1．1 命题及其关系
1．1．1 命题
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解命题的概念．(难点)2．理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．(重点)3．能判断一些简单命题的真假．(难点、易错点)
1．通过命题的概念及其构成形式的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．通过命题的真假判断，培养学生的逻辑推理核心素养．
1．命题的概念与分类
(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
(3)分类
命题
思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？
(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．
(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．
2．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
思考2：(1)如何确定命题的条件与结论？
(2)语句“x≥0”是真命题吗？
[提示] (1)命题中已知的事项为条件，由已知推出的事项为结论．
(2)不是，由于不知道x的范围，所以无法判断真假．
1．下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2021央视牛年春晚真精彩啊！
A．①②③
B．①③④
C．①②⑤
D．②③⑤
A [①②③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④⑤不是命题．]
2．下列命题中，真命题共有( )
①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A [①②④是假命题，③是真命题．]
3．命题“不等式＜0与(x＋1)(x－2)＜0同解”是________命题．(填“真”或“假”)
真 [不等式＜0与(x＋1)(x－2)＜0的解集都是{x|－1＜x＜2}，所以是真命题．]
4．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的条件p是________，结论q是________，是________命题．(填“真”或“假”)
[答案] 若一个函数是偶函数 函数的图象关于y轴对称 真
命题的判断
【例1】 (1)下列语句为命题的是( )
A．x2－1＝0
B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？
D．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________．(填序号)
①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22
018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′．
(1)B (2)①④ [(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．
(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]
判断一个语句是否是命题的两个关键点
?1?命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
?2?对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题．
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)三角形的三个内角的和等于360°；
(2)a＋b＝4；
(3)2016年奥运会的举办城市是巴西的里约热内卢；
(4)这是一棵大树；
(5)你是高二的学生吗？
(6)求证：是无理数；
(7)并非所有的人都喜欢数学；
(8)x2＋1>0．
[解] (1)这是陈述句，且可以判断真假，因此是命题．
(2)由于变量a，b的值不确定，无法判断其真假，因此不是命题．
(3)这是陈述句，且可以判断真假，因此是命题．
(4)“大树”的标准不确定，无法判断其真假，因此不是命题．
(5)这是疑问句，不是命题．
(6)这是祈使句，不是命题．
(7)可以判断为真，人群中有的人喜欢数学，也存在着不喜欢数学的人，因此是命题．
(8)虽然变量x的值不确定，但可以判断其真假，因此是命题．
命题的构成
【例2】 (1)命题“周长相等的三角形面积相等”的条件为________，结论为________．
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
①函数y＝lg
x在其定义域上是单调函数；
②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0．
思路探究：解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．
(1)两个三角形周长相等 这两个三角形面积相等 [命题“周长相等的三角形面积相等”的条件是“两个三角形周长相等”，结论是“这两个三角形面积相等”，所以命题可以写成“若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等”．]
(2)解：①若函数是对数函数y＝lg
x，则这个函数在(0，＋∞)上是单调函数，真命题；
②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；
③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．
1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中，如本例(2)②．
2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；
(2)斜率相等的两条直线平行；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
(4)钝角的余弦值是负数．
[解] (1)若一个整数的各位数数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．
(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．
(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．
(4)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数．
命题的真假判断
[探究问题]
1．如何判断一个命题是真命题？
[提示] 根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性．
2．如何判断一个命题是假命题？
[提示] 举出一个反例即可．
【例3】 (1)下列命题是真命题的是( )
A．已知a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则a＋b≠c＋d
B．若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根
C．空集是任何集合的真子集
D．垂直于同一个平面的两个平面互相平行
(2)给出下列几个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一直线的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(3)下列命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若sin
A＝sin
B，则A＝B；
③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中真命题的序号是________．
思路探究：
(1)B (2)C (3)①③ [(1)A．假命题．反例：1≠4或5≠2，而1＋5＝4＋2．
B．真命题．因为m>1?Δ＝4－4m<0?方程x2－2x＋m＝0无实数根．
C．假命题．空集是任何非空集合的真子集．
D．假命题．反例：有可能互相垂直，如墙角．
(2)①是假命题，垂直于同一条直线的两条直线也可能垂直、异面；②是真命题；③是假命题，若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2相交、平行或异面；④是假命题，若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线也可能相交．
(3)①中，因为ac2>bc2，所以c≠0，
所以c2>0，所以a>b，故①是真命题；
②中，由三角函数的周期性可知，②是假命题；
③中，因为f(x)＝log2x，所以f(|x|)＝log2|x|，是偶函数，故③是真命题．]
1．(变结论)本例(2)中命题②变为“垂直于同一平面的两条直线互相平行”是真命题吗？
[解] 是真命题，依据线线平行的判定可知垂直于同一平面的两条直线互相平行．
2．(变结论)本例(3)中命题②变为“在△ABC中，若sin
A＝sin
B，则A＝B”是真命题吗？
[解] 是真命题，在[0,2π]内，由sin
A＝sin
B可得A＝B或A＋B＝π，但是在△ABC中A＋B＝π不成立，所以A＝B．
1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，且必居其一．
2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．
1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．准确判断命题的条件与结论的关键是把命题改写为“若p，则q”形式．
1．给出下列语句：
①三角函数难道不是函数吗？
②和为有理数的两个数均为有理数．
③一条直线与一个平面不是平行就是相交．
④作△A′B′C′与△ABC全等．
⑤这是一棵小树．
⑥求证是无理数．
⑦二次函数的图象太美啦！
⑧4是集合{1,2,3,4}中的元素．
其中命题的个数为( )
A．3
B．4
C．6
D．7
A [命题是指可以判断真假的陈述句，所以②③⑧是命题；①是反问句，不是命题；④⑥是祈使句，不是命题；⑤“小树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；⑦是感叹句，不是命题．]
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
C [把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C．]
3．下列命题是真命题的为( )
A．若a>b，则<
B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
C．若|x|
D．若a＝b，则
＝
C [对于A，若a＝1，b＝－2，则>，故A是假命题．
对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．
对于C，因为y>|x|≥0，则x2对于D，当a＝b＝－2时，与没有意义，故D是假命题．]
4．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，0)∪(0,1) [由题意知解得a<1，且a≠0．]
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-1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2．知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3．会利用命题的等价性解决问题．(难点)
1．通过四种命题概念的学习，体现了数学抽象核心素养．2．借助四种命题的关系，培养学生逻辑推理核心素养．
1．四种命题的概念及表示形式
名称
定义
表示形式
互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题
原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”
互否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题
原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”
互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题
原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”
思考1：四种命题中原命题是否是固定的？
[提示] 原命题不是固定的．任何一个命题都可以作为原命题，从而有另外的三种命题．
2．四种命题间的相互关系
(1)四种命题之间的关系
(2)四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
思考2：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？
(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？
[提示] (1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．
(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．
1．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”
B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”
D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”
B [根据逆命题的定义知，选B．]
2．命题“奇函数的图象关于原点对称”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )
A．0
B．2
C．4
D．1
C [四个命题均为真命题．]
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
B [原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(－x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题，即：若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．]
4．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题．(填“互逆”“互否”“互为逆否”)
互逆 [两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．]
四种命题
【例1】 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)相似三角形对应的角相等；
(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；
(3)正方形的对角线互相平分．
[解] (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；
逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；
否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；
逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．
(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；
逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；
否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；
逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3．
(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；
逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；
逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．
1．写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法
(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．
(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．
2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：
原词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
是
都是
至多有一个
否定词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
至少有两个
原词语
至少有一个
至多有n个
任意的
任意两个
所有的
能
否定词语
一个也没有
至少有(n＋1)个
某一个(确定的)
某两个
某些
不能
1．写出下列各个命题的逆命题、否命题以及逆否命题．
(1)若sin
α＝，则tan
α＝；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当1(4)若ab＝0，则a＝0或b＝0．
[解] (1)逆命题：若tan
α＝，则sin
α＝．
否命题：若sin
α≠，则tan
α≠．
逆否命题：若tan
α≠，则sin
α≠．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．
(3)逆命题：若x2－3x＋2<0，则1否命题：若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0．
逆否命题：若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2．
(4)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0．
四种命题的关系及真假判断
【例2】 (1)对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )
A．0个
B．1个 C．2个
D．4个
(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
思路探究：(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．
(2)思路一 →
思路二
(1)C [当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而其否命题也是真命题，故选C．]
(2)解：法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0．
∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－<0，
∴原命题的逆否命题为真命题．
法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．
∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．
判断一个命题的真假的两种方法
?1?分清该命题的条件与结论，直接对该命题的真假进行判断；
?2?不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题与其逆否命题等价、逆命题与否命题等价，特别是当命题本身不容易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现．
2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
[解] (1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．
(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．
(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．
等价命题的应用
[探究问题]
1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？
[提示] 一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．
2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立？
[提示] 根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．
【例3】 (1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0．
思路探究：(1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．
(1)[－3,0] [∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，
若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．
若a≠0，由题意知即
∴－3≤a<0，
综上知，a的取值范围是[－3,0]．]
(2)证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
1．若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．
2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．
3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1．
[证明] “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1
＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0．
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．
1．“命题”的三个关注点
(1)我们研究四种命题，一般只研究“若p，则q”形式的命题；有些命题虽然不是这种形式，但可以化为“若p，则q”的形式．
(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解，定位在具体、简单的数学命题，重点是四种命题的构成形式及其真假判断．
(3)四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的，但只要我们事先规定好哪个命题是原命题，那么它的其他形式的命题就确定了．
2．“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”“否命题”“逆否命题”的区别
两者具有不同的含义，具体区分如下：
前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题．
1．命题“若aA，则b∈B”的逆命题是( )
A．若aA，则bB
B．若a∈A，则bB
C．若b∈B，则aA
D．若bB，则aA
C [“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则aA”．]
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
A [同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A．]
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2．]
4．命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是________．
若x2＋y2≠0，则x，y不全为0 [x，y全为0的否定应为x，y不全为0．]
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-
1
-1.2 充分条件与必要条件
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1．通过充分条件、必要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助充分条件，必要条件的判断及应用，提升学生的逻辑推理素养．
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p?q．(2)等价．
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
(5)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q．
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．“x＞0”是“＞0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
A [当x＞0时，＞0成立；但当＞0时，得x2＞0，则x＞0或x＜0，此时不能得到x＞0．]
2．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“acD．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
B [若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]
3．“|x－2|≤3”是“－1≤x≤5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [由|x－2|≤3得－1≤x≤5，故选C．]
4．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．
①p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
②p：x>0，y>0，q：xy>0；
③p：a>b，q：a＋c>b＋c．
①③ [在①③中，p?q，所以①③中p是q的充要条件，在②中，qp，所以②中p不是q的充要条件．]
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：＜1．
思路探究：判断p?q与q?p是否成立，当p、q是否定形式，可判断q是p的什么条件．
[解] (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充分必要条件．
(2)因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，即q?p，但pq，所以p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0．因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；
当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b．
因此p是q的既不充分也不必要条件．
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．
(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若p?q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若p?q，且q
p，则p是q的必要不充分条件；
若p?q，则p与q互为充要条件；
若p
q，且q
p，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．(1)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由＜得－＜x－＜，解得0＜x＜1．
由x3＜1得x＜1．当0＜x＜1时能得到x＜1一定成立；当x＜1时，0＜x＜1不一定成立．所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要条件．]
(2)设函数f(x)＝cos
x＋bsin
x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
C [∵f(x)＝cos
x＋bsin
x为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos
x＋bsin
x，
∴2bsin
x＝0．由x的任意性，得b＝0．
故f(x)为偶函数?b＝0．必要性成立．
反过来，若b＝0，则f(x)＝cos
x是偶函数．充分性成立．
∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C．]
充要条件的探求与证明
【例2】 (1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为( )
A．0B．0C．x>0
D．x<4
(2)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．
思路探究：(1)先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．
(2)充要条件的证明可用其定义，即条件?结论且结论?条件．如果每一步的推出都是等价的(?)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“?”写出证明．
(1)B [由x2－4x<0得0(2)证明：充分性(由ac<0推证方程有一正根和一负根)，
∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴原方程一定有两不等实根，
不妨设为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴原方程的两根异号，
即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性(由方程有一正根和一负根推证ac<0)，
∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，
∴由根与系数的关系得x1x2＝<0，
即ac<0，
此时Δ＝b2－4ac>0，满足原方程有两个不等实根．
综上可知，一元二次方程ax2＋bc＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．
1．探求充要条件一般有两种方法：
(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．
2．充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p?q”为真，又要证明“q?p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．
2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x∈(0,2)
B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0,1)
D．x∈(1,3)
B [由x(x－2)<0得0(2)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
[答案] B
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
[提示] 若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA．
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件？若N?M，M＝N呢？
[提示] 若M?N，则p是q的充分条件，若N?M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
【例3】 已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
思路探究：→
{m|m≥9}(或[9，＋∞)) [由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qp．
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9．
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)，
因为p是q的必要不充分条件，所以q?p，且pq．
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，
所以，解得0即m的取值范围是(0,3]．
2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P．
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是[－1,5]．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
?1?化简p、q两命题；
?2?根据p与q的关系?充分、必要、充要条件?转化为集合间的关系；
?3?利用集合间的关系建立不等式；
?4?求解参数范围.
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B．]
2．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选A．]
3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是( )
A．－2≤x≤2
B．－2C．0D．1A [由x2<4得－24．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，
由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，
∴m≤1．]
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-1.3 简单的逻辑联结词
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2．能够判断命题“p∧q”“p∨q”“
p”的真假．(难点)3．会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)
1．通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的意义的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助含逻辑联结词命题的真假判断及应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
1．“且”
(1)定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q．读作“p且q”．
(2)真假判断
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．
2．“或”
(1)定义
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q．读作“p或q”．
(2)真假判断
当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．
思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？
(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？
[提示] (1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．
(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．
3．“非”
(1)定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)真假判断
若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．
思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？
[提示] (1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．
(2)命题的否定(p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．
4．复合命题
用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．
复合命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．x，y不都是0
A [xy≠0?x≠0且y≠0，故选A．]
2．已知p，q是两个命题，若“(p)∨q”是假命题，则( )
A．p，q都是假命题
B．p，q都是真命题
C．p是假命题，q是真命题
D．p是真命题，q是假命题
D [若(p)∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选D．]
3．下列命题中真命题的个数是( )
①p∨q，这里p：π是无理数，q：π是实数；
②p∧q，这里p：π是无理数，q：π是实数；
③p∨q，这里p：2>3，q：8＋7≠15；
④p∧q，这里p：2>3，q：8＋7≠15．
A．1
B．2
C．3
D．4
B [①②为真命题．]
4．“5≥5”是________形式的新命题，它是________(“真”或“假”)命题．
p∨q 真 [5≥5，即5＞5或5＝5．]
含有逻辑联结词的命题结构
【例1】 指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)集合A(A∪B)；
(4)正弦函数y＝sin
x(x∈R)是奇函数并且是周期函数．
[解] (1)是“p∧q”形式的命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是“p∨q”形式的命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是“p”形式的命题．
其中p：A?(A∪B)．
(4)是“p∧q”形式的命题．
其中p：正弦函数y＝sin
x(x∈R)是奇函数，
q：正弦函数y＝sin
x(x∈R)是周期函数．
1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．
2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．
1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
[解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
含逻辑联结词命题的真假判断
【例2】 已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4．给出下列命题：
①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨(q)．
则其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
思路探究：→→
C [由于Δ＝(－2a)2－4×1×(－1)＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，f(x)＝x＋<0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧(q)，(p)∨(q)是真命题，故选C．]
含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤
?1?我们可以用口诀记忆法来记忆：,“p∧q”全真才真，一假必假；“p∨q”全假才假，一真必真；“p”与p真假相对.
?2?判断复合命题真假的步骤：
①确定复合命题的构成形式是“p∧q”“p∨q”还是“p”；
②判断其中的简单命题p，q的真假；
③根据真值表判断复合命题的真假.
2．(1)已知命题p：?x∈R，sin
x＜1；命题q：?x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
B．p∧q
C．p∧q
D．(p∧q)
(2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假．
①p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
②p：2是奇数，q：2是合数；
③p：4≥4，q：23不是偶数；
④p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－2q：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|x>5或x<－2}．
(1)A [由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin
x＜1，所以命题p为真命题．对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题，故选A．]
(2)[解] ①∵p是假命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是真命题．
②∵p是假命题，q是假命题，
∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，p是真命题．
③∵p是真命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，p是假命题．
④∵p是真命题，q是假命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是假命题．
由复合命题的真假求参数的取值范围
[探究问题]
1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？
[提示] p为假命题时，参数的取值范围是?RA．
2．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值范围，则p∨q与p∧q分别为真命题时，参数的取值范围分别是什么？
[提示] 当p∨q为真命题时，参数的取值范围是A∪B．
当p∧q为真命题时，参数的取值范围是A∩B．
【例3】 已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m≥2
B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2
D．－2≤m≤2
思路探究：―→
A [依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；
当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－2因此由p，q均为假命题得
即m≥2．]
1．本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为________．
(－2,0) [依题意，当p是真命题时，有m<0；
当q是真命题时，有－2由可得－22．本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为________．
(－∞，－2]∪[0,2) [若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．
当p真q假时∴m≤－2；
当p假q真时∴0≤m<2．
∴m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．]
根据命题的真假求参数范围的步骤
?1?求出p、q均为真时参数的取值范围；
?2?根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；
?3?根据p，q的真假求出参数的取值范围.
1．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：
(1)逐一判断命题p，q的真假．
(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假．
p∧q为真?p和q同时为真，
p∨q为真?p和q中至少一个为真．
2．若命题p为真，则“p”为假；若p为假，则“p”为真，类比集合知识，“p”就相当于集合p在全集U中的补集?Up．因此(p)∧p为假，(p)∨p为真．
3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．
1．若命题“p∧q”为假，且p为假，则( )
A．p∨q为假
B．q假
C．q真
D．p假
B [由p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选B．]
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
D [对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集．故④是真命题，故选D．]
3．下列命题是“p∨q”形式的是( )
A．6≥6
B．3是奇数且3是质数
C．是无理数
D．3是6和9的约数
A [A中，6≥6?6>6或6＝6，所以A是“p∨q”形式的命题；B和D是“p∧q”形式的命题，C不包含任何逻辑联结词，所以B，C，D不正确，A正确，故选A．]
4．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．
[p为真时，2a－1<0，即a<，
q为真时，－≤1，即a≥－2，
则p∧q为真时，p，q都真，
所以－2≤a<．]
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8
-1.4 全称量词与存在量词
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义．2．掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点、难点)3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
1．通过全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题相关概念的学习，培养学生数学抽象核心素养．2．借助相关命题的真假判断及由命题的真假求参数，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养．
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)”．
思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] (1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0”．
(2)是全称命题，可改写成：“?x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．
3．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定p：?x0∈M，p(x0)；
特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定p：?x∈M，p(x)．
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
1．下列命题中全称命题的个数是( )
①任意一个自然数都是正整数；
②所有的素数都是奇数；
③有的等差数列也是等比数列；
④三角形的内角和是180°．
A．0
B．1
C．2
D．3
D [命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．]
2．下列命题中特称命题的个数是( )
①至少有一个偶数是质数；
②?x0∈R，log2x0＞0；
③有的向量方向不确定．
A．0
B．1
C．2
D．3
D [①中含有存在量词“至少”，所以是特称命题；②中含有存在量词符号“?”，所以是特称命题；③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．]
3．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
[答案] C
4．命题“?x0∈R，x＋x0＋1≤0”的否定是________．
[答案] ?x∈R，x2＋x＋1>0
全称命题和特称命题的概念及真假判断
【例1】 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1)?x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)能被5整除的整数末位数是0；
(4)有一个角α，使sin
α>1．
[解] (1)是全称命题，因为?x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．
(4)是特称命题，因为?α∈R，sin
α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．
1．判断命题是全称命题还是特称命题的方法
(1)分析命题中是否含有量词；
(2)分析量词是全称量词还是存在量词；
(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
(2)要判定特称命题“?x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
1．(1)判断下列命题是全称命题还是特称命题？
①凸多边形的外角和等于360°；
②有的向量方向不定；
③对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
④有些素数的和仍是素数；
⑤若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
(2)判断下列命题的真假：
①p：任意等比数列的公比不能等于0；
②q：存在等差数列，其前n项和Sn＝n2＋2n－1；
③r：?x∈R，sin
x＋cos
x≥－1；
④s：?x0∈R，x－2x0＋3<0．
[解] (1)①可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称命题．
②含有存在量词“有的”，故为特称命题．
③含有全称量词“任意”，故为全称命题．
④含有存在量词“有些”，故为特称命题．
⑤若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
(2)①这是全称命题，由等比数列的定义知，等比数列中任意项an≠0，所以其公比q＝≠0(n∈N＋)，故该命题为真命题．
②这是特称命题，对于任意等差数列{an}，若设其公差为d，则前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，因此不可能是Sn＝n2＋2n－1这种形式，故该命题是假命题．
③这是全称命题，因为对?x∈R，sin
x＋cos
x＝sin≥－，所以存在x0∈R，sin
x＋cos
x∈[－，－1)，故该命题为假命题．
④这是特称命题，因为对任意x∈R，x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，所以不存在x0∈R，使x－2x0＋3<0，故命题为假命题．
含有一个量词的命题的否定
【例2】 (1)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?xR，x2≠x
B．?x∈R，x2＝x
C．?xR，x2≠x
D．?x∈R，x2＝x
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：
①p：?x∈R，x2－x＋≥0；
②p：所有的正方形都是菱形；
③p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0．
思路探究：先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．
(1)D [原命题的否定为?x∈R，x2＝x，故选D．]
(2)解：①p：?x0∈R，x－x0＋<0，假命题．
因为?x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立．
②p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
③p：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0．
对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法
?1?确定类型：是特称命题还是全称命题.
?2?改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词.
?3?否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定.
2．(1)命题“?x0∈(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1”的否定是( )
A．?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
B．?x(0，＋∞)，ln
x＝x－1
C．?x0∈(0，＋∞)，ln
x0≠x0－1
D．?x0(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1
A [特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1．]
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假．
①p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
②q:
存在一个实数x0，使得x＋x0＋1≤0；
③r：等圆的面积相等，周长相等；
④s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1．
[解] ①这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以p是真命题．
②这一命题的否定形式是q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得q是真命题．
③这一命题的否定形式是r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知r是假命题．
④这一命题的否定形式是s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以s是假命题．
由全称(特称)命题的真假确定参数的范围
[探究问题]
1．若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？
[提示] 先求p，再求参数的取值范围．
2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？
[提示] 全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．
【例3】 (1)若命题p“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
(2)已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
思路探究：(1)先求p，再求参数的取值范围．
(2)首先利用命题的否定与原命题的真假不同，写出该命题的否定，再计算a的取值范围．
(1)－2，2 [p：?x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题．
则Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2．]
(2)解：因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x＋ax0＋1<0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2．
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
1．本例(2)中把条件“任意x∈R”改为“x>0”，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－2) [由题意新命题的否定为“存在x0>0，x＋ax0＋1<0”为真．因为f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线且过(0,1)点，借助二次函数的图象易知解得a<－2．所以实数a的取值范围是(－∞，－2)．]
2．本例(2)中把条件“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
[解] 对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0是真命题，即对任意实数x，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2．所以a的取值范围是－2≤a≤2．
含有一个量词的命题与参数范围的求解策略
?1?对于全称命题“?x∈M，a>f?x??或af?x?max?或a?2?对于特称命题“?x0∈M，a>f?x0??或af?x?min?或a?3?若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决.
1．判定一个命题是全称命题还是特称命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称命题．
2．要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对特称命题真假的判定方法正好与之相反．
3．全称命题与特称命题的否定，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否定．
4．利用全称命题和特称命题的真假求参数的取值范围问题时，转化恒成立或有解的数学问题来解决．
1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是( )
A．存在x0∈R，sin
x0＋cos
x0＝2
B．偶函数图象关于y轴对称
C．?m∈R，x2＋mx＋1＝0无解
D．?x∈N，x3＞x2
D [A，C中命题是特称命题，故排除．B为省略量词的全称命题，且为真命题．D为全称命题．当x＝0或1时，x3＝x2，故D中命题是假命题．]
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数
D．存在一个能被2整除的数不是偶数
D [全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]
3．命题p：?x0∈R，x＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为p：________．
特称命题 假 ?x∈R，x2＋2x＋5≥0 [命题p：?x0∈R，x＋2x0＋5＜0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．
命题p的否定为：?x∈R，x2＋2x＋5≥0．]
4．命题“?x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．
?x0∈R,3x－2x0＋1≤0 [原命题为全称命题，其否定为特称命题，所以命题的否定为?x0∈R,3x－2x0＋1≤0．]
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1
-第1章
常用逻辑用语
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
四种命题的关系及其真假判断
【例1】 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及判断它们的真假．
(1)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．
[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0．(假)
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0．(真)
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：
逆命题：若一个数能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真)
否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真)
逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)
1．在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题，它们的真假性相同．
2．“p∧q”的否定是“p∨q”，“p∨q”的否定是“p∧q”．
1．(1)给出下列三个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg
x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0
B．1 C．2
D．3
B [对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg
x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B．]
(2)命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )
A．若a2＋b2＝0，则a＝0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
D [命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是：“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．故选D．]
充分条件、必要条件与充要条件
【例2】 (1)已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos
A＝bcos
B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝__________．
(1)A (2)3 [(1)由acos
A＝bcos
B?sin
2A＝sin
2B，
∴A＝B或2A＋2B＝π，故选A．
(2)由＝≠，
得a＝－1(舍去)，a＝3．]
充分条件和必要条件的判断
充分条件和必要条件的判断，针对具体情况，应采取不同的策略，灵活判断.判断时要注意以下两个方面：
?1?注意分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性,从命题的角度判断充分、必要条件时，一定要分清哪个是条件，哪个是结论，并指明条件是结论的哪种条件，否则会混淆二者的关系，造成错误.
?2?注意转化命题判断，培养思维的灵活性,由于原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假，因此，对于那些具有否定性的命题，可先转化为它的逆否命题，再进行判断，这种“正难则反”的等价转化思想，应认真领会.
2．(1)已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ1＝λ2＝－1
B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＝1
D．λ1λ2＝－1
C [依题意，A，B，C三点共线?＝λ?λ1a＋b＝λa＋λλ2b?故选C．]
(2)设p：m＋nZ，q：mZ或nZ，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [p：m＋n∈Z，q：m∈Z且n∈Z，显然pq，q?p，即p?q，qp，p是q的充分不必要条件．]
含逻辑联结词的命题
【例3】 (1)短道速滑队组织6名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为( )
A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名
B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名
D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
(2)已知命题p：?x0∈R，x0－1≥lg
x0，命题q：?x∈(0，π)，sin
x＋>2，则下列判断正确的是( )
A．p∨q是假命题
B．p∧q是真命题
C．p∨(q)是假命题
D．p∧(q)是真命题
(1)D (2)D [(1)(q)∧r是真命题意味着q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D．
(2)当x0＝1时，x0－1≥lg
x0，所以命题p：?x0∈R，x0－1≥lg
x0为真；?x∈(0，π)，sin
x>0，sin
x＋≥2＝2，当且仅当sin
x＝1时取等号，所以命题q：?x∈(0，π)，sin
x＋>2为假．因此p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨(q)是真命题，p∧(q)是真命题，选D．]
1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”的含义的理解，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．
2．判断命题真假的步骤：
3．(1)设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．p为真
B．q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真
C [函数y＝sin
2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；直线x＝不是y＝cos
x的图象的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假，故选C．]
(2)已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n?α，则m∥α；命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q
B．p∨q
C．p∧q
D．p∧q
B [命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n?α，则m∥α也为假命题，因此只有p∨q为真命题．]
全称命题与特称命题
【例4】 (1)已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[e,4]
B．[1,4]
C．(4，＋∞)
D．(－∞，1]
(2)命题p：?x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定p是________．
思路探究：(1)p∧q为真?p，q都为真．(2)由p的定义写p．
(1)A (2)?x0∈R，f(x0)∴e≤a≤4．
(2)全称命题的否定是特称命题，所以“?x∈R，f(x)≥m”的否定是“?x0∈R，f(x0)1．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
2．要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可．
3．要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使p(x0)成立即可，否则这一特称命题为假命题．
4．(1)命题p：?x<0，x2≥2x，则命题p为( )
A．?x0<0，x≥2
B．?x0≥0，x<2
C．?x0<0，x<2
D．?x0≥0，x≥2
C [p：?x0<0，x<2，故选C．]
(2)在下列四个命题中，真命题的个数是( )
①?x∈R，x2＋x＋3＞0；
②?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β；
④?x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10．
A．1
B．2
C．3
D．4
D [①中，x2＋x＋3＝＋≥＞0，故①为真命题；
②中，?x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故②也为真命题；
③中，当α＝，β＝－时，sin(α＋β)＝0，sin
α＋sin
β＝0，故③为真命题；
④中，当x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④为真命题．]
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