轴对称
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文档简介
(共24张PPT)
这个图形就叫做轴对称图形．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这条直线就是它的对称轴．
这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称 ．
A′
A
B
C
B′
C′
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.
这条直线叫做对称轴.
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
轴对称图形 两个图形成轴对称
图形
区别
联系
一个图形具有的特殊形状
两个全等图形的特殊的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合.
2.可以互相转化.
分组讨论
1.任选一个轴对称图形
A
B
A
B
C
2.通过折叠的方式作出此图形的一条对称轴
3.通过折叠的方式找到两个对称点，并用A、 B字母标示
4.测量A、B两点连线段和对称轴所形成的夹角的度数
5. 你得到什么结论呢？
探究1：
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
ＡＰ＝
∠ＭＰＡ＝∠ ＝
将△ＡＢＣ和△ 沿ＭＮ折
叠后，点Ａ与点 重合，于是有
探究
1、用上述方法，你还能得其它的结论吗？
D
E
BD=
CE=
∠MDB= ∠
∠MEC= ∠
2、由 ，
你能得什么结论？
ＡＰ＝
∠ＭＰＡ＝∠ ＝
点P是 的中点
MN⊥
结论
对称轴所在的直线经过对称点所连线段的 中点，并且垂直于这条直线.
线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
轴对称的性质
1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、如果一 个图形是轴对称图形，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
L垂直平分 ,
L垂直平分 ,
L垂直平分 .
[探究2]
如左图2．木条L与AB钉在一起，
L垂直平分AB，
P1，P2，P3，…是L上的点，
分别量一量点P1，P2，P3，…
到A与B的距离，
你有什么发现？
图2
结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等.
你能证明这一结论吗
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
A
C
B
P
M
N
分析:(1)要证明PA=PB,
而△APC≌△BPC的条件由已知
故结论可证.
AC=BC,MN⊥AB,
可推知其能满足公理（SAS）.
就需要证明PA,PB所在的△APC≌△BPC，
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
开启 智慧
A
C
B
P
M
N
定理应用格式：
如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB
(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等).
思考:
如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
A
C
B
P
M
N
用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一 个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？为什么？
C
B
A
只要AB=BC就可以
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
A
B
C
我能行
1
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
A
C
B
P
M
N
定理应用格式：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
结论:
线段垂直平分线上的点
与这条线段两个端点的距离相等。
反之，与线段两个端点的距离相等的点
在这条线段垂直平分线上。
所以，线段垂直平分线可以看作到线段两端的距离相等的所有点的集合。
开启 智慧
拓展：
如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，
求△BCN的周长。
1、 如图，AD⊥BC，BD=DC，
点C在AE的垂直平分线上，
AB、AC 、CE 的长度有什么关系？
AB+BD 与DE有什么关系？
2、如图，AB=AC，MB=MC，
直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
AB=AC=CE；
AB+BD=DE.
【P34：例】
[P38:12] 已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P。
求证：PA=PB=PC.
P
A
B
C
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。
如图，七（1）班与七（2）班两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并说明理由。
M
N
B
C
A
1、 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE有什么关系？
2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
(4） 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
(1)线段是轴对称图形。
(2)垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称中垂线。
（3）线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点距离相等。
通过今天这节课你有什么收获
轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形，不受位置的影响
轴对称是说两个图形的位置关系，受到位置的影响。
联系：⑴都能沿着某条直线折叠重合。
这条直线都对称轴。
⑵如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；
反过来，把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是称对称图形。
通过图形理解了轴对称图形和关直线 成轴对称两个概念，请大家回忆一下，它们有什么区别和联系？
复习
区别:
作业：P36,习题 12.1
5 . 12
这个图形就叫做轴对称图形．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这条直线就是它的对称轴．
这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称 ．
A′
A
B
C
B′
C′
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.
这条直线叫做对称轴.
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
轴对称图形 两个图形成轴对称
图形
区别
联系
一个图形具有的特殊形状
两个全等图形的特殊的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合.
2.可以互相转化.
分组讨论
1.任选一个轴对称图形
A
B
A
B
C
2.通过折叠的方式作出此图形的一条对称轴
3.通过折叠的方式找到两个对称点，并用A、 B字母标示
4.测量A、B两点连线段和对称轴所形成的夹角的度数
5. 你得到什么结论呢？
探究1：
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
ＡＰ＝
∠ＭＰＡ＝∠ ＝
将△ＡＢＣ和△ 沿ＭＮ折
叠后，点Ａ与点 重合，于是有
探究
1、用上述方法，你还能得其它的结论吗？
D
E
BD=
CE=
∠MDB= ∠
∠MEC= ∠
2、由 ，
你能得什么结论？
ＡＰ＝
∠ＭＰＡ＝∠ ＝
点P是 的中点
MN⊥
结论
对称轴所在的直线经过对称点所连线段的 中点，并且垂直于这条直线.
线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
轴对称的性质
1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、如果一 个图形是轴对称图形，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
L垂直平分 ,
L垂直平分 ,
L垂直平分 .
[探究2]
如左图2．木条L与AB钉在一起，
L垂直平分AB，
P1，P2，P3，…是L上的点，
分别量一量点P1，P2，P3，…
到A与B的距离，
你有什么发现？
图2
结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等.
你能证明这一结论吗
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
A
C
B
P
M
N
分析:(1)要证明PA=PB,
而△APC≌△BPC的条件由已知
故结论可证.
AC=BC,MN⊥AB,
可推知其能满足公理（SAS）.
就需要证明PA,PB所在的△APC≌△BPC，
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
开启 智慧
A
C
B
P
M
N
定理应用格式：
如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB
(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等).
思考:
如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
A
C
B
P
M
N
用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一 个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？为什么？
C
B
A
只要AB=BC就可以
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
A
B
C
我能行
1
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
A
C
B
P
M
N
定理应用格式：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上
(与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
结论:
线段垂直平分线上的点
与这条线段两个端点的距离相等。
反之，与线段两个端点的距离相等的点
在这条线段垂直平分线上。
所以，线段垂直平分线可以看作到线段两端的距离相等的所有点的集合。
开启 智慧
拓展：
如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，
求△BCN的周长。
1、 如图，AD⊥BC，BD=DC，
点C在AE的垂直平分线上，
AB、AC 、CE 的长度有什么关系？
AB+BD 与DE有什么关系？
2、如图，AB=AC，MB=MC，
直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
AB=AC=CE；
AB+BD=DE.
【P34：例】
[P38:12] 已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P。
求证：PA=PB=PC.
P
A
B
C
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。
如图，七（1）班与七（2）班两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且PM=PN，请你用折纸的方法找出P点并说明理由。
M
N
B
C
A
1、 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE有什么关系？
2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
(4） 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
(1)线段是轴对称图形。
(2)垂直并且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称中垂线。
（3）线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点距离相等。
通过今天这节课你有什么收获
轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形，不受位置的影响
轴对称是说两个图形的位置关系，受到位置的影响。
联系：⑴都能沿着某条直线折叠重合。
这条直线都对称轴。
⑵如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；
反过来，把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是称对称图形。
通过图形理解了轴对称图形和关直线 成轴对称两个概念，请大家回忆一下，它们有什么区别和联系？
复习
区别:
作业：P36,习题 12.1
5 . 12