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【人教九上数学同步作业】21章
课时作业(六)[
一元二次方程的根与系数的关系]
一、选择题
1.设一元二次方程2x2－4x－3＝0的两个实数根为x1和x2，则下列结论正确的是( )
A.x1x2＝3
B.x1＋x2＝－4
C.x1＋x2＝2
D.x1x2＝
2.一元二次方程3x2－1＝2x＋5的两个根的和与积分别是( )
A.，－2
B.，－2
C.－，2
D.－，2
3.2019·广东已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，则下列结论错误的是( )
A.x1≠x2
B.x12－2x1＝0
C.x1＋x2＝2
D.x1x2＝2
4.2020·黔东南州已知关于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根是2，则另一个根是( )
A.－7
B.7
C.3
D.－3
5.已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为( )
A.4，－2
B.－4，－2
C.4，2
D.－4，2
6.已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程可以是( )
A.x2－7x＋12＝0
B.x2＋7x＋12＝0
C.x2＋7x－12＝0
D.x2－7x－12＝0
7.2020·遵义已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，则x12＋x22的值为( )
A.5
B.10
C.11
D.13
8.2019·威海已知a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a2－b＋2019的值是( )
A.2023
B.2021
C.2020
D.2019
二、填空题
9.已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝________，q＝________.
10.若关于x的方程x2＋(a＋1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝________.
11.若矩形的长和宽是关于x的方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________.
12.2020·宜宾已知一元二次方程x2＋2x－8＝0的两根为x1，x2，则＋2x1x2＋＝________.
13.在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝3，x2＝4；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4.请你写出正确的一元二次方程：______________.
三、解答题
14.已知x1，x2是一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两个根，试求下列代数式的值：
(1)＋； (2)x12＋x22；
(3)(x1＋1)(x2＋1);
(4)x1－x2.
15.2019·随州已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根.
16.2020·鄂州已知关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，且＋＝x1x2－4，求实数k的值.
17.2020·南充已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k，使得等式＋＝k－2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由.
1.构造法——构造一元二次方程(1)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2021＝________；
(2)已知m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0且mn≠1，则的值为________.
2.转化思想已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.
(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根.
教师详解详析
[课堂达标]
1.C
2.B [解析]
设这个一元二次方程的两个根分别为x1,x2.
将一元二次方程3x2－1＝2x＋5化为一般形式为3x2－2x－6＝0,
所以x1＋x2＝,x1x2＝－2.故选B.
3.D 4.A
5.D [解析]
设方程的两个根为x1,x2,且x1＝2,由根与系数的关系,得2x2＝－8,2＋x2＝－m,解得x2＝－4,m＝2,
则另一个实数根及m的值分别为－4,2.
6.A
7.D [解析]
∵x1,x2是方程x2－3x－2＝0的两根,由一元二次方程根与系数的关系,得x1＋x2＝3,x1·x2＝－2,∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝9＋4＝13.故选D.
8.A [解析]
根据一元二次方程的根的定义,得a2＋a－3＝0,所以a2＝－a＋3,再利用根与系数的关系,得a＋b＝－1,然后利用整体代入方法计算.a2－b＋2019＝－a＋3－b＋2019＝－(a＋b)＋3＋2019＝－(－1)＋3＋2019＝2023.故选A.
9.4 3 [解析]
根据一元二次方程的根与系数的关系,可知p＝－(－3－1)＝4,q＝(－3)×(－1)＝3.故答案为4,3.
10.1 [解析]
根据题意,得a2＝1,解得a＝1或a＝－1,而当a＝－1时,原方程变形为x2＋1＝0,Δ＝b2－4ac＝0－4＜0,此时方程没有实数根,所以a＝1.
11.16 [解析]
设矩形的长和宽分别为x1,x2,根据题意得x1＋x2＝8,所以矩形的周长＝2(x1＋x2)＝16.
12.－ [解析]
∵一元二次方程x2＋2x－8＝0的两根为x1,x2,∴x1＋x2＝－2,x1x2＝－8,
∴＋2x1x2＋＝2x1x2＋＝2×(－8)＋＝－16＋＝－.
13.x2－5x＋12＝0 [解析]
由小明的结果可知c＝3×4＝12,由小刚的结果可知b＝－(1＋4)＝－5.所以正确的一元二次方程是x2－5x＋12＝0.
14.解：根据题意,得x1＋x2＝－,x1x2＝－2.
(1)＋＝＝＝.
(2)x12＋x22
＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝－2×(－2)
＝.
(3)(x1＋1)(x2＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1
＝－2－＋1
＝－.
(4)∵(x1－x2)2
＝x12＋x22－2x1x2
＝x12＋2x1x2＋x22－4x1x2
＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝＋8
＝,
∴x1－x2＝±＝±＝±.
15.解：(1)由题意可得Δ＝b2－4ac＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋1)＞0,解得k＞.
(2)由根与系数的关系可知x1＋x2＝－＝2k＋1,∴2k＋1＝3,解得k＝1＞,符合题意.
把k＝1代回原方程,原方程为x2－3x＋2＝0,解得x1＝1,x2＝2.
16.解：(1)∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根,
∴Δ≥0,即(－4)2－4×1×(k＋1)≥0,
解得k≤3,
故k的取值范围为k≤3.
(2)由根与系数的关系可得x1＋x2＝4,x1x2＝k＋1.
由＋＝x1x2－4,得＝x1x2－4,
则＝k＋1－4,
解得k1＝－3,k2＝5.
经检验,k1＝－3,k2＝5是原方程的根.
又∵k≤3,∴k＝－3.
17.解：(1)∵一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0有两个实数根,
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(k＋2)≥0,
解得k≤－1.
(2)存在.∵x1,x2是一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0的两个实数根,
∴x1＋x2＝2,x1x2＝k＋2.
∵＋＝k－2,
∴＝＝k－2,
∴k2－6＝0,
解得k1＝－,k2＝.
经检验,k1＝－,k2＝是原方程的根.
又∵k≤－1,
∴k＝－.
∴存在实数k,使得等式＋＝k－2成立.k的值为－.
[素养提升]
1.(1)2032 [解析]
因为m,n是两个不相等的实数,且满足m2－m＝3,n2－n＝3,
所以m,n是方程x2－x－3＝0的两个不相等的实数根.
根据根与系数的关系可知：m＋n＝1,mn＝－3.
又n2＝n＋3,则
2n2－mn＋2m＋2021
＝2(n＋3)－mn＋2m＋2021
＝2n＋6－mn＋2m＋2021
＝2(m＋n)－mn＋2027
＝2×1－(－3)＋2027
＝2＋3＋2027
＝2032.
(2)3 [解析]
∵mn≠1,∴m≠.
由n2＋2n－1＝0,得n≠0,
∴()2－2·－1＝0.
又m2－2m－1＝0,∴m,是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根.
由根与系数的关系,得m＋＝2.
∴＝m＋1＋＝1＋2＝3.
2.解：(1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝[－(m－3)]2＋4m2＞0,
∴无论m取何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵x1,x2是原方程的两个实数根,
∴x1＋x2＝m－3,x1x2＝－m2.
∵x1x2＝－m2≤0,
∴x1≥0,x2≤0或x1≤0,x2≥0,
∴由|x1|＝|x2|－2得x1＝－x2－2或－x1＝x2－2,即x1＋x2＝±2.
∵x1＋x2＝m－3,
∴m－3＝±2,解得m＝1或m＝5.
当m＝1时,原方程为x2＋2x－1＝0,
解得x1＝－1＋
,x2＝－1－;
当m＝5时,原方程为x2－2x－25＝0,
解得x1＝1＋,x2＝1－.
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课时作业(六)[
一元二次方程的根与系数的关系]
课时作业(六)
课堂达标
素养提升
第二十一章 一元二次方程
C
B
3.[2019·广东]已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，则下列结论错误的是( )
A.x1≠x2
B.x12－2x1＝0
C.x1＋x2＝2
D.x1x2＝2
D
4.[2020·黔东南州]已知关于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根是2，则另一个根是( )
A.－7
B.7
C.3
D.－3
A
5.已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为( )
A.4，－2
B.－4，－2
C.4，2
D.－4，2
[解析]设方程的两个根为x1,x2,且x1＝2,由根与系数的关系,得2x2＝－8,2＋x2＝－m,解得x2＝－4,m＝2,
则另一个实数根及m的值分别为－4,2.
D
6.已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程可以是( )
A.x2－7x＋12＝0
B.x2＋7x＋12＝0
C.x2＋7x－12＝0
D.x2－7x－12＝0
A
7.[2020·遵义]已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，则x12＋x22的值为( )
A.5
B.10
C.11
D.13
[解析]
∵x1,x2是方程x2－3x－2＝0的两根,由一元二次方程根与系数的关系,得x1＋x2＝3,x1·x2＝－2,∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝9＋4＝13.故选D.
D
8.[2019·威海]已知a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a2－b＋2019的值是( )
A.2023
B.2021
C.2020
D.2019
[解析]
根据一元二次方程的根的定义,得a2＋a－3＝0,所以a2＝－a＋3,再利用根与系数的关系,得a＋b＝－1,然后利用整体代入方法计算.a2－b＋2019＝－a＋3－b＋2019＝－(a＋b)＋3＋2019＝－(－1)＋3＋2019＝2023.故选A.
A
二、填空题
9.已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝________，q＝________.
[解析]
根据一元二次方程的根与系数的关系,可知p＝－(－3－1)＝4,q＝(－3)×(－1)＝3.故答案为4,3.
4
3
10.若关于x的方程x2＋(a＋1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝________.
[解析]
根据题意,得a2＝1,解得a＝1或a＝－1,而当a＝－1时,原方程变形为x2＋1＝0,Δ＝b2－4ac＝0－4＜0,此时方程没有实数根,所以a＝1.
1
11.若矩形的长和宽是关于x的方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤
32)的两根，则矩形的周长为________.
[解析]
设矩形的长和宽分别为x1,x2,根据题意得x1＋x2＝8,所以矩形的周长＝2(x1＋x2)＝16.
16
13.在解一元二次方程x2＋bx＋c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝3，x2＝4；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝4.请你写出正确的一元二次方程：______________.
[解析]
由小明的结果可知c＝3×4＝12,由小刚的结果可知b＝
－(1＋4)＝－5.所以正确的一元二次方程是x2－5x＋12＝0.
x2－5x＋12＝0
(3)(x1＋1)(x2＋1);
(4)x1－x2.
15.[2019·随州]已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根.
解：(1)∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根,
∴Δ≥0,即(－4)2－4×1×(k＋1)≥0,
解得k≤3,
故k的取值范围为k≤3.
解：(1)∵一元二次方程x2－2x＋k＋2＝0有两个实数根,
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(k＋2)≥0,解得k≤－1.
1.[构造法——构造一元二次方程](1)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2021＝________；
2032
[解析]
因为m,n是两个不相等的实数,且满足m2－m＝3,n2－n＝3,所以m,n是方程x2－x－3＝0的两个不相等的实数根.
根据根与系数的关系可知：m＋n＝1,mn＝－3.
又n2＝n＋3,则2n2－mn＋2m＋2021＝2(n＋3)－mn＋2m＋2021
＝2n＋6－mn＋2m＋2021＝2(m＋n)－mn＋2027＝2×1－(－3)＋2027＝2＋3＋2027＝2032.
3
2.[转化思想]已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.
(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根.
解：(1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝[－(m－3)]2＋4m2＞0,
∴无论m取何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵x1,x2是原方程的两个实数根,
∴x1＋x2＝m－3,x1x2＝－m2.
∵x1x2＝－m2≤0,
∴x1≥0,x2≤0或x1≤0,x2≥0,
∴由|x1|＝|x2|－2得x1＝－x2－2或－x1＝x2－2,即x1＋x2＝±2.
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