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专题11.3
多边形及其内角和
典例体系
一、知识点
1、边形的内角和=；
2、边形的外角和=。
3、一个边形的对角线有条，过边形一个顶点能作出条对角线，把边形分成了个三角形。
4、各角都相等、各边都相等的多边形叫做正多边形，边数为n的正多边形，也叫作正n边形.
5、多边形的镶嵌（密铺）问题.
二、考点点拨与训练
考点1：与多边形内角有关的计算
典例：（2020·安徽省初三三模）如图，在五边形中，的平分线相交于点，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
方法或规律点拨
本题考查了多边形的内角和，角平分线的性质，求出五边形内角和是解题关键．
巩固练习
1．（2020·福建省初三月考）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为
A．4
B．5
C．6
D．7
2．（2020·福建省初三二模）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（
）
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
3．（2020·偃师市实验中学初一月考）如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是
(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
4．（2020·江苏省初一月考）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
5．（2020·北京初三二模）如图，四边形中，过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为和，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·河南省初一期末）下列选项可能是多边形的内角和的是( )
A．580°
B．1240°
C．1080°
D．2010°
7．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）一个多边形的每个内角都是120°，这个多边形是(
)
A．四边形
B．六边形
C．八边形
D．十边形
8．（2020·江苏省初一月考）一个正多边形的每个内角度数均为135°，则它的边数为____．
考点2：与多边形外角有关的计算
典例：（2020·陕西省初二期末）如果一个多边形的内角和与外角和之比是
13：2，求这个多边形的边数．
方法或规律点拨
考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，多边形的外角和等于360度．
巩固练习
1．（2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中）一个多边形的内角和比外角和的倍多，则它的边数是（
）
A．八
B．九
C．十
D．十一
2．（2020·福建省初一期末）若多边形的边数增加一条，则它的外角和（
）
A．增加180°
B．不变
C．增加360°
D．减少180°
3．（2020·广东省初三一模）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是(
)
A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
4．（2020·江苏省初一月考）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（
）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
5．（2020·山东省济宁学院附属中学初三二模）正十边形的外角和为（
）
A．180°
B．360°
C．720°
D．1440°
6．（2020·重庆西南大学附中初三月考）一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（
）
A．540°
B．720°
C．900°
D．1080°
7．（2020·陕西省初三一模）已知一个多边形的内角和与外角和之比是3：2，则这个多边形的边数为____．
8．（2020·河南省初二期末）如图的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？(
)
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
考点3：正多边形的角度计算
典例：（2019·吉林省第二实验学校初三二模）如图，以正六边形的边为直角边作等腰直角三角形，使点在其内部，且，连接，则的大小是__________度．
方法或规律点拨
本题考查了多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，熟记多边形的内角和公式是解题方法或规律点拨
巩固练习
1．（2019·江苏省初一期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2018·内蒙古自治区初二期末）有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（ ）
A．144°
B．84°
C．74°
D．54°
3．（2020·广东省初三其他）如图，在正六边形ABCDEF的外侧，作正方形EFGH，则∠DFH的度数为____．
4．（2020·陕西省西北工业大学附属中学初三月考）如果一个正多边形的内角和等于，那么这个正多边形的每一个外角的度数为______．
5．（2020·上海初三二模）我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为__________
6．（2020·山东省初三一模）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．
7．（2020·江苏省泰兴市实验初级中学初一期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，点F在边AB上，∠AFE＝45°，则∠AEF与∠AED的度数的比值是_______．
8．（2020·常州市第二十四中学初一期中）一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s．
9．（2020·江西省石城二中初三其他）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于
______
度．
考点4：多边形对角线问题
典例：（2020·上蔡县思源实验学校初一月考）一个多边形的外角和是它内角和的，求：
（1）这个多边形的边数；
（2）这个多边形共有多少条对角线．
方法或规律点拨
本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．
巩固练习
1．（2020·全国初一）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（
）
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
2．（2020·全国初一）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
3．（2020·全国初一）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5
B．6
C．7
D．8
4．（2020·温州外国语学校初二月考）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（
）条
A．9条
B．10条
C．11条
D．12条
5．（2019·北京初三其他）若一个多边形从一个顶点出发的对角线共有3条，则这个多边形的内角和为（
）
A．360°
B．540°
C．720°
D．1080°
6．（2019·北京市第四十一中学初二期中）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．
A．6
B．5
C．8
D．7
7．（2019·重庆市凤鸣山中学初一期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（
）
A．104条
B．90条
C．77条
D．65条
考点5：多边形的镶嵌问题
典例：40．（2020·长春市第四十七中学初一期中）如图所示的图形中，能够用一个图形镶嵌整个平面的有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
方法或规律点拨
本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握几何图形镶嵌成整个平面的关键是解题的钥匙．
巩固练习
1．（2020·偃师市实验中学初一月考）用下列边长相同的正多边形组合，能够铺满地面不留缝隙的是（
）
A．正八边形和正三角形
B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形
D．正六边形和正五边形
2．（2019·山西省初一月考）用若干个某种正多边形瓷砖可以铺满地面，这种正多边形瓷砖不可能是（
）
A．B．C．
D．
3．（2020·哈尔滨市中实学校初一期中）能够铺满地面的正多边形组合是（
）
A．正六边形和正方形
B．正五边形和正八边形
C．正方形和正八边形
D．正三角形和正十边形
4．（2020·四川省初二期末）只用下列图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．正六角形
B．正五边形
C．正四边形
D．正三边形
5．（2019·雷州市第二中学初三一模）在下列四种边长均为的正多边形中，能与边长为的正三角形作平面镶嵌的正多边形有（
）
①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A．种
B．种
C．种
D．种
考点6：多边形的去（多）角问题
典例：（2019·江苏省初一期中）小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是_______．
方法或规律点拨
本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国初一）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
2．（2019·云南省初三二模）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得800°，这个多边形应该是（ ）
A．六边形
B．七边形
C．八边形
D．九边形
3．（2019·浙江省初二学业考试）一个四边形截去一个角后，形成新的多边形的内角和是（
）
A．180°
B．360°或540°
C．540°
D．180°或360°或540°
4．（2018·山西省初一期末）
若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为(??
)
A．90°
B．105°
C．130°
D．120°
5．（2020·偃师市实验中学初一月考）多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，这个多边形的边数是_____
6．（2019·山西省初一月考）如图，有一张正方形桌面，它的4个内角的和为360°，现在锯掉它的一个角，残余桌面所有的内角的和是_____________
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专题11.3
多边形及其内角和
典例体系
一、知识点
1、边形的内角和=；
2、边形的外角和=。
3、一个边形的对角线有条，过边形一个顶点能作出条对角线，把边形分成了个三角形。
4、各角都相等、各边都相等的多边形叫做正多边形，边数为n的正多边形，也叫作正n边形.
5、多边形的镶嵌（密铺）问题.
二、考点点拨与训练
考点1：与多边形内角有关的计算
典例：（2020·安徽省初三三模）如图，在五边形中，的平分线相交于点，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
∵五边形的内角和等于(5-2)×180°=540°，∠A+∠B+∠E=280°，
∴∠BCD+∠CDE=540°一280°=260°，
∵∠BCD，∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=(∠CDE+∠BCD)=130°，
∴∠P=180°-130°=50°，
故选：C．
方法或规律点拨
本题考查了多边形的内角和，角平分线的性质，求出五边形内角和是解题关键．
巩固练习
1．（2020·福建省初三月考）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】
设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.
2．（2020·福建省初三二模）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（
）
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
【答案】B
【解析】
根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为，因此，
由得n=5．故选B．
3．（2020·偃师市实验中学初一月考）如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是
(
)
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解析】
设多边形原有边数为x，
则(2x?2)×180=2160，
2x?2=12，解得x=7，
故本题选C.
4．（2020·江苏省初一月考）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解析】
∵一个多边形的每个内角都等于135°，
∴这个多边形的每个外角都等于180°-135°=45°，
∵多边形的外角和为360度，
∴这个多边形的边数为：360÷45=8，
故选D.
5．（2020·北京初三二模）如图，四边形中，过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为和，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
直线将四边形ABCD分成两部分，左边为四边形，其内角和为360°，右边为三角形，其内角和为180°，因此
故选：B．
6．（2019·河南省初一期末）下列选项可能是多边形的内角和的是( )
A．580°
B．1240°
C．1080°
D．2010°
【答案】C
【解析】
解：判断哪个度数可能是多边形的内角和，看它是否能被180°整除．
580÷180=3...40，
1240÷180=6...160，
1080÷180=6，
2010÷180=11...30，
只有1080°能被180°整除．
故选：C．
7．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）一个多边形的每个内角都是120°，这个多边形是(
)
A．四边形
B．六边形
C．八边形
D．十边形
【答案】B
【解析】
解：外角是180°-120°=60°，
360÷60=6，则这个多边形是六边形．
故选：B．
8．（2020·江苏省初一月考）一个正多边形的每个内角度数均为135°，则它的边数为____．
【答案】8
【解析】
设该正多边形的边数为n
由题意得：=135°
解得：n=8
故答案为8.
考点2：与多边形外角有关的计算
典例：（2020·陕西省初二期末）如果一个多边形的内角和与外角和之比是
13：2，求这个多边形的边数．
【答案】15.
【解析】
解：设这个多边形的边数为，依题意得：
，
解得，
这个多边形的边数为15．
方法或规律点拨
考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，多边形的外角和等于360度．
巩固练习
1．（2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中）一个多边形的内角和比外角和的倍多，则它的边数是（
）
A．八
B．九
C．十
D．十一
【答案】B
【解析】
根据题意，得：
（n-2）?180°=3×360°+180°，
解得：n=9，
则这个多边形的边数是9．
故选B．
2．（2020·福建省初一期末）若多边形的边数增加一条，则它的外角和（
）
A．增加180°
B．不变
C．增加360°
D．减少180°
【答案】B
【解析】
根据多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360?，与边数多少无关，
故选B.
3．（2020·广东省初三一模）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是(
)
A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
【答案】A
【解析】
这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故选A．
4．（2020·江苏省初一月考）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（
）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】B
【解析】
解：设多边形的边数为n．
根据题意得：（n-2）×180°=360°，
解得：n=4．
故选：B．
5．（2020·山东省济宁学院附属中学初三二模）正十边形的外角和为（
）
A．180°
B．360°
C．720°
D．1440°
【答案】B
【解析】
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选：B．
6．（2020·重庆西南大学附中初三月考）一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（
）
A．540°
B．720°
C．900°
D．1080°
【答案】D
【解析】
∵正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
∴这个正多边形是正八边形
∴该正多边形的内角和为：180°×（8-2）=1080°.
故答案选：D.
7．（2020·陕西省初三一模）已知一个多边形的内角和与外角和之比是3：2，则这个多边形的边数为____．
【答案】5
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，依题意得：
（n?2）180°＝×360°，
解得：n＝5．
故这个多边形的边数为5．
故答案为：5．
8．（2020·河南省初二期末）如图的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？(
)
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【答案】A
【解析】
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，
故答案为A.
考点3：正多边形的角度计算
典例：（2019·吉林省第二实验学校初三二模）如图，以正六边形的边为直角边作等腰直角三角形，使点在其内部，且，连接，则的大小是__________度．
【答案】45
【解析】
解：在正六边形ABCDEF中，
∵∠AFE=∠BAF=
∵∠BAG=90°，
∴∠FAG=120°-90°=30°，
又∵AF=AB=AG，
∴∠AFG=
∴∠EFG=∠AFE-∠AFG=120°-75°=45°，
故答案为：45．
方法或规律点拨
本题考查了多边形的内角与外角，等腰三角形的性质，熟记多边形的内角和公式是解题方法或规律点拨
巩固练习
1．（2019·江苏省初一期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
∵六边形的内角和为：，
∴六个阴影部分所对的圆心角的和为：720°，
∴阴影部分的面积相当于两个圆的面积之和，
∴阴影部分的面积为：2π×12=2π（）
故选B．
2．（2018·内蒙古自治区初二期末）有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（ ）
A．144°
B．84°
C．74°
D．54°
【答案】B
【解析】正五边形的内角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，故选B．
3．（2020·广东省初三其他）如图，在正六边形ABCDEF的外侧，作正方形EFGH，则∠DFH的度数为____．
【答案】75°
【解析】
观察图形可知，△EFH是等腰直角三角形，则∠EFH=45°，△DEF是等腰三角形，∵∠DEF=120°，
∴∠EFD=（180°﹣120°）÷2=30°，
∴∠DFH=45°+30°=75°．
4．（2020·陕西省西北工业大学附属中学初三月考）如果一个正多边形的内角和等于，那么这个正多边形的每一个外角的度数为______．
【答案】
【解析】正多边形的内角和等于
解得：
多边形的外角和为
，且正多边形的每一个外角均相等
这个正多边形的每一个外角的度数为
故答案是：
5．（2020·上海初三二模）我们把正多边形的一个内角与外角的比值叫做正多边形的内外比，内外比为3的正多边形的边数为__________
【答案】8
【解析】
设正多边形的边数为n，
∵内角和为，外角和为360°，
∴一个内角度数为，一个外角度数为，
∴=，
解得n=8，
经检验n=8是方程的解且符合题意，
故答案为：8.
6．（2020·山东省初三一模）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____．
【答案】140°．
【解析】
解：该正九边形内角和，
则每个内角的度数．
故答案为：140°．
7．（2020·江苏省泰兴市实验初级中学初一期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，点F在边AB上，∠AFE＝45°，则∠AEF与∠AED的度数的比值是_______．
【答案】1:4
【解析】
解：设∠AEF=x，
∵∠AFE＝45°，
∴∠A=180°－∠AFE－∠AEF=135°－x
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D=135°－x
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠AED=180°×（5－2）=540°
∴∠AED=540°－4（135°－x）=4x
∴∠AEF：∠AED=1:4
故答案为：1:4．
8．（2020·常州市第二十四中学初一期中）一机器人以0.3m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为__s．
【答案】160.
【解析】解：360÷45=8，
则所走的路程是：6×8=48m，
则所用时间是：48÷0.3=160s．
9．（2020·江西省石城二中初三其他）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于
______
度．
【答案】108
【解析】
∵五边形是正五边形，
∴每一个内角都是108°，
∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，
∴∠COD=36°，
∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
故答案为108
考点4：多边形对角线问题
典例：（2020·上蔡县思源实验学校初一月考）一个多边形的外角和是它内角和的，求：
（1）这个多边形的边数；
（2）这个多边形共有多少条对角线．
【答案】（1）边数为10；（2）35条
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
180(n-2)×=360，
解得：n=10，
答：这个多边形的边数为10；
（2）10×(10-3)÷2=35（条）．
方法或规律点拨
本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．
巩固练习
1．（2020·全国初一）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（
）
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
【答案】B
【解析】
n边形对角线条数为
∴A.
四边形有2条对角线，故错误；
B.
五边形有5条对角线，正确；
C.
六边形有9条对角线，故错误；
D.
七边形有14条对角线，故错误；
故选B.
2．（2020·全国初一）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
【答案】D
【解析】如图
，或者根据八边形内一点，和任意一边的两端点均可构成三角形，所以可求得三角形的个数为8.
故选：D．
3．（2020·全国初一）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解析】
如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．
故选：．
4．（2020·温州外国语学校初二月考）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（
）条
A．9条
B．10条
C．11条
D．12条
【答案】A
【解析】
解：从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线的条数是条．
故选：A．
5．（2019·北京初三其他）若一个多边形从一个顶点出发的对角线共有3条，则这个多边形的内角和为（
）
A．360°
B．540°
C．720°
D．1080°
【答案】C
【解析】
从一个顶点出发的对角线共有3条
这个多边形是一个六边形
则这个多边形的内角和为
故选：C．
6．（2019·北京市第四十一中学初二期中）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．
A．6
B．5
C．8
D．7
【答案】B
【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7-2=5个三角形．
故选B．
7．（2019·重庆市凤鸣山中学初一期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（
）
A．104条
B．90条
C．77条
D．65条
【答案】C
【解析】
解：，则正多边形的边数是11+2+1=14．
∴这个多边形的对角线共有条．
故选：C．
考点5：多边形的镶嵌问题
典例：40．（2020·长春市第四十七中学初一期中）如图所示的图形中，能够用一个图形镶嵌整个平面的有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
解：等腰三角形的内角和是180°，能被360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面；
四边形的内角和是360°，能被360°整除，放在同一顶点处能够用一种图形镶嵌整个平面；
正六边形的每个内角是120°，能被360°整除，能够用一种图形镶嵌整个平面；
正五边形的每个内角是108°，不能被360°整除，放在同一顶点处不能够用一种图形镶嵌整个平面；
圆不能够用一种图形镶嵌整个平面；
综上所述，能够用一种图形镶嵌整个平面的有3个．
故选：C．
方法或规律点拨
本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握几何图形镶嵌成整个平面的关键是解题的钥匙．
巩固练习
1．（2020·偃师市实验中学初一月考）用下列边长相同的正多边形组合，能够铺满地面不留缝隙的是（
）
A．正八边形和正三角形
B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形
D．正六边形和正五边形
【答案】C
【解析】A、正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角60°．135m+60n=360°，n=6-m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
C、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．∵2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360度，能铺满；
D、正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满．
故选C．
2．（2019·山西省初一月考）用若干个某种正多边形瓷砖可以铺满地面，这种正多边形瓷砖不可能是（
）
A．B．C．
D．
【答案】D
【解析】
A.正三角形，其单个内角为60°，360°60°=6，A选项满足条件；
B.正方形，其单个内角为90°，360°90°=4，B选项满足条件；
C.正六边形，其单个内角为120°，360°120°=3，C选项满足条件；
D.正八边形，其单个内角为135°，360°135°，D选项不满足条件．
故选：D．
3．（2020·哈尔滨市中实学校初一期中）能够铺满地面的正多边形组合是（
）
A．正六边形和正方形
B．正五边形和正八边形
C．正方形和正八边形
D．正三角形和正十边形
【答案】C
【解析】
A、正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
B、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形每个内角为135度，135m+108n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
C、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；
D、正三角形每个内角为60度，正十边形每个内角为144度，60m+144n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选C．
4．（2020·四川省初二期末）只用下列图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．正六角形
B．正五边形
C．正四边形
D．正三边形
【答案】B
【解析】
解：A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
B、正五边形每个内角是108°，不能整除360°，不能密铺；
C、正四边形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺；
D、正三边形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．
故选：B．
5．（2019·雷州市第二中学初三一模）在下列四种边长均为的正多边形中，能与边长为的正三角形作平面镶嵌的正多边形有（
）
①正方形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A．种
B．种
C．种
D．种
【答案】C
【解析】
解：正三角形的一个内角度数为，
①正方形的一个内角度数为，，那么3个正三角形和2个正方形可作平面镶嵌；
②正五边形的一个内角度数为，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；
③正六边形的一个内角度数为，或，可作平面镶嵌；
④正八边形的一个内角度数为，任意若干个都不能和正三角形组成平面镶嵌；
能镶嵌的只有2种正多边形．故选．
考点6：多边形的去（多）角问题
典例：（2019·江苏省初一期中）小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一个内角，得到的内角之和是1380度，则这个多边形的边数n的值是_______．
【答案】9
【解析】
设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则
（n-2）?180°=1380°-α，
∵1380°=7×180°+120°，内角和应是180°的倍数，
∴n-2=7，n=9；
故答案为：9.
方法或规律点拨
本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·全国初一）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
【答案】A
【解析】
当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
2．（2019·云南省初三二模）小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得800°，这个多边形应该是（ ）
A．六边形
B．七边形
C．八边形
D．九边形
【答案】B
【解析】
解：设多边形的边数是n．
依题意有（n﹣2）?180°≥800°，
解得：n≥6，
则多边形的边数n＝7；
故选：B．
3．（2019·浙江省初二学业考试）一个四边形截去一个角后，形成新的多边形的内角和是（
）
A．180°
B．360°或540°
C．540°
D．180°或360°或540°
【答案】D
【解析】
解：∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，
∴内角和可能是180°，或(4-2)
×180°=540°，或(5-2)
×180°=540°．
故选：D．
4．（2018·山西省初一期末）
若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为(??
)
A．90°
B．105°
C．130°
D．120°
【答案】C
【解析】
解：∵2570°÷180°=14…50°，
又130°+50°=180°
∴这个内角度数为130°
故选C
5．（2020·偃师市实验中学初一月考）多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，这个多边形的边数是_____
【答案】5
【解析】
解：设边数为n，一个外角为α，
则（n－2）×180°＋α＝600°，
∴n＝＋2，
∵0°＜α＜180°，n为正整数，
∴当α＝60°时，为正整数，
此时n＝5，内角和为（n－2）×180?＝540°．
故多边形的边数为5．
6．（2019·山西省初一月考）如图，有一张正方形桌面，它的4个内角的和为360°，现在锯掉它的一个角，残余桌面所有的内角的和是_____________
【答案】540°
【解析】
解：由题意得，残余桌面为五边形，
∴残余桌面所有的内角的和为（5-3）×180°=540°
故答案为：540°．
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