(共21张PPT)
22.1
二次函数的图象和性质
第二十二章
二次函数
第1课时
二次函数
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次函数的定义
二次函数的一般形式
二次函数自变量的取值范围
课时导入
我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？
回顾旧知
一次函数
y＝kx＋b(k≠0)
正比例函数
y＝kx
(k≠0)
反比例函数
一条直线
双曲线
课时导入
导入新知
正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y.
显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为
y＝6x2.
课时导入
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变
量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学
习的二次函数．
知识点
二次函数的定义
知1－讲
感悟新知
1
问题1
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
比赛的场次数
m＝
n(n－1)，
即m＝
n2－
n.
知1－讲
感悟新知
问题2
某种产品现在的年产量是20
t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
两年后的产量
y＝20(1＋x)2，
即y＝20x2＋40x＋20.
知1－讲
感悟新知
思考：函数y=6x2，m＝
n2－
n,
y＝20x2＋40x＋20有什么共同点？
1、函数解析式是整式；
2、化简后自变量的最高次数是2；
3、二次项系数不为0.
可以发现
知1－讲
感悟新知
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变
量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、
一次项系数和常数项．
定义
详解
二次函数的特殊形式：
1.
只含二次项，即：y=ax2(b=0，c=0)；
2.
不含一次项，即：y
=
ax2+
c
(b
=
0，c≠0)；
3.
不含常数项，即：y=ax2+bx(b
≠
0，c=0).
感悟新知
知1－练
例
1
当m
取何值时，函数y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-5）x+m2
是关于x
的二次函数？并求出这时二次函数的解析式.
感悟新知
知1－练
解：
由题意，得
∴
m=3.
∴当m=3
时，该函数是二次函数，解析式为：
y=（32+3）x32-2×3-1+（3-5）x+32，
即y=12x2-2x+9.
知1－练
感悟新知
下列函数关系式中，一定为二次函数的是( )
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋
下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A．y＝ax2＋bx＋c
B．x2＋y－2＝0
C．y2－ax＝2
D．x2－y2＋1＝0
1
2
C
B
知识点
建立二次函数模型表示变量间的关系
知2－练
感悟新知
2
某网店销售某款童装，每件售价60
元，每星期可卖300件.
为了促销，该网店决定降价销售.
市场调查反映，每降价1
元，每星期可多卖30
件.
已知该款童装每件的成本价为40
元，设该款童装每件的售价
为x
元，每星期的销售量为y
件.
(1)求y
与x
之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)设每星期的销售利润为W
元，求W
与x
之间的函数关
系式.
例2
知2－练
感悟新知
方法点拨：在实际问题中建立二次函数模型时，关键要找出两个变量之间的数量关系，用类似建立一元二次方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的关系式.
解：(1)
y=300+30
(
60-x
)
=-30x+2
100
(
40
≤
x
≤
60
).
(
2
)
W=
(
x-40
)
(
-30x+2
100
)
=-30x2+3
300x-84
000.
知2－讲
总
结
感悟新知
建立二次函数模型的一般步骤：
(1)审清题意：找出问题中的已知量（常量）和未知量（变量），把问题中的文字或图形语言转化成数学语言.
(2)找相等关系：分析常量和变量之间的关系，列出等式.
知2－讲
总
结
感悟新知
(3)列二次函数解析式：设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示并把它整理成二次函数的一般形式.
知2－讲
总
结
感悟新知
特别提醒
1.建立二次函数模型与建立一元二次方程模型类似，
不同的是需将它转化为用含一个未知数(自变量)的代数式表示另一个未知数(
函数).
2.自变量的取值范围应使实际问题有意义.
感悟新知
知2－练
关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )
A．y是x的二次函数
B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20
000
C
课堂小结
二次函数
二次函数的定义要理解三点：
(1)函数关系式必须是整式，自变量的取值是全体
实数；而在实际应用中，自变量的取值必须符
合实际意义．
课堂小结
二次函数
(2)确定二次函数的各项系数及常数项时，要把函
数关系式化为一般形式．
(3)二次项系数不为0.
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共23张PPT)
22.1
二次函数的图象和性质
第二十二章
二次函数
第6课时
二次函数y=ax2+bx+c
的图象和性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系
课时导入
回顾旧知
y＝ax2
y＝a(x－h)2
＋k
上正下负
左加右减
一般地，二次函数y＝a(x－h)2
＋k与y＝ax2的________相同，_______不同.
形状
位置
课时导入
请说出抛物线y=ax?+k，
y=a（x-h）?，y=a（x-h）?+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
你知道二次函数y=
x?
-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？
问
题（一）
问
题（二）
知识点
二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系
知1－讲
感悟新知
1
探究：
如何画出y＝
x2－6x＋21的图象呢？
我们知道，像y＝a(x－h)2
＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y＝
x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？
知1－讲
感悟新知
y＝
x2－6x＋21
配
方
y＝
(x－6)2＋3.
你知道是怎样配方的吗？
3.“化”：化成顶点式.
y＝
(x2－12x)＋21
y＝
(x2－12x＋36－36)＋21
y＝
(x－6)
2＋21－18
y＝
(x－6)
2＋3
1.
“提”：提出
二次项系数；
2.“配”：括
号内配成完全
平方式；
知1－讲
感悟新知
求二次函数y=ax2＋bx＋c的顶点式？
配方：
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简：去掉中括号
知1－讲
感悟新知
所以y=ax2＋bx＋c的对称轴是：
顶点坐标是：
知1－练
感悟新知
例
1
把对于抛物线y=x2-4x+3.
（1）将抛物线的解析式化为顶点式.
（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线.
解：（1）∵
y=x2-4x+3=（x2-4x+4）-4+3=（x-2）2-1，
∴顶点式为y=（x-2）2-1.
（2）列表：
函数图象如图
知1－练
感悟新知
思考：抛物线y=2x2－5x＋3与抛物线y=2x2
有怎样的关系？
二次函数y=2x2－5x＋3化为顶点式后为
因此抛物线y=2x2－5x＋3
可以由抛物线y=2x2向右平移
个单位，再向下平移
个单位得到.
知1－练
感悟新知
1
将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度，
再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的
解析式为( )
A．y＝(x－1)2＋4
B．y＝(x－4)2＋4
C．y＝(x＋2)2＋6
D．y＝(x－4)2＋6
B
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知2－讲
感悟新知
2
思考：1.你能画出
的图象吗？
2.如何直接画出
的图象？
3.观察图象，二次函数
的性质是什么？
知2－讲
感悟新知
如果直接画二次函数y＝
x2－6x＋21的图象，可按如下步骤进行．
由配方的结果可知，抛物线y＝
x2－6x＋21的顶点是(6，3)，对称轴是x＝6.
先利用图象的对称性列表：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y＝
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
…
知2－讲
感悟新知
然后描点画图，得到y＝
的图象(如图)．
从图中二次函数y＝
x2－6x＋21的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大．
知2－讲
感悟新知
活学巧记
曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，顶点纵标是最值，
如果要画抛物线，描点平移两条路.
提取配方定顶点，平移描点皆成图.
列表描点后连线，五点大致定全图.
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小都不变.
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系
知3－讲
感悟新知
3
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0（a，b同号）
对称轴在y轴左侧
ab＜0（a，b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
知3－练
感悟新知
例2
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那
么abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中，
值为正数的有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D.
0个
导引：∵抛物线的开口向上，∴a＞0.
∵对称轴x＝
＞0，∴b＜0.
又∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∴abc＞0.∵x＝
＞1，∴－b＞2a，即2a＋b＜0.
∵当x＝1时，抛物线上对应的点在x轴的下方，
∴y＝a＋b＋c＜0.综上所述，abc，2a＋b，a＋b＋c这
3个代数式中，值为正数的只有abc.
C
知3－讲
总
结
感悟新知
二次函数y＝ax2＋bx＋c的各项系数的符号与图象位置间的
关系：
(1)a决定抛物线的开口方向，简记为“正上负下”；
(2)c决定抛物线与y轴的交点位置，简记为“上正下负原点0”；
(3)a、b的符号共同决定对称轴x＝
的位置，简记为：
“左同右异y轴0”；可以由各项系数的符号来决定图象
的位置，也可以由图象的位置来判断各项系数的符号．
感悟新知
知3－讲
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则
下列结论正确的是( )
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0
B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0
C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0
D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
D
课堂小结
二次函数
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
图象
极值
性质
顶点坐标
课堂小结
二次函数
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质：
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
(1)开口方向
向上
向下
(2)顶点坐标
(3)对称轴
直线x＝
直线x＝
课堂小结
二次函数
(4)增减性
当x＜
时，y随x的增大而减小；当x＞
时，
y随x的增大而增大
当x＜
时，y随x的增大而增大；当x＞
时，
y随x的增大而减小
(5)最值
当x＝
时，y有最小值，为
当x＝
时，y有最大值，为
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共21张PPT)
22.1
二次函数的图象和性质
第二十二章
二次函数
第2课时
二次函数y=ax2的
图象和性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
抛物线y=ax2
的画法
抛物线y=ax2
的开口方向
抛物线y=ax2
的对称轴
y=ax2
的增减性
课时导入
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
主要工具是函数的图象
回顾旧知
课时导入
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质，像研究一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图象和性质．结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法．
知识点
二次函数y=ax2的图象
知1－讲
感悟新知
1
1.
抛物线：
二次函数y=ax2+bx+c
的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y=ax2+bx+c.
抛物线的顶点：
抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.
知1－讲
感悟新知
2.
用描点法画函数y=ax2（a
≠
0）的图象的一般步骤
(1)列表：
列表时，自变量x
的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图象情况.
作图选点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以计算简单、描点方便为原则.
知1－讲
感悟新知
(2)描点：
一般来说，点取得越多、越密集，画出的图象就越准确.
实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5
个点，用“五点法”快速准确地作出函数图象，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.
(3)连线：
按自变量由小到大（或由大到小）的顺序，依次用平滑的曲线连接各点.
知1－讲
感悟新知
特别提醒
用描点法可以画出任意一个二次函数的图象.用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近
似的.在画二次函数图象时，画的线必须平滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，图象越精确，
但也要具体问题具体分析.
抛物线是向两方无限延伸的，画图时要画“出头”，左右两侧必须保持关于对称轴对称.
感悟新知
知1－练
例
1
在在同一平面直角坐标系中作出y=
x2，y=
-
x2
和y=
x2的图象.
感悟新知
知1－练
描点、连线
，即得三个函数的图象，如图
知1－练
感悟新知
关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
1
C
知识点
二次函数y=ax2的性质
知2－讲
感悟新知
2
二次函数y
＝
ax2（a
≠
0）的图象与性质
知2－练
感悟新知
例2
如图，
四个二次函数的图象分别对应①
y=ax2；
②
y=bx2；③
y=cx2；④
y=dx2，且①与③，②与④分别关于x
轴对称.
(1)比较a，b，c，d
的大小；
(2)说明a
与c，b
与d
的数量关系.
感悟新知
知2－练
解：(1)由抛物线的开口方向，知a
＞
0，b
＞
0，c
＜
0，d
＜
0，由抛物线的开口大小，知|a|
＞
|b|，|c|
＞
|d|，因此a
＞
b，c
＜
d.∴
a
＞
b
＞
d
＞
c.
(2)∵①与③，②与④分别关于x
轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反.
∴
a+c=0，b+d=0.
[
易错题]
已知函数y=（m+2）xm2+m-4
是关于x
的二次函数.
(1)求满足条件的m
的值.
(2)当m
为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当x
为何值时，y
随x
的增大而增大？
(3)当m
为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y
随x
的增大而减小？
感悟新知
知2－练
例
3
感悟新知
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)若函数有最大值，则抛物线的开口向下，
∴
m+2<0，即m<-2.
∴
m=-3.
∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，顶点坐标为（0，0），
∴当m=-3
时，函数有最大值0.
当x>0
时，y
随x
的增大而减小.
感悟新知
知2－练
【2019?益阳】下列函数中，y总随x增大而减小的是( )
A．y＝4x
B．y＝－4x
C．y＝x－4
D．y＝x2
B
感悟新知
知2－练
【中考?连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1＞0＞y2
B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
C
课堂小结
二次函数
1.
画函数图象的步骤有哪些？
2.
二次函数y=ax2的图象有哪些性质？
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共21张PPT)
22.1
二次函数的图象和性质
第二十二章
二次函数
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象
和性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次函数的顶点式
二次函数的一般式
待定系数法
课时导入
二次函数
y＝ax2，y＝ax2＋k
有何位置关系？
回顾旧知
二次函数
y＝ax2向上平移k(k＞0)个单位就得到二
次函数y＝ax2＋k
的图象是什么？
二次函数
y＝ax2向下平移k(k＞0)个单位就得到二
次函数y＝ax2－k
的图象是什么？
y＝ax2与y＝ax2＋k
的性质呢？
课时导入
前面我们学习了y＝ax2，y＝ax2＋k型二次函数的图象和性质，今天我们将学习另一种类型的二次函数的图象和性质.
知识点
二次函数y=a（x-h）2的图象
知1－练
感悟新知
1
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝－
(x
＋1)2，y＝－
(x－1)2的图象，并分别指出它
们的开口方向、对称轴和顶点．
解：先分别列表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y＝－
(x＋1)2
…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
例
1
知1－练
感悟新知
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y＝－
(x-1)2
…
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
…
然后描点画图，得y＝－
(x＋1)2，y＝－
(x－1)2的图象(如图)．
知1－练
感悟新知
可以看出，抛物线y＝－
(x＋1)2的开口向下，对称轴是经过点(－1，0)且与x轴垂直的直线，把它记作x＝－1，顶点是(－1，0)；抛物线y＝－
(x－1)2的开口向下，对称轴是x＝1，顶点是(1，0)．
知1－讲
归
纳
感悟新知
二次函数y=a（x-h）2
的图象与二次函数y=ax2
的图象
的关系
它们的形状（开口大小、方向）相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a（x-h）2
的图象可由二次函数y=ax2
的图象左右平移|h|
个单位长度得到.
知1－练
感悟新知
1
抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线
x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
B
A
知识点
二次函数y=a（x-h）2的性质
知2－讲
感悟新知
2
观察二次函数y＝－
(x＋1)2与y＝－
(x－1)2的图象，在对称轴的左侧，y随x的增大怎样变化？在右侧呢？由此你能得出二次函数y＝a(x－h)2有怎样的代数性质？
知2－讲
归
纳
感悟新知
二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质：
感悟新知
知2－练
1
已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，
B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论
成立的是( )
A．y1＜y2＜0
B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1
D．y2＜y1＜0
A
知识点
二次函数y=a（x-h）2与y=ax2的平移关系
知3－讲
感悟新知
3
问
题（一）
前面已画出了抛物线y=－
(x+1)2，y=－
(x－1)2，在此坐标系中画出抛物线y=－
x2
(见图中虚线部分),
观察抛物线y=－
(x+1)2，y=－
(x－1)2与抛物线y=－
x2有什么关系？
感悟新知
知3－讲
把抛物线y＝－
x2向左平移1个单位长度，就
得到抛物线y＝－
(x＋1)2；
把抛物线y＝－
x2向右平移1个单位长度，就
得到抛物线y＝－
(x－1)2.
知3－练
感悟新知
例2
二次已知抛物线y=a（x-h）2+k
是由抛物线y=-
x2
向上平移2
个单位长度，再向右平移1
个单位长度得到的.
（1）求出a，h，k
的值；
（2）在同一直角坐标系中，画出y=a（x-h）2+k
与y=-
x2
的图象；
知3－练
感悟新知
（3）观察y=a（x-h）2+k
的图象，当x
_______时，y
随x
的增大而增大；当x_______
时，函数有最
______值，最_______值是_______
；
（4）观察y=a（x-h）2+k
的图象，你能说出对于一切x
的值，y的取值范围吗？
知3－练
感悟新知
解：（1）
∵
抛物线y=-
x2向上平移2
个单位长度，再向右平移1
个单位长度后得到的抛物线是y=-
（x-1）2+2，∴
a=-
，h=1，k=2.
（2）函数y=-
（x-1）2+2
与y=-
x2
的图象如图.
（3）<1；=1；大；大；2
（4）由图象知，对于一切x
的值，总有y
≤
2.
知3－练
感悟新知
把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则
这个平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
A
课堂小结
二次函数
二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
y＝ax2
向右平移h个单位(h＞0)
向左平移h个单位(h＞0)
y＝a(x－h)2
y＝a(x＋h)2
课堂小结
二次函数
y＝a(x－h)2图象
a＞0时，开口向上，最低点是顶点；
a＜0时，开口向下，最高点是顶点；
对称轴是直线x＝h，
顶点坐标是(h，0).
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共43张PPT)
22.1
二次函数的图象和性质
第二十二章
二次函数
第3课时
二次函数y=a（x-h）2+k
型的图象和性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
y=ax2+k的图象
y=a（x-h）2
的图象
y=a（x-h）2+k
的图象
课时导入
前面我们已经学习了二次函数
y=ax2
的图象和性质，同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、最值、以及增减性吗?
今天我们将学习只有二次项和常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质.
知识点
二次函数y=ax2+k的图象
知1－讲
感悟新知
1
二次函数y=ax2+k
的图象与二次函数y=ax2
的图象的关系
它们的形状（开口大小、方向）相同，只是上、下位置不同，二次函数y=ax2+k
的图象可由二次函数y=ax2
的图象上下平移|k|
个单位长度得到.
知1－讲
感悟新知
要点提醒
a决定抛物线的开口方向和开口大小，所以y
=
a
x
2(a
≠
0)
与y=ax2+k(a≠0)的图象开口方向和开口大小相同，只是位置不同.
知1－讲
感悟新知
平移规律口诀
上加下减，纵变横不变，“上加下减”表示抛物线的位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k
是由抛物线
y=ax2
上下平移｜
k
｜个单位长度得到的，“上加”表
示当k
为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，
向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
知1－讲
感悟新知
2.
二次函数y=ax2+k
的图象
知1－讲
感悟新知
3.
二次函数y=ax2+k
的图象的画法
(1)描点法：类比作二次函数y=ax2
图象的描点法，即按列表→描点→连线的顺序作图.
(2)平移法：将二次函数y=ax2
的图象，向上（k
＞
0）或向下（k
＜0）平移|k|
个单位长度，即可得二次函数y=ax2+k
的图象.
感悟新知
知1－练
例
1
画出函数y=-x2+1
与y=-x2-1
的图象，并根据图象回答下列问题.
(1)抛物线y=-x2+1
经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2-1
？
(2)对于函数y=
-x2+1，其图象与x轴的公共点的坐标是_________
；对称轴是
_________；
顶
点
坐
标
是__________
.
知1－讲
感悟新知
列表如下：
解：
感悟新知
知1－讲
描点、连线，即得这两个函数的图象，如图
感悟新知
知1－讲
(1)由图象可以看出，抛物线y=-x2+1
向下平移2
个单位长度得到抛物线y=-x2-1.
(2)(-1，0)，(1，0)；y
轴；(0，1)
知1－练
感悟新知
抛物线y＝2x2－3的顶点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．x
轴上
D．
y
轴上
D
知识点
二次函数y=ax2+k的性质
知2－讲
感悟新知
2
思考：
观察二次函数y＝2x2－1与y＝2x2+1的图象，当x＜0时，y随x的增大怎样变化？当x＞0呢？
由此你能得到二次函数y=ax2+k有怎样的代数性质？
知2－讲
归
纳
感悟新知
代数性质：
(1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有
最大值k；
(2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当
x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0
时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增
大而减小.
知2－练
感悟新知
例2
已知二次函数y=3x2+k的图象上有A(
，y1)，
B(2，y2)，C(
，y3)三点，则y1，y2，y3
的大小关系是(
)
A.
y1>y2>y3
B.
y2>y1>y3
C.
y3>y1>y2
D.
y3>y2>y1
D
感悟新知
知2－练
因为a=3>0，所以图象开口向上，因为对称轴为y轴，所以当x>0时，y随x的增大而增大，因为x1=
>0，x2=2>0，x1所以点C(
，y3)到对称轴的距离大于点B(2，y2)到对称轴的距离，所以y2y2>y1.
导引：
知2－讲
归
纳
感悟新知
解答此类题有两种思路，
思路一：将三点的横坐标分别代入函数解析式，求出对应的y1，y2，y3的值，再比较大小，但这样计算比较困难，显然不是最佳的方案；
思路二：根据二次函数图象的特征来比较，利用增减性以及点在抛物线上的大致位置，关键是这些点与对称轴的位置关系来确定y1，y2，y3的大小，显然这种方法比较简单．
感悟新知
知2－讲
观察例1中抛物线y=2x2+1，抛物线y=2x2-1与抛物线y=2x2，它们之间有什么关系？
问
题（一）
感悟新知
知2－讲
这三条抛物线的开口方向，
开口大小都相同，对称轴都是y轴，把抛物线y＝2x2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2＋1；把抛物线y＝2x2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2－1.
知2－讲
归
纳
感悟新知
这三条抛物线的开口方向，开口大小都相同，对称轴都是y轴，把抛物线y＝2x2向上平移1个单位
长度，就得到抛物线y＝2x2＋1；把抛物线y＝2x2
向下平移1个单位长度，就得到抛物线y＝2x2－1.
知2－讲
感悟新知
(1)一般地，抛物线y=ax2+k与y=ax2形状相同，位置不
同；
(2)抛物线y=ax2+k可由抛物线y=ax2平移
个单位长
度得到(当k>0时，向上平移；当k<0时，向下平移)；
(3)抛物线y=ax2+k有如下特点：当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下，对称轴是y轴，顶点为(0，k).
感悟新知
知2－练
对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )
A．最小值为2
B．图象与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图象的对称轴是y轴
C
感悟新知
知2－练
2
抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2
( )得
到的．
A．向上平移2个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
C
知识点
二次函数y=a（x-h）2
的图象
知2－讲
感悟新知
2
1.
二次函数y=a（x-h）2
的图象与二次函数y=ax2
的图象的关系
它们的形状（开口大小、方向）相同，只是左、右位置不同，二次函数y=a（x-h）2
的图象可由二次函数y=ax2
的图象左右平移|h|
个单位长度得到.
知2－讲
感悟新知
2.
二次函数y=a（x-h）2
的图象
知2－讲
感悟新知
方法点拨
平移规律：左加右减，横变纵不变.
1“.左加”表示当h<0时，函数y=a(x-h)2可变形为y=a(x+|h|)2，其图象可以由函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度得到.
2.“右减”表示当h>0时，函数y=a(x-h)2的图象可以由函数y=ax2的图象向右平移h个单位长度得到.
3“横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线平移时对应点的横坐标改变而纵坐标不变.
感悟新知
知2－练
画出在平面直角坐标系中，函数y=-x-1
与y
=-
（x-1）2的图象大致是图中的（
）
例2
感悟新知
知2－练
∵
k=-1<0，b=-1<0，∴
y=-x-1
的图象过第二、三、四象限.又∵
a=-
<0，h=1，∴
y=-
（x-1）2
的图象开口向下，顶点为（1，0）.
∴同时符合条件的图象只有A
解：
答案：A
知识点
二次函数y=a（x-h）2+k
的图象和性质
知3－讲
感悟新知
3
1.
二次函数y=a（x-h）2+k
的图象与二次函数y=ax2
的图象的关系
它们的形状（开口大小、方向）相同，只是位置不同；二次函数y=a（x-h）2+k
的图象可由二次函数y=ax2
的图象平移得到，即先将二次函数y=ax2
的图象左右平移|h|
个单位长度得到二次函数y=a（x-h）2
的图象，再将二次函数y=a（x-h）2
的图象上下平移|k|
个单位长度得到二次函数y=a（x-h）2+k
的图象.
知3－讲
感悟新知
2.
二次函数y=a（x-h）2+k
的图象和性质
画对于抛物线y=-（x+1）2+3，下列结论：
①
抛物线的开口向下；
②
对称轴为直线x=1；
③
顶点坐标为（-1，3）；
④
x>1
时，y
随x
的增大而减小.
其中正确结论有（
）
A.
1
个
B.
2
个
C.
3
个
D.
4
个
感悟新知
知3－练
例
3
感悟新知
知3－练
①∵
a=-1<0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=-1，错误；
③顶点坐标为（-1，3），正确；
④
x>1
时，y
随x
的增大而减小，正确.
综上所述，结论正确的是①③④，共3
个，故选C.
解：
答案：C
知识点
二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a（x
-h）2，y=a（x-h）2+k之间的关系
知4－讲
感悟新知
4
1.
位置关系
知4－讲
感悟新知
2.
图象和性质关系
知4－讲
感悟新知
特别解读
1.抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(xh)2+k中a的值相等，所以这四条抛物线的形状、大小完全一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2.抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，所不同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自变量，上加下减常数项.
感悟新知
知4－练
已知抛物线y=a（x-h）2+k
是由抛物线y=-
x2
向上平移2
个单位长度，再向右平移1
个单位长度得到的.
（1）求出a，h，k
的值；
（2）在同一直角坐标系中，画出y=a（x-h）2+k
与y=-
x2
的图象；
例4
感悟新知
知4－练
（3）观察y=a（x-h）2+k
的图象，当x___
时，y
随x
的增大而增大；当x
_____时，函数有最
_____值，最_______值是
_______；
（4）观察y=a（x-h）2+k
的图象，你能说出对于切x
的值，y的取值范围吗？
感悟新知
知4－练
（1）
∵
抛物线y=-
x2向上平移2
个单位长度，再向右平移1
个单位长度后得到的抛物线是y=-
（x-1）2+2，∴
a=-
，h=1，k=2.
（2）函数y=-
（x-1）2+2
与y=-
x2
的
图象如图.
（3）<1；=1；大；大；2
（4）由图象知，对于一切x
的值，总有y
≤
2.
解：
感悟新知
知4－练
1
抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2
( )得
到的．
A．向上平移2个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
C
课堂小结
二次函数
二次函数y=ax2+k的图象与性质：
二次函数解析式
a的符号
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
y＝ax2＋k
a＞0
向上
y轴
(0,
k)
当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＝0时，
y最小值＝k
课堂小结
二次函数
y＝ax2＋k
a＜0
向下
y轴
(0,
k)
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
当x＝0时，
y最大值＝k
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共26张PPT)
22.1
二次函数的图象和性质
第二十二章
二次函数
第5课时
二次函数y=a(x-h)2+k
的图象和性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次函数y=a(x-h)2+k的图象
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2图象的平移关系
课时导入
回顾旧知
y＝ax2
k＞0
上移
y＝ax2＋k
y＝ax2
y＝a(x－h)2
k＜0
下移
顶点在y轴上
左加
右减
顶点在x轴上
问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢?
知识点
二次函数y=a（x-h）2+k的图象
知1－讲
感悟新知
1
通过观察抛物线y=-
(x+1)2
-1,你能得出抛物
线y=a(x-h)2+k有怎样的几何性质?
知1－讲
归
纳
感悟新知
抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：
(1)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．
(2)对称轴是x＝h.
(3)顶点是(h，k)．
知1－练
感悟新知
例
1
对于抛物线
y=－(x+1)2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1；
③顶点坐标为(-1,
3)，
④x＞1时，y
随
x
的增大而减小
.
其中正确结论有(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
C
导引：
紧扣二次函数
y
=
a
(
x－h)2＋k
的图象和性质
逐一判断.
知1－练
感悟新知
解：
①∵a=－1＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线
x=－1，错误；
③顶点坐标为(-1,
3)，正确；
④x＞1时，y
随
x
的增大而减小
，正确.
综上所述，结论正确的是①
③
④，共3个，故
选C.
知1－讲
总
结
感悟新知
解
答
抛
物
线
y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性规律等问题，首先必须弄清顶点式
y=a(x-h)2+k
中a、h、k与开口方向、对称轴、顶点坐标、最值间的关系，比较题中给出的相关数据与a、
h、k
间的关系，再结合相关知识按题目要求解答.
知1－练
感悟新知
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一
根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛
物线形水柱在与池中心的水平距离为1
m处达到最
高，高度为3
m，水柱落地处离池中心3
m，水管
应多长？
如图，以水管与地面交点为原
点，原点与水柱落地处所在直
线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．
解：
例2
知1－练
感悟新知
点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这
段抛物线对应的函数解析式是
y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)．
由这段抛物线经过点(3，0)，可得
0＝a(3－1)2＋3，
解得a＝－
因此y＝－
(x－1)2＋3(0≤x≤3)．
当x＝0时，y＝2.25，也就是说，水管应2.25
m长．
知1－练
感悟新知
1
抛物线
y＝(
x－1
)2＋3图象的顶点坐标是( )
A．(1，3)
B．(1，－3)
C．(－1，3)
D．(－1，－3)
A
知识点
二次函数y=a(
x-h)2+k的性质
知2－讲
感悟新知
2
通过观察抛物线y=-
(x+1)2
-1,你能得出二次函数y=a(x-h)2+k有怎样的代数性质？
知2－讲
归
纳
感悟新知
y=a(x-h)2+k的代数性质：
(1)
当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有最
大值k.
(2)
如果a>0，当xh
时，y随x的增大而增大；
如果a<0，当xh
时，y
随x的增大而减小．
感悟新知
知2－练
对于抛物线y=-（x+1）2+3，下列结论：
①
抛物线的开口向下；
②
对称轴为直线x=1；
③
顶点坐标为（-1，3）；
④
x>1
时，y
随x
的增大而减小.
其中正确结论有（
）
A.
1
个
B.
2
个
C.
3
个
D.
4
个
C
例
3
感悟新知
知2－练
解：①∵
a=-1<0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=-1，错误；
③顶点坐标为（-1，3），正确；
④
x>1
时，y
随x
的增大而减小，正确.
综上所述，结论正确的是①③④，共3
个，故选C.
知2－讲
归
纳
感悟新知
抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法：
(1)把各点利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化
到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较大小；
(2)当已知具体的抛物线的解析式及相应点的横坐标确定时，
可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；
知2－讲
归
纳
感悟新知
(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵
坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，
点的纵坐标越大”也可以比较大小.
知识点
二次函数y=a
(
x-h)2+k与y=ax2之间的关系
知3－讲
感悟新知
3
思考：抛物线
y=a(x-h)2+k
与抛物线
y=ax2
有怎样的关系?
感悟新知
知3－讲
一般地，抛物线
y＝a(x－h)2＋k
与
y＝ax2
形状相
同，位置不同．
把抛物线
y＝ax2
向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线
y＝a(x－h)2＋k.
平移的方向、距离要根据
h，k
的值来决定．
知3－练
感悟新知
例4
将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个
单位后，抛物线的解析式为(
)
A.
y=(x+2)2+3
B.
y=(x-2)2+3
C.
y=(x+2)2-3
D.
y=(x-2)2-3
先根据二次函数图象的平移规律，对自变量和函数值作相
应的变化，写出变化后的二次函数表达式，再选出正确的项.
由二次函数图象的平移规律可知，将抛物线y=x2先向右平移
2个单位所得抛物线的表达式为：y=(x-2)2，再向上平移3
个单位后，所得函数的表达式为y=(x-2)2+3，故应选B.
B
导引：
解：
知3－练
感悟新知
抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体为：
(1)上下平移：抛物线y=a(x-h)2+k向上平移m（m>0)个单位，
所得抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+m；抛物线y=a(x-
h)2+k向下平移m(m>0)个单位，所得抛物线的解析式
为y=a(x-h)2+k-m.
(2)左右平移：抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n（n>0)个单位，
所得抛物线的解析式为y=a(x-h+n)2+k；抛物线y=a(x-
h)2+k向右平移n(n>0)个单位，所得抛物线的解析式为
y=a(x-h-n)2+k.特别地，要注意其中的符号处理.
知3－练
感悟新知
将抛物线
y＝2x2
向上平移
3
个单位长度，再向右平移
2
个单位长度，所得到的抛物线为( )
A．y＝2(x＋2)2
＋
3
B．y＝2(x－2)2＋3
C．y＝2(x－2)2－3
D．y＝2(x＋2)2＋3
B
知3－练
感悟新知
2
将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再
向下平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数
解析式是( )
A．y＝(x＋2)2＋2
B．y＝(x＋2)2－2
C．y＝(x－2)2＋2
D．y＝(x－2)2－2
B
课堂小结
二次函数
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质：
二次函数解析式
a的
符号
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
y=
a(x-h)2+k
a＞0
向上
直线x=h
(h，k)
当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小
当x＝时，
y最小值
＝k
课堂小结
二次函数
y=
a(x-h)2+k
a＜0
向下
直线x=h
(h，k)
当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
当x＝时，
y最大值＝k
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共16张PPT)
22.1
二次函数的图象和性质
第二十二章
二次函数
第7课时
用待定系数法求
二次函数解析式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
用一般式(三点式)确定二次函数解析式
用顶点式确定二次函数解析式
用交点式确定二次函数解析式
课时导入
已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式，那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件，用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容.
知识点
用一般式（三点式）确定二次函数的解析式
知1－讲
感悟新知
1
已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；
而用一般式求待定系数要经历以下四步：
第一步：设一般式y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值；
第四步：写出函数解析式.
如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，
(2，7)三点，试求这个二次函数的解析式.
知1－练
感悟新知
例
1
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)
三
点，得关于a，b，c的三元一次方程组
∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5.
解得
1.设一般式
2.点代入
一般式
3.解得方程组
4.写出解
析式
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知2－讲
感悟新知
2
刚才我们通过已知图象上的三点确定了二次函数的解析式，如果只知道图象上任意两点是否可以确定解析式？如果知道图象的顶点和图象上另一点，能否确定解析式呢？
知2－讲
感悟新知
一个二次函数图象的顶点坐标为(1，-4)，
图象过点(2，-3),求这个二次函数的解析式.
设所求二次函数解析式为y=a(x-h)2+k.
∵图象的顶点为(1，-4)，
∴h=1，k=-4.
∵函数图象经过点(2，-3)，
∴可列方程a(2-1)2-4=-3.解得a=1.
∴这个二次函数的解析式为y=(x-1)2-4.
解：
例2
知2－讲
归
纳
感悟新知
当给出的点的坐标有顶点时，可设顶点式
y=a(x-h)2+k，由顶点坐标可直接得出h，k
的值，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.
知识点
用交点式确定二次函数解析式
知3－讲
感悟新知
3
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于
点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物
线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移
后抛物线的解析式．
例
3
知3－练
感悟新知
导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的
值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加
右减得出抛物线的解析式为y＝－x2，进而得出答案．
知3－练
感悟新知
(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，
把(0，－3)代入得：3a＝－3，解得：a＝－1，
故抛物线的解析式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3，
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到
的抛物线的解析式为y＝－x2，
平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
解：
知3－讲
小
结
感悟新知
（1）本题第（2）问是一个开放性题，平移
方法不唯一，只需将原顶点平移成横纵
坐标互为相反数即可.
（2）已知图象与x轴的交点坐标，通常选择
交点式.
知3－讲
感悟新知
技巧提醒
特殊位置抛物线的解析式的设法技巧：
1.顶点在原点，可设为y=ax2；
2.对称轴是y轴(或顶点在y
轴上)，可设为y=ax2+k；
3.顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2；
4.抛物线过原点，可设为y=ax2+bx.
课堂小结
二次函数
用待定系数法求二次函数解析式的步骤
（1）
设：
根据题中已知条件，
合理设出二次函数的解析式，
如y=ax2+bx+c
或y=a（x-h）2+k
或y=a（x-x1）（x-x2），其中a
≠
0；
（2）代：把已知点的坐标代入所设的二次函数解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）；
课堂小结
二次函数
（3）解：解此方程或方程组，求出待定系数的值；
（4）还原：将求出的待定系数还原到解析式中，求得解析式.
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业
