(共22张PPT)
22.2
二次函数与一元二次方程
第二十二章
二次函数
第2课时
用函数的图象解一元二次方程（不等式）
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次不等式的解集
课时导入
我们已经知道，二次函数与一元二次方程有着紧密联系，我们是否可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根呢？
知识点
利用二次函数的图象解一元二次方程
知1－讲
感悟新知
1
利用二次函数的图象求一元二次方程-x2+2x-3=-8
的近似解（结果精确到0.1）.
整理方程，得-x2+2x+5=0.作函数
y=-x2+2x+5
的图象如图.
解法一：
例
1
知1－讲
感悟新知
由图象可知，抛物线与x
轴公共点的横坐标分别在-2
和-1，
3
和4之间，即方程-x2+2x-3=-8
的两个实数解分别在-2
和-1，3
和4
之间，用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解.
由图象可知，当x=3
时，y>0；当x=4
时，y<0，
取3
和4
的平均数3.5，当x=3.5
时，y=-0.25，与x=3
时的函数值异号，所以方程的这个解在3
和3.5
之间.取3
和3.5
的平均数3.25，当x=3.25
时，y=0.937
5，与x=3.5
时的函数值异号，所以方程的这个解在3.25
和3.5
之间.
知1－讲
感悟新知
取3.25
和3.5
的平均数3.375，
当x=3.375
时，y=0.359
375，
与x=3.5
时的函数值异号，所以方程的这个解在3.375
和3.5
之间.
由此方法可得到原方程的一个近似解为3.4.
用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为-1.4.
所以方程-x2+2x-3=-8
的解为x1
≈
-1.4，x2
≈
3.4.
知1－讲
感悟新知
作出函数y=-x2+2x-3
的图象，再画出直线y=-8，如图.
由图象知，方程-x2+2x-3=-8
的解是抛物线y=-x2+2x-3
与
直线y=-8
的公共点的横坐标，一个公共点的横坐标在-2
与-1
之间，另一个公共点的横坐标在3
与4
之间.同样用取平均数的方法，
可得方程-x2+2x-3=-8
的解为x1
≈-1.4，x2
≈
3.4.
解法二：
知1－讲
感悟新知
思考：利用二次函数的图象解一元二次方程的基
本步骤有哪些？
知1－讲
总
结
感悟新知
利用二次函数y=ax2+bx+c
的图象与x
轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0
的解
（1）作出二次函数y=ax2+bx+c
的图象，确定图象与x
轴公共点的个数，公共点的个数就是方程ax2+bx+c=0
的解的个数.
知1－讲
总
结
感悟新知
（2）观察图象，函数图象与x
轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0
的解，当函数图象与x
轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解.
（3）交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0
的解.
知1－讲
总
结
感悟新知
方法提醒
估计一元二次方程的解的方法：
在难以读出公共点的坐标时，我们可以通过不断缩小解所在范围估计一元二次方程的解，对于y=ax2+bx+c
(a≠0)，如果ax21+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，那么在x1与x2
之间存在一个解，
知1－讲
总
结
感悟新知
这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止.
知识点
用图象法求一元二次不等式的解集
知2－讲
感悟新知
2
如何利用函数图象解一元二次不等式呢？
知2－讲
归
纳
感悟新知
画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：
感悟新知
知2－讲
ax2+bx+c>0(a>0)的解集是xx2
ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1ax2+bx+c<0(a<0)的解集是xx2
感悟新知
知2－练
画出抛物线y＝－x2＋4x＋5，观察抛物线，回
答下列问题：
(1)x为何值时，函数值y＞0?
(2)x为何值时，函数值y＝0?
(3)x为何值时，函数值y＜0?
根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线与
x轴和y轴的交点，当函数值y＞0时，图象上的点在
x轴上方；当函数值y＝0时，图象上的点位于x轴上;当函数值y＜0时，图象上的点在x轴的下方．
导引：
例2
感悟新知
知2－练
∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5
＝－(x2－4x＋4)＋9＝－(x－2)2＋9.
∴抛物线的顶点坐标为(2，9)，对称轴为直线x＝2.
令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0，
∴x1＝5，x2＝－1，
∴抛物线与x轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．
令x＝0，则y＝5，即抛物线与y轴的交点为(0，5).
由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为(4，5)．
解：
感悟新知
知2－练
在坐标系中描出各点，并连线得到如图的图象．
观察图象会发现：
(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0.
知2－讲
归
纳
感悟新知
根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，抛物线在x轴上方的部分，对应的函数值大于0；抛物线在x轴下方的部分，对应的函数值小于0；抛物线与x轴
的公共点，对应的函数值等于0.
知2－讲
感悟新知
1
抛物线y＝ax2＋bx＋
c(a<0)如图，则关于x的
不等式ax2＋bx
＋c>0的解集是( )
A．x<2
B．x>－3
C．－3D．x<－3或x>1
C
课堂小结
二次函数与一元二次方程
1.利用图象法求一元二次方程的根的方法.
2.怎样利用二次函数的图象求一元二次不
等式的解集？
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共7张PPT)
22.2
二次函数与一元二次方程
第二十二章
二次函数
第3课时
二次函数图象信息题
的四种常见类型
名师点金
利用图象信息解决二次函数的问题主要是运
用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌
握二次函数的图象和性质是解决此类问题的关键．
类型
根据二次函数图象的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号
1
1.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；
②2a＋b＞0；
③b2－4ac＞0；
④a－b＋c＞0.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
D
类型
利用二次函数的图象比较大小
2
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图，若点A(x1，
y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1与y2的大小关系是( )
A．y1≤y2
B．y1＜y2
C．y1≥y2
D．y1＞y2
B
类型
利用二次函数的图象求方程的解或不等式的解集
3
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图
象如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围
是( )
A．x＜－1
B．x＞3
C．－1＜x＜3
D．x＜－1或x＞3
D
类型
根据二次函数图象的特征确定其他函数的图象
4
4．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象正确的是( )
D
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共18张PPT)
22.2
二次函数与一元二次方程
第二十二章
二次函数
第1课时
二次函数与一元二
次方程之间的关系
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次函数
一元二次方程
实数根的个数
课时导入
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面的问题．
知识点
二次函数与一元二次方程之间的关系
知1－讲
感悟新知
1
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c（a
≠
0）的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c（a
≠
0）与x
轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0
时，函数值是0，因此x=x0
是方程ax2+bx+c=0（a
≠
0）的一个根.
知1－讲
感悟新知
拓宽视野
1.已知二次函数y=ax2+bx+c，
求当y=m
时自变量x
的值，
可以解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m可以看成是已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值y=m，求自变量x的值.一元二次方程ax2+bx+c=m的解是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m的公共点的横坐标.
知1－讲
感悟新知
2.二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系密切，二者可以相互转化.已知二次函数的值为0，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=0;反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=0可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0，求自变量x
的值.
知1－讲
感悟新知
问
题
二次函数y=x2-6x+n
的图象如图，
若关于x
的一元二次方程x2-6x+n=0
的一个解为x1=1，
则另一个解x2=______________
.
5
知1－讲
感悟新知
解：由图象知抛物线与x
轴的一个交点为（1，0）.
由题知抛物线的对称轴为直线x=-
=3.
∴抛物线与x
轴的另一个交点是（5，0）.
∴方程的另一个解为x2=5.
知1－讲
总
结
感悟新知
二次函数与一元二次方程的关系：
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
感悟新知
知1－练
1
小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，
则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x＝－1或x＝4
D
感悟新知
知1－练
已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是( )
A．x1＜－1＜2＜x2
B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2
D．x1＜－1＜x2＜2
A
知识点
二次函数与其图象与x轴的交点个数之间的关系
知2－讲
感悟新知
2
二次函数y
=x2+x-2,y=x2-6x+9,y
=x2–x+1的图象如图所示.
感悟新知
知2－讲
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程
x2+x-2=0
,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
感悟新知
知2－讲
（1）2个，1个，0个.
（2）2个根，2个相等的根，无实数根.
（3）
二次函数
y=x2+x-2
y=x2-6x+9
y=x2-x+1
与x轴交点坐标
(-2,0),(1,0)
(3,0)
无交点
相应方程的根
x1=-2,x2=1
x1=x2=3
无实根
解：
知2－讲
总
结
感悟新知
通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知,
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公
共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,
函数的值为0,因此x=x0就是方程ax2+bx+
c=0的一个根.
知2－讲
感悟新知
(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
与x轴的公共点的个数
一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
课堂小结
二次函数与一元二次方程
一元二次方程
二次函数
一元二次方程的根
与x轴交点情况
y=0
解方程
图象
由“数”
到“形”
由“形”
到“数”
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业
