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专题11.2
与三角形有关的角
典例体系
一、知识点
1、三角形的内角：三角形的内角和等于。
如图：
2、三角形的外角
（1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。＞或＞
二、考点点拨与训练
考点1：三角形内角和
典例：（2019·河北省初一期末）已知△ABC中，BE平分∠ABC，点P在射线BE上．
（1）如图1，若∠ABC＝40°，CP∥AB，求∠BPC的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝100°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC的度数；
（3）若∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，直线CP与△ABC的一条边垂直，画出相应图形并求∠BPC的度数．
【答案】（1）∠BPC＝20°；（2）∠BPC=100°；（3）画出相应图形见解析；∠BPC的度数为70°或40°或110°．
【解析】
（1）∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠ABP＝＝20°，
∵CP∥AB，
∴∠BPC＝∠ABP＝20°；
（2）∵BE平分∠ABC，∠PBC＝∠PCA
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCA
△ABO中，∠A+∠ABP+∠AOB＝180°，
△PCO中，∠BPC+∠PCA+∠POC＝180°，
∵∠ABP=∠PCA,
∠AOB=∠POC
∴∠A＝∠BPC
=100°
即∠BPC=100°；
（3）①当CP⊥BC时，如图3，则∠BCP＝90°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠BPC＝70°；
②当CP⊥AC时，如图4，则∠ACP＝90°，
△BCP中，∠BPC＝180°﹣20°﹣30°﹣90°＝40°；
③当CP⊥AB时，延长CP交直线AB于G，如图5，则∠BGC＝90°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠BCG＝50°
△BPC中，∠BPC＝180°﹣50°﹣20°＝110°；
综上，∠BPC的度数为70°或40°或110°．
方法或规律点拨
本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和等于180°，是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·隆昌市知行中学初三月考）如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC，若∠1＝35°，那么∠2等于（
）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
【答案】C
【解析】
解：∵直线a∥b，
∴∠BAC=∠1＝35°（两直线平行，内错角相等），
又∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴
（三角形内角和定理），
∴（对顶角相等），
故选：C．
2．（2020·河北省初一月考）一个最小的锐角是50°，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【解析】180°﹣50°=130°，
另外两个角的和是130°，最小的内角是50°，
假设另外两个角中还有一个是50°，另一个就是：130°﹣50°=80°，
最大的内角最大只能是80°，所以这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形，
故选B．
3．（2020·江阴市云亭中学初一月考）若△ABC内有一个点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，如图1，可构成3个互不重叠的小三角形；若△ABC内有两个点P1、P2，其它条件不变，如图2，可构成5个互不重叠的小三角形：……若△ABC内有n个点，其它条件不变，则构成若干个互不重叠的小三角形，这些小三角形的内角和为（
）
A．n·180°
B．（n+2）·180°
C．（2n-1）·180°
D．（2n+1）·180°
【答案】D
【解析】解：图1中，当△ABC内只有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形；
图2中，当△ABC内只有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形；
图3中，当△ABC内只有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形；
根据以上规律，当△ABC内有n个点（P1，P2，…，Pn）时，可以把△ABC分割成S=2n+1个互不重叠的三角形，所以这些小三角形的内角和为（2n+1）·180°.
4．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ）
A．85°
B．75°
C．60°
D．30°
【答案】B
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
又∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，
∴∠D=75°．
故选B．
5．（2020·广东华侨中学初三其他）如图，直线AD∥BC，若∠1＝40°，∠BAC＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
【答案】B
【解析】
解：∵∠1＝40°，∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝60°，
又∵AD∥BC，
∴∠2＝∠ABC＝60°，
故选：B．
6．（2020·山东省初三一模）在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（
）
A．必有一个角等于
B．必有一个角等于
C．必有一个角等于
D．必有一个角等于
【答案】D
【解析】
设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：
①
②
③
综上所述，必有一个角等于90°
故选D.
7．（2019·四川省南充市高坪中学初一期末）如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
【答案】（1）60°；（2）不变化，∠APB=2∠ADB
，理由详见解析；（3）∠ABC=30°
【解析】
解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN=180°，
∵∠A=60°
∴∠ABN=120°
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP,
∠DBP=∠NBP,
∴∠CBD=∠CBP
+∠DBP=∠ABN=60°
（2）不变化，∠APB=2∠ADB，理由：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN
∠ADB=∠DBN
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN
=2∠DBN
∴∠APB=2∠ADB
（3）在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
∵∠ACB=∠ABD,∴∠ABC=∠ADB
∵AD∥BN，∠A=60°，
∴∠ABN=120°，∠ADB=∠DBN=∠ABC，
由（1）知∠CBD=60°，
∴∠ABC=(∠ABN-∠CBD)=30°
考点2：三角形的外角及外角和
典例：（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）如图，已知OM⊥ON，垂足为O，点A、B分别是射线OM、ON上的一点（O点除外）．
（1）如图①，射线AC平分∠OAB，若BC所在的直线也平分以B为顶点的某一个角α（0°＜α＜180°），则∠ACB＝
；
（2）如图②，P为平面上一点（O点除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分别画∠OAP、∠OBP的平分线AD、BE，交BP、OA于点D、E，试判断AD与BE的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，随着P点在平面内运动，AD、BE的位置关系是否发生变化？请利用图③画图探究．如果不变，直接回答；如果变化，画出图形，写出AD、BE位置关系并说明理由．
【答案】（1）45°或135°；（2）AD∥BE，理由见解析；（3）变化；当P在AB的上方时，如图②见解析，有AD∥BE；
当P在AB的下方时，如图③见解析，有AD⊥BE．理由见解析．
【解析】
（1）若BC平分∠ABO，如图①a，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，
∵AC，BC分别平分∠OAB，∠ABO，
∴∠BAC=∠OAB，∠ABC=∠ABO,
∴∠BAC+∠ABC=（∠OAB+∠ABO）=45°
∴∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)=
180°-45°=135°
若BC平分∠ABO的外角，如图①b，
同上易知，∠1=∠2，∠3=∠4
∵∠1+∠2=∠3+∠4+∠AOB=∠3+∠4+90°，
∴2∠2=2∠4+90°，
∴∠2=∠4+45°，
∴∠2-∠4=45°，
∴∠ACB=45°，
综上，∠ACB=45°或135°.
故答案为：45°或135°.
（2）AD∥BE
∵∠AOB＝∠P＝90°
∴∠OAP+∠OBP＝180°
∴∠OAP+∠OBP＝90°
∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP
∴∠OAD＝∠OAP，∠OBE＝∠OBP
∴∠OAD+∠OBE=∠OAP+∠OBP＝90°
∵∠AOB＝90°
∴∠OEB+∠OBE＝90°
∴∠OAD＝∠OEB
∴AD∥BE
（3）变化
当P在AB的上方时，如图②，有AD∥BE；
当P在AB的下方时，如图③，有AD⊥BE
理由是：
延长AD与BE交于点G,设OA与PB交于H，
∵∠APB＝∠AOB＝90°，∠AHP＝∠BHO
∴∠OAP＝∠OBP
∵AD平分∠OAP，BE平分∠OBP
∴∠PAD＝∠OAP，∠DBE＝∠OBP
∴∠PAD＝∠DBE，
又∵∠ADP＝∠BDG，
∴∠AGB＝∠P＝90°，
∴AD⊥BE．
方法或规律点拨
本题考查了平行线的性质和判定、角的平分线性质、三角形的内角和定理及推论，及特殊构图“8”字形对顶三角形有关角的关系的运用，熟练掌握角平分线的定义是关键．
巩固练习
1．（2020·广东省初三月考）如图，在一个三角形的纸片()中，
，将这个纸片沿直线剪去一个角后变成一个四边形，则图中的度数为(
)
A．180°
B．90
C．270°
D．315°
【答案】C
【解析】∵
∴
∴===
故选C.
2．（2020·凌海市石山镇初级中学初一月考）如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠DOF＝139°，则∠C＝(
)
A．38°
B．39°
C．40°
D．41°
【答案】D
【解析】
解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，
∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，
∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=139°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-139°=41°，
故选：D．
3．（2018·北京市第一六一中学初一期中）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=85°，则∠2的度数（
）
A．24°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】D
【解析】解：∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠2=240°-120°=120°，
∵∠1=85°，
∴∠2=120°-85°=35°.
故选：D．
4．（2020·偃师市实验中学初一月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度.
【答案】280
【解析】
根据三角形内角和定理，可得：∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，则∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°.
故答案为：280.
5．（2020·巨野县高级中学初一月考）如图，在△ABC中，，是角平分线，交CD于点E，证明：
【答案】见解析．
【解析】
∵是的角平分线
∴
又∵，
∴
∴
又∵
∴
考点3：与直角三角形有关的角度计算
典例：（2020·四川省初一期中）如图，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC=80°，∠B=30°，求∠C的度数．
【答案】∠C的度数为40°
【解析】
解：在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=30°
∴∠A=90°-
∠B=60°
在△ADC中，∠A=60°，∠ADC=80°
∴∠C=180°-
60°
-
80°=40°
答：∠C的度数为40°．
方法或规律点拨
此题考查的是三角形的内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·河北省初一月考）如图，在中，是边上的高，，分别是，的角平分线，，，则的度数为（
）
A．5°
B．10°
C．15°
D．20°
【答案】A
【解析】解：在中，是边上的高，是的角平分线，，
∴∠BAE=，∠ADB=90°
又因为
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABC=30°
∴=∠BAE-∠BAD=5°
故选：A．
2．（2019·山西省初一月考）如图，在直角三角形中，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
∵是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
3．（2020·安徽省初三其他）将两块三角板（分别含
和
角）按照如图所示摆放，使得斜边，且直角顶点重合，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
解：∵，∠B=45°，∴∠1=∠B=45°.
又∵∠DCB+∠1+∠D=180°，∴∠DCB=180°-45°-60°=75°.
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-75°=15°.
4．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（
）
A．∠A=2∠B=3∠C
B．∠A+∠B=2∠C
C．∠A=∠B=30°
D．∠A=∠B=∠C
【答案】D
【解析】A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则∠A=，所以A选项错误；
B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，则∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误；
C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=120°，所以B选项错误；
D、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=∠C，则∠C=90°，所以D选项正确．
故选D．
5．（2020·洪洞县龙马乡龙马中学初三其他）如图所示，，，，．则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
解：，，
.
故选A.
6．（2020·甘州区思源实验学校初一月考）如图，在平行线l1，l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1，l2上，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【答案】C
【解析】如图所示，
∵AD∥BE，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
又∵∠1＝55°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，
∴∠2＝180°﹣55°﹣60°﹣30°＝35°，
故选C．
7．（2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:3,则△ABC为(
)
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【答案】C
【解析】
∵在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∴x+2x+3x=180°，解得x=30°，
∴∠C=3x=90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：C．
考点4：与三角形的角平分线（内心）有关角度计算
典例：（2020·江苏省初一期中）如图，在△ABC和△ADE中，边AD与边BC交于点P（不与点B、C重合），点B、E在AD异侧，OA、OC分别是∠PAC和∠PCA的角平分线．
（1）当∠APC
=60°时，求∠AOC的度数；
（2）当AB⊥AC，AB=AD=4，AC=3，BC=5时，设AP=x，用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC，∠B=20°时，∠AOC的取值范围为α°<∠AOC
<β°，直接写出α、β的值．
【答案】（1）∠AOC的度数为120°；（2）PD=
，PD的最大值为；（3）α=100，β=145．
【解析】
解：在△APC中，∠PAC+∠PCA=180°-∠APC=120°
又∵OA、OC分别是∠PAC和∠PCA的角平分线
∴∠OAC+∠OCA=∠PAC+∠PCA=（∠PAC+∠PCA）=60°
∴在△OAC中，∠AOC=180°-60°=120°
（2）∵AD=AB=4，而PD=AD-AP=4-AP=4-x，
∴当AP⊥BC时，AP最小，PD最大，
此时，S△ABC=BC?AP=AB?AC，
即×5x=×4×3，
解得，x=，
∴PD=，PD的最大值为：4-=；
（3）如图，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
设∠BAP=y，则∠PAC=90°-y，∠PCA=70°，
∵OA、OC分别是∠PAC和∠PCA的角平分线，
∴∠OAC=∠PAC，∠OCA=∠PCA，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）
=180°-（∠PAC+∠PCA）
=180°-（90°-y+70°）
=y+100°，
∵0°＜y＜90°，
∴100°＜y+100°＜145°，
即100°＜∠AOC＜145°，
∴α=100，β=145．
方法或规律点拨
本题考查了垂线段最短的性质，三角形角平分线的有关推理计算，三角形的内角和定理等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用三角形的内角和定理等
巩固练习
1．（2018·安丘市职工子弟学校初一期中）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（
）
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
【答案】C
【解析】∠ABC=50°，∠ACB=80°，
BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，
∴∠BPC=115°．
故选C．
2．（2020·四川省初一期中）如图，△ABC中，，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵、分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠,∠ABC=2∠，
而∠=∠+∠，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠=，
∴∠=，
同理可得∠=2∠，
即∠A=∠=，
∴∠=，
∴∠A=∠，
∴∠=.
故答案为C.
3．（2019·河北省初一期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝155°，第一步：在△ABC的上方确定点A1，使∠A1BA＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACB；第二步：在△A1BC的上方确定点A2，使∠A2BA1＝∠A1BA，∠A2CA1＝∠A1CA；…，照此继续，最多能进行_____步．
【答案】6
【解析】
∵△ABC中，∠A=155°，
∴∠ABC+∠ACB=25°，
又∵∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，
∴∠A1BC+∠A1CB=50°，
∴△A1BC中，∠A1=180°-50°=130°；
∵25°+25°×6=175°＜180°，25°+25°×7=200°＞180°，
∴最多能进行6步，
故答案为：
6．
4．（2020·辽宁省初三一模）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=__________度．
【答案】90
【解析】
解：∵点P是△ABC的内心，
∴PB平分∠ABC，PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°，
故答案是：90°
5．（2020·偃师市实验中学初一月考）如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…依次类推，则∠A4=_______度．
【答案】4
【解析】
解：∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，
∴（∠A＋∠ABC）＝∠ABC＋∠A1，
∴∠A1＝∠A＝32°，
同理可得：∠A2＝∠A1＝16°，∠A3＝∠A2＝∠A
=8°…∠A4＝∠A3=4°
故答案为：4．
6．（2020·江苏省初一期中）如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．
【答案】115°．
【解析】
解；∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵∠B和∠C的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，
故答案为：115°．
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专题11.2
与三角形有关的角
典例体系
一、知识点
1、三角形的内角：三角形的内角和等于。
如图：
2、三角形的外角
（1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。＞或＞
二、考点点拨与训练
考点1：三角形内角和
典例：（2019·河北省初一期末）已知△ABC中，BE平分∠ABC，点P在射线BE上．
（1）如图1，若∠ABC＝40°，CP∥AB，求∠BPC的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝100°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC的度数；
（3）若∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，直线CP与△ABC的一条边垂直，画出相应图形并求∠BPC的度数．
方法或规律点拨
本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和等于180°，是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·隆昌市知行中学初三月考）如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC，若∠1＝35°，那么∠2等于（
）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
2．（2020·河北省初一月考）一个最小的锐角是50°，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
3．（2020·江阴市云亭中学初一月考）若△ABC内有一个点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，如图1，可构成3个互不重叠的小三角形；若△ABC内有两个点P1、P2，其它条件不变，如图2，可构成5个互不重叠的小三角形：……若△ABC内有n个点，其它条件不变，则构成若干个互不重叠的小三角形，这些小三角形的内角和为（
）
A．n·180°
B．（n+2）·180°
C．（2n-1）·180°
D．（2n+1）·180°
4．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（ ）
A．85°
B．75°
C．60°
D．30°
5．（2020·广东华侨中学初三其他）如图，直线AD∥BC，若∠1＝40°，∠BAC＝80°，则∠2的度数为（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
6．（2020·山东省初三一模）在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（
）
A．必有一个角等于
B．必有一个角等于
C．必有一个角等于
D．必有一个角等于
7．（2019·四川省南充市高坪中学初一期末）如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
考点2：三角形的外角及外角和
典例：（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）如图，已知OM⊥ON，垂足为O，点A、B分别是射线OM、ON上的一点（O点除外）．
（1）如图①，射线AC平分∠OAB，若BC所在的直线也平分以B为顶点的某一个角α（0°＜α＜180°），则∠ACB＝
；
（2）如图②，P为平面上一点（O点除外），∠APB＝90°，且OA≠AP，分别画∠OAP、∠OBP的平分线AD、BE，交BP、OA于点D、E，试判断AD与BE的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，随着P点在平面内运动，AD、BE的位置关系是否发生变化？请利用图③画图探究．如果不变，直接回答；如果变化，画出图形，写出AD、BE位置关系并说明理由．
方法或规律点拨
本题考查了平行线的性质和判定、角的平分线性质、三角形的内角和定理及推论，及特殊构图“8”字形对顶三角形有关角的关系的运用，熟练掌握角平分线的定义是关键．
巩固练习
1．（2020·广东省初三月考）如图，在一个三角形的纸片()中，
，将这个纸片沿直线剪去一个角后变成一个四边形，则图中的度数为(
)
A．180°
B．90
C．270°
D．315°
2．（2020·凌海市石山镇初级中学初一月考）如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO.若∠DOF＝139°，则∠C＝(
)
A．38°
B．39°
C．40°
D．41°
3．（2018·北京市第一六一中学初一期中）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=85°，则∠2的度数（
）
A．24°
B．25°
C．30°
D．35°
4．（2020·偃师市实验中学初一月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度.
5．（2020·巨野县高级中学初一月考）如图，在△ABC中，，是角平分线，交CD于点E，证明：
考点3：与直角三角形有关的角度计算
典例：（2020·四川省初一期中）如图，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，C为AE延长线上的一点，D为AB边上的一点，DC交BE于F，若∠ADC=80°，∠B=30°，求∠C的度数．
方法或规律点拨
此题考查的是三角形的内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·河北省初一月考）如图，在中，是边上的高，，分别是，的角平分线，，，则的度数为（
）
A．5°
B．10°
C．15°
D．20°
2．（2019·山西省初一月考）如图，在直角三角形中，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·安徽省初三其他）将两块三角板（分别含
和
角）按照如图所示摆放，使得斜边，且直角顶点重合，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（
）
A．∠A=2∠B=3∠C
B．∠A+∠B=2∠C
C．∠A=∠B=30°
D．∠A=∠B=∠C
5．（2020·洪洞县龙马乡龙马中学初三其他）如图所示，，，，．则（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·甘州区思源实验学校初一月考）如图，在平行线l1，l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1，l2上，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
7．（2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:3,则△ABC为(
)
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
考点4：与三角形的角平分线（内心）有关角度计算
典例：（2020·江苏省初一期中）如图，在△ABC和△ADE中，边AD与边BC交于点P（不与点B、C重合），点B、E在AD异侧，OA、OC分别是∠PAC和∠PCA的角平分线．
（1）当∠APC
=60°时，求∠AOC的度数；
（2）当AB⊥AC，AB=AD=4，AC=3，BC=5时，设AP=x，用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）当AB⊥AC，∠B=20°时，∠AOC的取值范围为α°<∠AOC
<β°，直接写出α、β的值．
方法或规律点拨
本题考查了垂线段最短的性质，三角形角平分线的有关推理计算，三角形的内角和定理等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用三角形的内角和定理等
巩固练习
1．（2018·安丘市职工子弟学校初一期中）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（
）
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
2．（2020·四川省初一期中）如图，△ABC中，，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为(
)．
A．
B．
C．
D．
3．（2019·河北省初一期末）如图，已知在△ABC中，∠A＝155°，第一步：在△ABC的上方确定点A1，使∠A1BA＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACB；第二步：在△A1BC的上方确定点A2，使∠A2BA1＝∠A1BA，∠A2CA1＝∠A1CA；…，照此继续，最多能进行_____步．
4．（2020·辽宁省初三一模）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=__________度．
5．（2020·偃师市实验中学初一月考）如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…依次类推，则∠A4=_______度．
6．（2020·江苏省初一期中）如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．
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