第一章 空间向量与立体几何 基础夯实__2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 基础夯实__2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-26 11:22:26 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何
基础夯实——2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷
【满分：100分】
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知空间向量a,b，且，，，则一定共线的三点是(
)
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
2.如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，点N是上的点，且，用a，b，c表示向量的结果是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为(
)
A.0
B.
C.9
D.
4.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
5.在空间直角坐标系Oxyz中,,,分别是x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,设为非零向量,且,,则(
)
A.
B.
C.或
D.或
6.向量，，若，且，则的值为(
)
A.-1
B.1
C.-4
D.4
7.如图所示,正方体中,点分别在上,且,则(
)
A.至多与之一垂直
B.与都垂直
C.与相交
D.与异面
8.已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是(
)
A.-6
B.6
C.14
D.-14
9.在正方体中，M为的中点，则异面直线AM与所成角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
10.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，则__________，___________.
12.如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为___________.
13.已知，，若，，且平面ABC，则___________.
14.在长方体中，，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为____________.
15.已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，则平面AEF与平面ABC所成角的正切值为________________.
三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.
（10分）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E是PC的中点.证明：
（1）；
（2）平面ABE.
17.
（15分）如图，已知直三棱柱，，E是棱上动点，F是中点，，．
（1）求证：平面；
（2）当是棱中点时，求与平面所成的角；
答案以及解析
1.答案：A
解析：,A,B,D三点共线，故选A.
2.答案：D
解析：由题意可得，
.
，，
，故选D.
3.答案：D
解析：不能构成空间的一个基底，共面，则，其中，则，
解得
故选D.
4.答案：B
解析：设，，，BC的中点为D，则平面ABC，，
设三棱柱的各棱长均为1，则，且，
，
，
解得，，
异面直线AB与所成角的余弦值为.
5.答案：C
解析：设，则由，,
,得,,
，,
，又，或.
6.答案：C
解析：，，解得.
由，得，
解得，，故选C.
7.答案：B
解析：以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为3,则,,,,,即,即.又,.故选B.
8.答案：A
解析：,,故选A.
9.答案：A
解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，，，，
，
，
为的中点，
.
，
，
异面直线AM与所成角的余弦值为.
故选A.
10.答案：A
解析：如图，设，则，，，，
，
，
.
故选A.
11.答案：3；
解析：设，，，
则由题意得，，，
，，，
，
.
12.答案：2
解析：设，，，则是空间的一个基底，
①，
②，
③，
①-③得④，将②代入④得，
化简得，又（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），即的最小值为2.
13.答案：
解析：已知，由题意，可得，.
利用向量数量积的运算公式，可得解得
.
14.答案：
解析：如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
由，得，
，
设平面的法向量为，
由得
取，则，，，
点Q到平面的距离.
15.答案：
解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设，由已知条件得，，，，，则，，.
设平面AEF的法向量为，
平面AEF与平面ABC所成角为，
由得
令，则，，
所以，
易得平面ABC的一个法向量，
则，
又，所以，所以.
16.答案：（1）因为底面ABCD，所以，所以，又，所以，又，所以，所以.
（2）设，因为，，所以.又，所以，得.
因为，，所以，，又，所以平面ABE.
17.答案：（1）直三棱柱，，
是中点，，，
，平面．
（2）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，
取，得，
设与平面所成的角为，
则，，
与平面所成的角为．
基础夯实——2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷
【满分：100分】
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知空间向量a,b，且，，，则一定共线的三点是(
)
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
2.如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，点N是上的点，且，用a，b，c表示向量的结果是(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为(
)
A.0
B.
C.9
D.
4.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
5.在空间直角坐标系Oxyz中,,,分别是x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,设为非零向量,且,,则(
)
A.
B.
C.或
D.或
6.向量，，若，且，则的值为(
)
A.-1
B.1
C.-4
D.4
7.如图所示,正方体中,点分别在上,且,则(
)
A.至多与之一垂直
B.与都垂直
C.与相交
D.与异面
8.已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是(
)
A.-6
B.6
C.14
D.-14
9.在正方体中，M为的中点，则异面直线AM与所成角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
10.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，则__________，___________.
12.如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为___________.
13.已知，，若，，且平面ABC，则___________.
14.在长方体中，，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为____________.
15.已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，则平面AEF与平面ABC所成角的正切值为________________.
三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.
（10分）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E是PC的中点.证明：
（1）；
（2）平面ABE.
17.
（15分）如图，已知直三棱柱，，E是棱上动点，F是中点，，．
（1）求证：平面；
（2）当是棱中点时，求与平面所成的角；
答案以及解析
1.答案：A
解析：,A,B,D三点共线，故选A.
2.答案：D
解析：由题意可得，
.
，，
，故选D.
3.答案：D
解析：不能构成空间的一个基底，共面，则，其中，则，
解得
故选D.
4.答案：B
解析：设，，，BC的中点为D，则平面ABC，，
设三棱柱的各棱长均为1，则，且，
，
，
解得，，
异面直线AB与所成角的余弦值为.
5.答案：C
解析：设，则由，,
,得,,
，,
，又，或.
6.答案：C
解析：，，解得.
由，得，
解得，，故选C.
7.答案：B
解析：以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为3,则,,,,,即,即.又,.故选B.
8.答案：A
解析：,,故选A.
9.答案：A
解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，，，，
，
，
为的中点，
.
，
，
异面直线AM与所成角的余弦值为.
故选A.
10.答案：A
解析：如图，设，则，，，，
，
，
.
故选A.
11.答案：3；
解析：设，，，
则由题意得，，，
，，，
，
.
12.答案：2
解析：设，，，则是空间的一个基底，
①，
②，
③，
①-③得④，将②代入④得，
化简得，又（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），即的最小值为2.
13.答案：
解析：已知，由题意，可得，.
利用向量数量积的运算公式，可得解得
.
14.答案：
解析：如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
由，得，
，
设平面的法向量为，
由得
取，则，，，
点Q到平面的距离.
15.答案：
解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设，由已知条件得，，，，，则，，.
设平面AEF的法向量为，
平面AEF与平面ABC所成角为，
由得
令，则，，
所以，
易得平面ABC的一个法向量，
则，
又，所以，所以.
16.答案：（1）因为底面ABCD，所以，所以，又，所以，又，所以，所以.
（2）设，因为，，所以.又，所以，得.
因为，，所以，，又，所以平面ABE.
17.答案：（1）直三棱柱，，
是中点，，，
，平面．
（2）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，
取，得，
设与平面所成的角为，
则，，
与平面所成的角为．