
A．5
B．6
C．3
D．4
21．（北京市北京大学附属中学2021届高三5月阶段性检测数学试题）已知无穷数列满足(为常数)，为的前项和，则“”是“和都有最小项”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
二、多选题
22．（湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2021届高三下学期第四次模拟数学试题）已知命题，，，则（
）
A．是真命题
B．是真命题
C．是真命题
D．的否定为“，”
23．（辽宁省实验中学2021届高三二模考试数学试题）下列四个选项中，是的充分必要条件的是（
）．
A．，
B．，
C．，
D．，
24．已知，则使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
25．下列命题的否定为真命题的是（
）
A．，
B．正切函数的定义域为
C．函数的单调递减区间为
D．矩形的对角线相等且互相平分
26．（重庆市九龙坡区2021届高三下学期4月二诊数学试题）若，则下列叙述中正确的是（
）
A．“”的充要条件是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“对恒成立”的充要条件是“”
D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
27．（广东省仲元中学、中山一中等七校联合体2021届高三上学期第一次联考试题）下列四个条件中，是的充分条件的是（
）
A．，
B．为双曲线，
C．，
D．，
28．（湖北省武汉一中2021届高三下学期二模数学试题）下列命题正确的是（
）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
三、填空题
29．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）能够说明“若，，则”是假命题的一组整数，的值依次为___________.
30．（广东省佛山市石门中学2021届高三高考模拟数学试题）若“”为假命题，则实数a的取值范围为___________.
31．（江西省临川一中暨临川一中实验学校2021届高三高考模拟押题预测卷数学试题）已知命题，，命题，则是的___________条件.
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