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课时作业(四)[公式法]
课时作业(四)
课堂达标
素养提升
第二十一章 一元二次方程
一、选择题
1.关于x的一元二次方程x2＋mx－1＝0根的判别式的值为
( )
A.1－m2
B.m2－4
C.m2＋4
D.m2＋1
C
2.[2020·广西北部湾经济区]一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是( )
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
B
B
4.[2020·潍坊]关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＋1－k＝0的根的情况，下列说法正确的是( )
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
[解析]
Δ＝(k－3)2－4(1－k)＝k2－2k＋5＝(k－1)2＋4>0,则原方程有两个不等的实数根.故选A.
A
D
[解析]
对照求根公式,可确定二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,－b,－c.故选D.
6.[2019·淮安]若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k<－1
B.k>－1
C.k<1
D.k>1
[解析]
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(－k)＝4＋4k＞0,∴k＞－1.
B
7.[2020·怀化]已知关于x的一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A.4
B.－4
C.±4
D.±2
[解析]
∵关于x的一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根,∴Δ＝b2－4ac＝(－k)2－4×1×4＝0,解得k＝±4.故选C.
C
A
9.[2020·通辽]若关于x的方程kx2－6x＋9＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A.k＜1且k≠0
B.k＜1
C.k≤1且k≠0
D.k≤1
D
二、填空题
10.[2020·吉林]一元二次方程x2＋3x－1＝0根的判别式的值为________.
13
11.[2019·威海]一元二次方程3x2＝4－2x的解是
_________________________.
12.[2020·云南]若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为________.
1
13.[2020·永州]若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________.
[解析]
由题意,得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－m)＝16＋4m＞0,解得m＞－4.
m＞－4
三、解答题
14.用公式法解下列方程：
(1)x2－3x－2＝0；
解：(1)∵a＝1,b＝－3,c＝－2,
∴Δ＝b2－4ac＝17>0,
(2)2x2－7x＋3＝0;
(2)∵a＝2,b＝－7,c＝3,
∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25＞0,
(4)x2－2x＝2x＋1;
(4)原方程可化为x2－4x－1＝0.
∵a＝1,b＝－4,c＝－1,
∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20>0,
(5)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8；
(5)原方程可化为x2＋2x－3＝0.
∵a＝1,b＝2,c＝－3,
∴Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16>0,
∴x1＝1,x2＝－3.
(6)(x＋2)2－(x－3)2＝(x＋3)(x－1)－11.
(6)原方程可化为x2－8x－9＝0.
∵a＝1,b＝－8,c＝－9,
∴Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×(－9)＝100>0,
∴x1＝－1,x2＝9.
15.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.
16.[2019·北京]关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根.
解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根,
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(2m－1)＝4－8m＋4＝8－8m≥0,∴m≤1.
又∵m为正整数,∴m＝1,此时方程为x2－2x＋1＝0,
解得x1＝x2＝1.
17.等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值.
解：∵三角形是等腰三角形,∴此题分以下两种情况：①a＝2或b＝2;②a＝b.
①当a＝2或b＝2时,∵a,b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根,∴2是方程x2－6x＋n－1＝0的一个根.
把x＝2代入x2－6x＋n－1＝0,得22－6×2＋n－1＝0,解得n＝9.
当n＝9时,方程的两根为x1＝2,x2＝4,而2,4,2不能组成三角形,故n＝9不合题意,舍去.
②当a＝b时,方程x2－6x＋n－1＝0有两个相等的实数根,
∴Δ＝(－6)2－4(n－1)＝0,解得n＝10.
当n＝10时,方程的两根为x1＝x2＝3,
2,3,3能组成三角形,故n＝10符合题意.
综上所述,n的值是10.
18.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
解：(1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.
图4－K－1
(1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；
(2)请利用公式法说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处.
图4－K－1
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【人教九上数学同步作业】21章
课时作业(四)[公式法]
一、选择题
1.关于x的一元二次方程x2＋mx－1＝0根的判别式的值为( )
A.1－m2
B.m2－4
C.m2＋4
D.m2＋1
2.2020·广西北部湾经济区一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是( )
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
3.2020·临沂一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( )
A.x1＝－2＋2
，x2＝－2－2
B.x1＝2＋2
，x2＝2－2
C.x1＝2＋2
，x2＝2－2
D.x1＝2
，x2＝－2
4.2020·潍坊关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＋1－k＝0的根的情况，下列说法正确的是( )
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
5.以x＝为根的一元二次方程可能是( )
A.x2＋bx＋c＝0
B.x2＋bx－c＝0
C.x2－bx＋c＝0
D.x2－bx－c＝0
6.2019·淮安若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k<－1
B.k>－1
C.k<1
D.k>1
7.2020·怀化已知关于x的一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根，则k的值为( )
A.4
B.－4
C.±4
D.±2
8.2020·攀枝花若关于x的方程x2－x－m＝0没有实数根，则m的值可以为( )
A.－1
B.－
C.0
D.1
9.2020·通辽若关于x的方程kx2－6x＋9＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A.k＜1且k≠0
B.k＜1
C.k≤1且k≠0
D.k≤1
二、填空题
10.2020·吉林一元二次方程x2＋3x－1＝0根的判别式的值为________.
11.2019·威海一元二次方程3x2＝4－2x的解是______________________.
12.2020·云南若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为________.
13.2020·永州若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________.
三、解答题
14.用公式法解下列方程：
(1)x2－3x－2＝0；
(2)2x2－7x＋3＝0;
(3)x2－2
x＋3＝0;
(4)x2－2x＝2x＋1;
(5)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8；
(6)(x＋2)2－(x－3)2＝(x＋3)(x－1)－11.
15.已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.
16.2019·北京关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根.
17.等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值.
18.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
数形结合古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图4－K－1，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解.
(1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；
(2)请利用公式法说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处.
图4－K－1
教师详解详析
[课堂达标]
1.C 2.B 3.B
4.A [解析]
Δ＝(k－3)2－4(1－k)＝k2－2k＋5＝(k－1)2＋4>0,则原方程有两个不等的实数根.故选A.
5.D [解析]
对照求根公式,可确定二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,－b,－c.故选D.
6.B [解析]
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(－k)＝4＋4k＞0,
∴k＞－1.
7.C [解析]
∵关于x的一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根,
∴Δ＝b2－4ac＝(－k)2－4×1×4＝0,
解得k＝±4.
故选C.
8.A [解析]
由方程无实数根可知Δ＝1＋4m<0,解得m<－,则A选项符合题意.
9.D [解析]
若k＝0,则方程为－6x＋9＝0,解得x＝,方程有实数根;若k≠0,则kx2－6x＋9＝0是一元二次方程,若该方程有实数根,则Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×9k≥0,则k≤1且k≠0.综上可得,k的取值范围是k≤1.
10.13
11.x1＝,x2＝ [解析]
直接利用公式法解一元二次方程得出答案.原方程整理,得3x2＋2x－4＝0,则Δ＝b2－4ac＝4－4×3×(－4)＝52＞0,∴x＝,∴x1＝,x2＝.
12.1
13.m＞－4 [解析]
由题意,得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－m)＝16＋4m＞0,解得m＞－4.
14.解：(1)∵a＝1,b＝－3,c＝－2,
∴Δ＝b2－4ac＝17>0,
∴x1＝,x2＝.
(2)∵a＝2,b＝－7,c＝3,
∴Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25＞0,
∴x＝＝,
∴x1＝3,x2＝.
(3)∵a＝1,b＝－2
,c＝3,
∴Δ＝b2－4ac＝(－2
)2－4×1×3＝0,
∴x1＝x2＝＝
.
(4)原方程可化为x2－4x－1＝0.
∵a＝1,b＝－4,c＝－1,
∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20>0,
∴x＝＝2±
,
∴x1＝2＋
,x2＝2－
.
(5)原方程可化为x2＋2x－3＝0.
∵a＝1,b＝2,c＝－3,
∴Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16>0,
∴x＝＝,
∴x1＝1,x2＝－3.
(6)原方程可化为x2－8x－9＝0.
∵a＝1,b＝－8,c＝－9,
∴Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×(－9)＝100>0,
∴x＝＝,
∴x1＝－1,x2＝9.
15.解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根,
∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋1)2－4×1×(m2－1)＝4m＋5＞0,解得m＞－.
(2)答案不唯一,如取m＝1,此时原方程为x2＋3x＝0,解得x1＝0,x2＝－3.
16.解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根,
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(2m－1)＝4－8m＋4＝8－8m≥0,∴m≤1.
又∵m为正整数,
∴m＝1,此时方程为x2－2x＋1＝0,
解得x1＝x2＝1.
17.解：∵三角形是等腰三角形,∴此题分以下两种情况：①a＝2或b＝2;②a＝b.
①当a＝2或b＝2时,∵a,b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根,∴2是方程x2－6x＋n－1＝0的一个根.
把x＝2代入x2－6x＋n－1＝0,得22－6×2＋n－1＝0,解得n＝9.
当n＝9时,方程的两根为x1＝2,x2＝4,而2,4,2不能组成三角形,故n＝9不合题意,舍去.
②当a＝b时,方程x2－6x＋n－1＝0有两个相等的实数根,
∴Δ＝(－6)2－4(n－1)＝0,解得n＝10.
当n＝10时,方程的两根为x1＝x2＝3,
2,3,3能组成三角形,故n＝10符合题意.
综上所述,n的值是10.
18.解：(1)证明：∵Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)由求根公式,得x＝,
∴x1＝＝,x2＝＝1.
∵m为整数,且方程的两个根均为正整数,
∴x1＝＝1＋必为正整数,
∴m－1＝1或m－1＝2,
∴m＝2或m＝3.
[素养提升]
解：(1)∵∠ACB＝90°,BC＝,AC＝b,
∴AB＝,
∴AD＝－＝.
(2)方程x2＋ax＝b2整理,
得x2＋ax－b2＝0.
Δ＝a2－4×1×(－b2)＝a2＋4b2>0,
∴x＝,
即x1＝,x2＝.
正确性：AD的长就是方程的正根.
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根.
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精品试卷·第
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