第二章单元测试题-2020-2021学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022人教版A（2019）高一数学必修一
第二章章末测试题
一、单选题（共8小题）
1．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若，，则下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．“关于的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是
A．
B．
C．
D．或
4．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，，且，则的最大值是（
）
A．1
B．
C．2
D．3
6．若实数满足，则的值是（
）
A．
B．2
C．2或
D．或
7．若不等式的解集是，则的值为（
）
A．-10
B．-14
C．10
D．14
8．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运
A．3年
B．4年
C．5年
D．6年
二、多选题（共4小题）
9．对于实数，下列说法正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知方程的解集为，方程的解集为，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．下列说法中，正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,为线段上的点,且,,为的中点,以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于,连结,,,过点作的垂线,垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（
）
A．(,)
B．(,)
C．(,)
D．(,)
三、填空题（共4小题）
13．若正数、满足，则的最小值为________.
14．若不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，则不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集是________．
15．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为
_____________
；
16．下列命题中：
①若，则的最大值为；
②当时，；
③的最小值为；
④当且仅当均为正数时，恒成立.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
四、解答题（共5大题）
17．解下列不等式：
（1）；
（2）.
18．已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）当时，解关于的不等式．
19．已知函数.
（1）若
，试求函数的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.
20．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后平均利润最大，最大是多少？
21．设函数．
（1）若不等式的解集，求，的值；
（2）若，
①，，求的最小值；
②若在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】
由，
则即，
所以恒成立，
在上的最小值为，
所以，
整理可得，
解得，
实数的最大值为，
故选：D
2．D
【详解】
，，，
又，，两边同乘以负数，可知
故选：D
3．B
【详解】
解：不等式对恒成立，
则，解得，
则“”
的一个必要不充分条件是，
选项A为充要条件，
选项C为充分不必要条件，
选项D为既不充分也不必要条件，
故选B.
4．B
【详解】
由二次函数图象可知a>0，c<0，
由对称轴，可知b<0，
当x=1时，a+b+c<0，即b+c<0，
所以正比例函数经过二四象限，且经过原点，
反比例函数图象经过一三象限，
故选：B.
5．D
【详解】
因为，，且，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：D.
6．C
【详解】
由已知得,当时，；
当时，可看成是方程的两根，
，
，
.
故选：C.
7．B
【详解】
由题意知：和是方程的两个根，
由韦达定理得：，，
解得：，，
所以，
故选：B
8．C
【详解】
可设y=a(x－6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11
∴a=－1．
即y=－x2+12x－25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号.
故选C．
9．ABC
【详解】
对于，在上单调递减，当时，，正确；
对于，当时，；当时，，则时，；
综上所述：若，则，正确；
对于，若，则，，，正确；
对于，若，则，，不满足，错误.
故选：.
10．AD
【详解】
因为，将代入方程，得，解得，
则方程为，解得或，所以；
方程为，解得或，所以；
所以，，．
故选：AD．
11．ABD
【详解】
解：对于A选项，由，得，故A正确；
对于B选项，由，得，即，故B正确；
对于C选项，虽然，，但不一定有，，故C不一定成立，故C不正确；
对于D选项，由基本不等式，得，故D正确．
故选：ABD．
12．AC
【详解】
由，由射影定理可知：
又
(,)，A正确；
由射影定理可知：,即
又，即(,)，C正确；
故选：AC
13．
【详解】
已知正数、满足，则，
所以，，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
14．{x|3【详解】
因为不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，
所以方程x2－4x＋m＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m≤0，
解得m≥4，
又x2－(m＋3)x＋3m<0等价于(x－3)(x－m)<0，
所以3故答案为：{x|315．20吨
【详解】
由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨．
16．①②
【详解】
①若，则的最大值为
，正确
②当时，
，时等号成立，正确
③的最小值为，
取
错误
④当且仅当均为正数时，恒成立
均为负数时也成立.
故答案为①
②
17．（1）或；（2）.
【详解】
（1）原不等式可化为，
解得，
∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集为或.
（2）原不等式可化为，
化简得，即，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得，
∴原不等式的解集为.
18．（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
【详解】
（1）由条件知，关于的方程的两个根为1和2，
所以，解得．
（2）当时，，即，
当时，解得或；当时，解得；
当时，解得或．
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
19．（1）最小值为；（2）.
【详解】
解：（1）依题意得.
因为x>0，所以
.
当且仅当，即时，等号成立.
所以.
故当时，的最小值为
.
（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.
不妨设，
则只要在上恒成立.
所以
即
解得.
所以a的取值范围是.
20．（1）当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（2）当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元
【解析】(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则
y＝50n－98－[12×n＋×4]
＝－2n2＋40n－98
＝－2(n－10)2＋102
∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为
＝－2(n＋－20)
≤－2(2－20)＝12，
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．
21．（1）；（2）①9；②．
（1）由已知可得，的两根是，1
所以，解得．
（2）①
，
当时等号成立，
因为，，，解得，时等号成立，
此时的最小值是9．
②在上恒成立，
∴，
又因为代入上式可得
解得：．