第三章 圆锥曲线的方程 单元检测试卷（B）-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
第三章
圆锥曲线的方程
单元检测试卷（B）
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知椭圆C：的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为2－6，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（
）
A．9
B．
C．8
D．7
4．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e，设地球半径为R，该卫星近地点离地面的距离为r，则该卫星远地点离地面的距离为（　　）
A．r+R
B．r+R
C．r+R
D．r+R
5．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（
）
A．9，12
B．8，11
C．8，12
D．10，12
6．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，，两点在双曲线的右支上，为中点，为轴上一点，且.若，则双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
8．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（
）
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
9．抛物线E：x2＝4y与圆M：x2+（y﹣1）2＝16交于A、B两点，圆心M（0，1），点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的可能取值是（　　）
A．8
B．8.5
C．9
D．10
10．已知P是椭圆C：上的动点，Q是圆D：上的动点，则（
）
A．C的焦距为
B．C的离心率为
C．圆D在C的内部
D．的最小值为
11．双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（
）
A．双曲线的一条渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．
D．的面积为6
12．如图已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆在第一象限内的点，的角平分线交轴于点，且满足，则椭圆的离心率可能是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题。本大题共4小题。
13．倾斜角为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线于A，B两点，线段的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为_______.
14．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为____．
15．已知是椭圆上的一点，为右焦点，点的坐标为，则周长的最大值为_______.
16．已知椭圆，倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A、B两点且，点C是椭圆上不同于A、B一点，则△ABC面积的最大值为_____．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．在平面直角坐标系中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点．若与圆相切，求证：；
18．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.
19．设圆的圆心为M，直线l过点且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C.
（1）证明|CM|+|CN|为定值，并写出点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，直线l1：y=kx与曲线E交于P，Q两点，点R为椭圆C上一点，若△PQR是以PQ为底边的等腰三角形，求△PQR面积的最小值.
20．如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.
（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.
21．已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点．
（1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；
（2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上．
22．已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)．设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．
参考答案
1．C
【解析】因为圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4的半径为2，所以，
设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可得，
所以，
所以，当且仅当四点共线时，等号成立，
又|PQ|－|PF|的最小值为2－6，所以，即，
所以，解得或（舍）.
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
故选：C.
2．D
【解析】设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
3．C
【解析】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，，
所以，当且仅当，，三点共线时取得等号．
故选：C.
4．A
【解析】由题意，椭圆的离心率，（c为半焦距；a为长半轴）
地球半径为R，卫星近地点离地面的距离为r，可得
联立方程组，，
如图所示，设卫星近地点的距离为，远地点的距离为，
所以远地点离地面的距离为r+
故选：A．
5．C
【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知，
连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时最小，最小值为；
连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时最大，最大值为．
故选：C．
6．A
【解析】设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A.
7．C
【解析】设，由题意可知，轴，
不妨令，(其中).
因为，
所以，解得.
由题易知，
整理得，即，即，又，
所以.
故选：C
8．BCD
【解析】根据题意，作图如下：
因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，
所以，又，
所以为等边三角形，B正确；
∠ABD＝90°，，过F作FC⊥AB交于C，
则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，
所以A的横坐标为，
，
，所以A不正确，
焦点到准线的距离为，所以C正确；
抛物线的方程为：y2＝6x，所以D正确.
故选：BCD．
9．BC
【解析】如图所示，由，可得焦点坐标为，准线方程为，
又由，可圆心坐标为，半径为，
过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得MN＝NH
故△PMN的周长l＝NH+NP+MP＝PH+4，联立和，
解得，所以PH的取值范围为（4，6）
所以的周长PH+4的取值范围为（8，10），所以B，C，满足条件．
故选：BC．
10．BC
【解析】由可知，，则焦距，离心率；
设，圆心，半径为，
则，故圆D在C的内部；
当取最小值时，的最小值为，
综上所述，选项BC正确，
故选：BC
11．ABD
【解析】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，，，，，解得.
双曲线的渐近线方程为，，的坐标为，，
故选：ABD.
12．CD
【解析】∵，∴，，则.
∵是的角平分线，∴，
又，
∴，，
在中，由余弦定理得，
∵，∴，
解得.
故选：CD.
13．
【解析】解：如图为的垂直平分线，
可得，
且，
可得，，
由双曲线的定义可得，，
即有，
即有，，
，
由，可得，
可得，即，
，则渐近线方程为．
故答案为：．
14．6
【解析】因为双曲线的右焦点为
，所以
15．10
【解析】解：如图所示，设椭圆的左焦点为，
由题意可知，则，
因为的坐标为，所以，
由椭圆的定义可得，
因为，
所以周长为，
当且仅当三点共线时取等号，
所以周长的最大值为10，
故答案为：10
16．
【解析】由题意，设直线AB的方程为，点
A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，整理得18x2+10mx+5m2﹣30＝0，
所以x1+x2，x1x2．
因为，即，
代入整理得，解得，
不妨取：m＝2，可得直线AB的方程为，
设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为yx+t，
联立方程组，整理得18x2+10tx+5t2﹣30＝0，
由△＝300t2﹣72×（5t2﹣30）＝0，解得：t＝±6．
取t＝﹣6时，与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的距离，
所以△ABC面积的最大值，
故答案为：．
17．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：．
过点与渐近线平行的直线方程为
，即．
解方程组得
所以所求三角形的面积为．
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，
故，即．
由得．
设，，则
又，
所以
．
故．
18．（1）；（2）.
【解析】（1）直线过x轴上一点，
由题意可得，即，
双曲线的渐近线方程为，
由两直线平行的条件可得，解得，
即有双曲线的方程为.
（2）设直线，
代入，可得，
设，则，
中点为，
可得的垂直平分线方程为，
令，可得，
由，解得，
又，解得，
综上可得，，即有的范围是，
可得直线与轴上的截距的取值范围为.
19．（1）证明见解析，点的轨迹方程为()；（2）.
【解析】解：（1）圆可化为
所以圆心，半径
又因为过点作的平行线交于点，所以
又因为，所以，
所以
所以
所以点的轨迹为椭圆，由椭圆定义可得点的轨迹方程为()
（2）由（1）可知点的轨迹方程为：()，
直线与曲线交于两点，可知，设
联立消得解得
是以为底的等腰三角形则
同理：
方法1：
当且仅当，即时取等号
方法2：
当且仅当，即时取等号
20．（1）；（2）.
【解析】（1）若，则和为等腰直角三角形．所以有，即．所以，．
（2）由题知，，设，
由，得，所以
，．
代入，得．
即，解得．所以，
所以椭圆方程为．
21．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设中点为，到准线的距离为，到准线的距离为，
到准线的距离为，则且.
由抛物线的定义可知，，所以，
由梯形中位线可得，所以，可得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）证明：设，由，得，则，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立得，解得，
即直线的交点坐标为.
因为过焦点，
由题可知直线的斜率存在，故可设直线方程为，
代入抛物线中，得，
所以，故，所以的交点在定直线上．
22．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为抛物线过点，
所以，，抛物线方程为.
（2）设，，直线的方程为，
联立，整理得，
，，，
则
，
故为定值.