第三章圆锥曲线的方程 能力提升__2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷（Word含解析）

第三章圆锥曲线的方程
能力提升——2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元测试卷
【满分：100分】
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线被椭圆所截得线段的中点的坐标是(
)
A.
B.
C.
D.
2.过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(
)
A.
B.
C.
D.
3.若直线与椭圆有且只有一个交点，则斜率k的值是(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知双曲线，直线与C交于A,B两点，直线与M交于C,D两点，若，则C的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知双曲线的虚轴的一个顶点为D，直线与C交于A，B两点，若的垂心在C的一条渐近线上，则C的离心率为（
）
A.
B.
2
C.
D.
6.已知双曲线的左右焦点分别为，，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
7.若双曲线的实轴长为1，则其渐近线方程为(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为(
)
A.
B.
C.
D.
9.已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F,P为抛物线上一点，A,B是x轴上不同的两点，，，则直线OP斜率的绝对值为(
)
A.
B.
C.
D.
10.已知反比例函数与抛物线交于点M,若F为该抛物线的焦点,且轴,则(
)
A.
B.2
C.
D.4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上的动点，当为直角时，点P的横坐标是_____________.
12.若从圆上任意一点P向y轴作垂线段，则线段中点M的轨迹方程为_______________.
13.已知双曲线的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为____________.
14.已知双曲线C的渐近线方程为，写出双曲线C的一个标准方程：_________________．
15.已知抛物线过点，则__________；准线方程是____________.
三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.
（10分）已知直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于两点.
(1)若直线l的倾斜角为,求的值;
(2)若,求线段的中点M到准线的距离.
17.
（15分）已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4.
（1）求p.
（2）若点P在M上，PA、PB是C的两条切线，A、B是切点，求面积的最大值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：联立方程，得消去y并整理，得.设直线与椭圆的交点，，中点.
，，，中点坐标为.
2.答案：B
解析：设直线AB的方程为，易求直线AB的方程为.由消去y并整理，得.
设，，则，.
由弦长公式，得.
3.答案：C
解析：由
消去y并整理，
得，
由题意知，
解得，故选C.
4.答案：C
解析：将代入，得，则.将代入，得，则.因为，所以，所以，即.故M的离心率.
5.答案：D
解析：设的垂心为H，则，不妨设，则，，，，因为，所以则，，，故选D.
6.答案：C
解析：因为，并且，所以，，因为P为双曲线左支上的一点，所以，即所以双曲线的离心率的范围，故答案为：C
7.答案：D
解析：由，得，则.
8.答案：A
解析：本题考查双曲线的定义及离心率、余弦定理.设，由，可知，，又，，故，解得，所以离心率是.
9.答案：D
解析：取AB的中点D，连接PD，因为，
，所以，且，所以.又，所以，抛物线C的方程为.由得，所以直线OP斜率的绝对值为，故选D.
10.答案：C
解析：易知点.因为轴,且点M在函数的图象上，所以点.又点M在抛物线上，所以，解得，故选C.
11.答案：
解析：由题意得，，所以，所以.设，令的坐标为，的坐标为，
因为，所以在中，，
即，化简得.又，所以，
所以，解得.
所以点P的横坐标为±.
12.答案：
解析：设点M的坐标为，点P的坐标为，则，.因为在圆上，所以.将，代入方程，得.所以点M的轨迹方程是.
13.答案：
解析：由题意可得则，设其一焦点为，渐近线方程为，
那么，
而，
解得，
那么所求的双曲线方程为.
14.答案：
解析：由题意双曲线的渐近线为，即，可令，则，则故可写答案为（答案不唯一）.
15.答案：
解析：本题考查抛物线的概念.因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的准线方程为.
16.答案：(1)因为直线l的倾斜角为,所以其斜率,又,所以直线l的方程为.
联立,消去y,得.
设,则.
而,
∴.
(2)设,由抛物线的定义,知
,
∴,∴线段的中点M的横坐标是3.
又准线方程是,
∴点M到准线的距离为.
17.答案：（1）点到圆M上的点的距离的最小值为，解得.
（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，直线PA的方程为，又点在抛物线上，所以，所以，同理可得，，
联立从而得到.
设，
联立消去y并整理可得，
所以，即，且，，
所以.
因为，点P到直线AB的距离，
所以①，
又点在圆上，代入得，代入①得，，
而，
所以当时，.