第一章 空间向量与立体几何 能力提升__2021-2022学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册单元测试卷（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何 能力提升__2021-2022学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册单元测试卷（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-26 11:29:26 | ||
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文档简介
第一章
空间向量与立体几何
能力提升——2021-2022学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册单元测试卷
【满分：100分】
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如图所示，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是(
)
A.与
B.与
C.与
D.与
2.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(
)
①任一向量与它的相反向量都不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若，则；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.
A.0
B.1
C.2
D.3
3.已知正方体的棱长为a,且与相交于点O,则有(
)
A.
B.
C.
D.
4.如图，在三棱柱中，M为的中点，若,,，则下列向量与相等的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D,E分别是，的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
6.在棱长为1的正方体中，平面与平面之间的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知三棱锥中，PA,PB,PC两两垂直，且，，，则点P到平面ABC的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
8.在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是，，，，则点B到平面ACD的距离是(
)
A.
B.
C.
D.
9.若点在直线l上，则直线l的一个方向向量为(
)
A.（1,2,3）
B.（1,3,2）
C.（2,1,3）
D.（3,2,1）
10.如图，已知四棱锥的底面ABCD是等腰梯形，，且,AC与BD交于点O,底面ABCD,，，E,F分别是AB,AP的中点，则二面角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分
11.已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的点P与A,B,C三点共面，则_______.
12.已知，，,，，若，则_______.
13.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为和，则这个二面角的余弦值为_____________.
14.如图，正方体中，N是棱AD的中点，M是棱上的点，且，则直线BM与之间的距离为_______________.
15.如图,在棱长为2的正方体中,E为BC的中点,P为直线上一动点,则点P到直线的距离的最小值为_______________.
三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.
（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E,F分别为AB,BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
17.
（15分）如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点.求PC到平面BED的距离.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，所以四边形ABCD是平行四边形，结合平行四边形的性质及相等向量的定义知，，，，故选D.
2.答案：B
解析：零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错.故选B.
3.答案：B
解析：对于A，,故A错误；
对于B，,故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选B.
4.答案：A
解析：.
5.答案：B
解析：以C为坐标原点，CA,CB,所在直线分別为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设，则，，，，
可得，，，，.
因为点E在平面ABD上的射影是的重心，所以平面ABD，
所以，即，解得（负值舍去），则，，
则点到平面ABD的距离.故选B.
6.答案：B
解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，则
令，则，，故.
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离为.
7.答案：D
解析：因为三棱锥中，PA,PB,PC两两垂直，
所以以P为原点，,,的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，，，
所以，，，，
所以，，.
设平面ABC的一个法向量为,则即
取，则，，所以，
所以点P到平面ABC的距离为.
8.答案：A
解析：由题意知,,.
设平面ACD的一个法向量为,则取，则，，，
，即点B到平面ACD的距离是.故选A.
9.答案：A
解析：，与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选A.
10.答案：B
解析：以O为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题易得,
则，，，
分别是AB,AP的中点，
，，
，.
设平面OEF的一个法向量为，
则即
令，可得，
易知平面OAE的一个法向量，
则，
由图知二面角为锐角，
二面角的余弦值为.故选B.
11.答案：
解析：根据P,A,B,C四点共面，知存在实数x,y,z,使得成立，其中，于是根据题意，得，解得.
12.答案：
解析：由，得，解得.
13.答案：
解析：由，知这个二面角的余弦值为.
14.答案：
解析：设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设直线BM与的公垂线方向上的向量，由，，
得
令，则，，.
设直线BM与之间的距离为d，则.
15.答案：
解析：点P到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离.以点D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,.设,,,则,,,取,则,.又异面直线与的距离.
16.答案：（1）连接DE，以D为坐标原点，DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，,
所以，.
设平面PEF的法向量为，
则，所以,
令，则，，所以为平面PEF的一个法向量，
所以点D到平面PEF的距离为.
（2）由（1），知，所以,
则点A到平面PEF的距离为.
因为平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为.
17.答案：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，.
设平面BED的法向量为,
则,
令，得平面BED的一个法向量为.
，且，平面BED,
到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.
，，，，
点P到平面BED的距离,
到平面BED的距离为.
空间向量与立体几何
能力提升——2021-2022学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册单元测试卷
【满分：100分】
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如图所示，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是(
)
A.与
B.与
C.与
D.与
2.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(
)
①任一向量与它的相反向量都不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若，则；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.
A.0
B.1
C.2
D.3
3.已知正方体的棱长为a,且与相交于点O,则有(
)
A.
B.
C.
D.
4.如图，在三棱柱中，M为的中点，若,,，则下列向量与相等的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D,E分别是，的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
6.在棱长为1的正方体中，平面与平面之间的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知三棱锥中，PA,PB,PC两两垂直，且，，，则点P到平面ABC的距离为(
)
A.
B.
C.
D.
8.在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是，，，，则点B到平面ACD的距离是(
)
A.
B.
C.
D.
9.若点在直线l上，则直线l的一个方向向量为(
)
A.（1,2,3）
B.（1,3,2）
C.（2,1,3）
D.（3,2,1）
10.如图，已知四棱锥的底面ABCD是等腰梯形，，且,AC与BD交于点O,底面ABCD,，，E,F分别是AB,AP的中点，则二面角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分
11.已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的点P与A,B,C三点共面，则_______.
12.已知，，,，，若，则_______.
13.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为和，则这个二面角的余弦值为_____________.
14.如图，正方体中，N是棱AD的中点，M是棱上的点，且，则直线BM与之间的距离为_______________.
15.如图,在棱长为2的正方体中,E为BC的中点,P为直线上一动点,则点P到直线的距离的最小值为_______________.
三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.
（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E,F分别为AB,BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
17.
（15分）如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点.求PC到平面BED的距离.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，所以四边形ABCD是平行四边形，结合平行四边形的性质及相等向量的定义知，，，，故选D.
2.答案：B
解析：零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错.故选B.
3.答案：B
解析：对于A，,故A错误；
对于B，,故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选B.
4.答案：A
解析：.
5.答案：B
解析：以C为坐标原点，CA,CB,所在直线分別为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设，则，，，，
可得，，，，.
因为点E在平面ABD上的射影是的重心，所以平面ABD，
所以，即，解得（负值舍去），则，，
则点到平面ABD的距离.故选B.
6.答案：B
解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，则
令，则，，故.
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离为.
7.答案：D
解析：因为三棱锥中，PA,PB,PC两两垂直，
所以以P为原点，,,的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，，，
所以，，，，
所以，，.
设平面ABC的一个法向量为,则即
取，则，，所以，
所以点P到平面ABC的距离为.
8.答案：A
解析：由题意知,,.
设平面ACD的一个法向量为,则取，则，，，
，即点B到平面ACD的距离是.故选A.
9.答案：A
解析：，与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选A.
10.答案：B
解析：以O为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题易得,
则，，，
分别是AB,AP的中点，
，，
，.
设平面OEF的一个法向量为，
则即
令，可得，
易知平面OAE的一个法向量，
则，
由图知二面角为锐角，
二面角的余弦值为.故选B.
11.答案：
解析：根据P,A,B,C四点共面，知存在实数x,y,z,使得成立，其中，于是根据题意，得，解得.
12.答案：
解析：由，得，解得.
13.答案：
解析：由，知这个二面角的余弦值为.
14.答案：
解析：设正方体的棱长为1，如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，.
设直线BM与的公垂线方向上的向量，由，，
得
令，则，，.
设直线BM与之间的距离为d，则.
15.答案：
解析：点P到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离.以点D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,.设,,,则,,,取,则,.又异面直线与的距离.
16.答案：（1）连接DE，以D为坐标原点，DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，,
所以，.
设平面PEF的法向量为，
则，所以,
令，则，，所以为平面PEF的一个法向量，
所以点D到平面PEF的距离为.
（2）由（1），知，所以,
则点A到平面PEF的距离为.
因为平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为.
17.答案：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，.
设平面BED的法向量为,
则,
令，得平面BED的一个法向量为.
，且，平面BED,
到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.
，，，，
点P到平面BED的距离,
到平面BED的距离为.